滬科版九年級數(shù)學(xué)上冊《第21章-小結(jié)與復(fù)習(xí)》課件

小結(jié)與復(fù)習(xí)第21章二次函數(shù)與反比例函數(shù)要點梳理考點講練課堂小結(jié)課后作業(yè)一、二次函數(shù)的定義要點梳理1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．特別地，當(dāng)a≠0，b＝c＝0時，y＝ax2是二次函數(shù)的特殊形式．2．二次函數(shù)的三種基本形式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)；(2)頂點式：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)，由頂點式可以直接寫出二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)是(h，k)；(3)交點式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)．二、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)a<0a>0圖像開口拋物線開口向上，并向上無限延伸拋物線開口向下，并向下無限延伸對稱軸、頂點對稱軸是x＝，頂點坐標(biāo)是增減性

在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x＜時，y隨x的增大而減?。辉趯ΨQ軸的右側(cè)，即當(dāng)x＞時，y隨x的增大而增大，簡記為“左減右增”在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x＜時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x＞時，y隨x的增大而減小，簡記為“左增右減”最值

拋物線有最低點，當(dāng)

x＝時，y有最小值，

y最小值＝

拋物線有最高點，當(dāng)x＝時，y有最大值，

y最大值＝三、二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象特征與系數(shù)a，b，c的關(guān)系

項目字母字母的符號圖像的特征aa＞0開口向上a＜0開口向下bb＝0對稱軸為y軸ab＞0(a與b同號)對稱軸在y軸左側(cè)ab＜0(a與b異號)對稱軸在y軸右側(cè)cc＝0經(jīng)過原點c＞0與y軸正半軸相交c＜0與y軸負(fù)半軸相交b2－4acb2－4ac＝0與x軸有唯一交點(頂點)b2－4ac＞0與x軸有兩個交點b2－4ac＜0與x軸沒有交點四、二次函數(shù)圖象的平移任意拋物線y＝a(x－h(huán))2＋k可以由拋物線y＝ax2經(jīng)過平移得到，具體平移方法如下：五、二次函數(shù)表達式的求法1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)若已知條件是圖象上三個點的坐標(biāo)，則設(shè)一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，將已知條件代入，求出a，b，c的值．2．頂點式：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)若已知二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最大值或最小值，則設(shè)頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)，將已知條件代入，求出待定系數(shù)的值，最后將解析式化為一般式．3．交點式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點的坐標(biāo)，則設(shè)交點式y(tǒng)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，將第三點的坐標(biāo)或其他已知條件代入，求出待定系數(shù)a的值，最后將解析式化為一般式．六、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和x軸交點有三種情況:有兩個交點,有一個交點,沒有交點.當(dāng)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和x軸有交點時,交點的橫坐標(biāo)就是當(dāng)y=0時自變量x的值,即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像和x軸交點一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根一元二次方程ax2＋bx＋c=0根的判別式（b2-4ac）有兩個交點有兩個相異的實數(shù)根b2-4ac>0有一個交點有兩個相等的實數(shù)根b2-4ac=0沒有交點沒有實數(shù)根b2-4ac<0七、二次函數(shù)的應(yīng)用2．一般步驟：(1)找出問題中的變量和常量以及它們之間的函數(shù)關(guān)系；(2)列出函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量的取值范圍；(3)利用二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決實際問題；(4)檢驗結(jié)果的合理性，是否符合實際意義．1．二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下兩個方面(1)用二次函數(shù)表示實際問題變量之間的關(guān)系，解決最大化問題(即最值問題)；(2)利用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的近似解．1.反比例函數(shù)的定義:函數(shù)y=(k是常數(shù),且k≠0)叫做反比例函數(shù).2.反比例函數(shù)解析式的變形式:(1)y=kx-1(k≠0)(2)xy=k(k≠0)八、反比例函數(shù)的定義函數(shù)正比例函數(shù)反比例函數(shù)解析式圖象形狀k>0k<0位置增減性位置增減性y=kx

(k≠0)xk

(k是常數(shù),k≠0)y=直線雙曲線一三象限

y隨x的增大而增大一三象限在每個象限內(nèi)

y隨x的增大而減小二四象限二四象限

y隨x的增大而減小在每個象限內(nèi)y隨x的增大而增大九、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.反比例函數(shù)的圖象是兩支曲線，2.當(dāng)k>0時，圖象分別位于第一、三象限；當(dāng)k<0時，圖象分別位于第二、四象限.3.當(dāng)k>0時.在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；當(dāng)k<0時，在每一個象限，y隨x的增大而增大.4.因為在y=k/x(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交.5.在一個反比例函數(shù)圖象上任取兩點P、Q，過點P、Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1、S2，則S1＝S2

反比例函數(shù)圖象解讀k的幾何意義：反比例函數(shù)圖像上的點(x，y)具有兩坐標(biāo)之積(xy＝k)為常數(shù)這一特點，即過雙曲線上任意一點，向兩坐標(biāo)軸作垂線，兩條垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形的面積為常數(shù)|k|.規(guī)律：過雙曲線上任意一點，向兩坐標(biāo)軸作垂線，一條垂線與坐標(biāo)軸、原點所圍成的三角形的面積為常數(shù)

．十、反比例函數(shù)的k值的意義一般解題步驟應(yīng)用類型與數(shù)學(xué)問題相結(jié)合學(xué)科間的綜合（物理公式）審題、準(zhǔn)確判斷數(shù)量關(guān)系建立反比例函數(shù)的模型根據(jù)實際情況確定自變量的取值范圍實際問題求解十一、反比例函數(shù)的應(yīng)用考點一求拋物線的頂點、對稱軸、最值考點講練例1

拋物線y＝x2－2x＋3的頂點坐標(biāo)為________．【解析】方法一：配方，得y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，則頂點坐標(biāo)為(1,2)．方法二：代入公式，，則頂點坐標(biāo)為(1,2)．

解決此類題目可以先把二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c配方為頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k的形式，得到：對稱軸是直線x＝h，最值為y＝k，頂點坐標(biāo)為(h，k)；也可以直接利用公式求解.方法總結(jié)針對訓(xùn)練1．對于y＝2(x－3)2＋2的圖象下列敘述正確的是(

)A．頂點坐標(biāo)為(－3,2)

B．對稱軸為y＝3C．當(dāng)x≥3時，y隨x的增大而增大D．當(dāng)x≥3時，y隨x的增大而減小C考點二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及函數(shù)值的大小比較例2

二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的圖象如圖所示，若點A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函數(shù)圖象上，且x1<x2<1，則y1與y2的大小關(guān)系是(

)A.y1≤y2

B．y1<y2

C．y1≥y2

D．y1>y2【解析】由圖象看出，拋物線開口向下，對稱軸是直線x＝1，當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而增大．∵x1<x2<1，∴y1<y2.故選B.

當(dāng)二次函數(shù)的表達式與已知點的坐標(biāo)中含有未知字母時，可以用如下方法比較函數(shù)值的大小：(1)用含有未知字母的代數(shù)式表示各函數(shù)值，然后進行比較；(2)在相應(yīng)的范圍內(nèi)取未知字母的特殊值，采用特殊值法求解；(3)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象比較.方法總結(jié)針對訓(xùn)練2.下列函數(shù)中，當(dāng)x＞0時，y值隨x值增大而減小的是（）

A.y=B.y=x-1C.D.y=-3x2D考點三

二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與系數(shù)a，b，c的關(guān)系例3已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.其中正確的個數(shù)是(

)A．1

B．2

C．3

D．4D【解析】由圖象開口向下可得a＜0，由對稱軸在y軸左側(cè)可得b＜0，由圖象與y軸交于正半軸可得c＞0，則abc＞0，故①正確；由對稱軸x>－1可得2a－b＜0，故②正確；由圖象上橫坐標(biāo)為x＝－2的點在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正確；

由圖象上橫坐標(biāo)為x＝1的點在第四象限得出a＋b＋c＜0，由圖象上橫坐標(biāo)為x＝－1的點在第二象限得出

a－b＋c＞0，則(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正確．故選D.【答案】D方法總結(jié)1.可根據(jù)對稱軸的位置確定b的符號：b＝0?對稱軸是y軸；a、b同號?對稱軸在y軸左側(cè)；a、b異號?對稱軸在y軸右側(cè).這個規(guī)律可簡記為“左同右異”.2.當(dāng)x＝1時，函數(shù)y＝a＋b＋c.當(dāng)圖象上橫坐標(biāo)x＝1的點在x軸上方時，a＋b＋c＞0；當(dāng)圖象上橫坐標(biāo)x＝1的點在x軸上時，a＋b＋c＝0；當(dāng)圖象上橫坐標(biāo)x＝1的點在x軸下方時，a＋b＋c＜0.同理，可由圖象上橫坐標(biāo)x＝－1的點判斷a－b＋c的符號.針對訓(xùn)練3.已知二次函數(shù)y=－x2＋2bx＋c，當(dāng)x＞1時，y的值隨x值的增大而減小，則實數(shù)b的取值范圍是（ ）A．b≥－1 B．b≤－1C．b≥1

D．b≤1解析：∵二次項系數(shù)為－1＜0，∴拋物線開口向下，在對稱軸右側(cè)，y的值隨x值的增大而減小，由題設(shè)可知，當(dāng)x＞1時，y的值隨x值的增大而減小，∴拋物線y=－x2＋2bx＋c的對稱軸應(yīng)在直線x=1的左側(cè)而拋物線y=－x2＋2bx＋c的對稱軸，即b≤1，故選擇D.D考點四拋物線的幾何變換例4將拋物線y＝x2－6x＋5向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度后，得到的拋物線表達式是(

)A．y＝(x－4)2－6B．y＝(x－4)2－2C．y＝(x－2)2－2D．y＝(x－1)2－3【解析】因為y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度后，得到的表達式為y＝(x－3－1)2－4＋2，即y＝(x－4)2－2.故選B.方法總結(jié)

拋物線平移的規(guī)律可總結(jié)如下口訣：左加右減自變量，上加下減常數(shù)項.針對訓(xùn)練3.若拋物線y=－7(x+4)2－1平移得到y(tǒng)=－7x2，則必須（）A.先向左平移4個單位，再向下平移1個單位B.先向右平移4個單位，再向上平移1個單位C.先向左平移1個單位，再向下平移4個單位D.先向右平移1個單位，再向下平移4個單位B考點五二次函數(shù)表達式的確定例5:已知關(guān)于x的二次函數(shù),當(dāng)x=－1時,函數(shù)值為10,當(dāng)x=1時,函數(shù)值為4,當(dāng)x=2時,函數(shù)值為7,求這個二次函數(shù)的表達式.待定系數(shù)法解：設(shè)所求的二次函數(shù)為y＝ax2+bx＋c,由題意得：解得,

a=2,b=－3,c=5.∴所求的二次函數(shù)表達式為y＝2x2－3x＋5.方法總結(jié)1.若已知圖象上的任意三個點，則設(shè)一般式求表達式；2.若已知拋物線的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸與最值時，則可設(shè)頂點式求表達式，最后化為一般式；3.若已知二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)為(x1，0)、(x2，0)時，可設(shè)交點式求表達式，最后化為一般式.針對訓(xùn)練5.已知拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=－x2－3x+7的形狀相同,頂點在直線x=1上,且頂點到x軸的距離為5,請寫出滿足此條件的拋物線的表達式.解:拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=－x2－3x+7的形狀相同a=1或－1.

又頂點在直線x=1上,且頂點到x軸的距離為5,頂點為(1,5)或(1,－5).

所以其解析式為:(1)y=(x－1)2+5(2)y=(x－1)2－5(3)y=－(x－1)2+5(4)y=－(x－1)2－5

例6若二次函數(shù)y=x2+mx的對稱軸是x=3，則關(guān)于x的方程x2+mx=7的解為（）A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7【解答】∵二次函數(shù)y=x2+mx的對稱軸是x=3，∴－=3，解得m=－6，∴關(guān)于x的方程x2+mx=7可化為x2－6x－7=0，即(x+1)(x－7)=0，解得x1=－1，x2=7．故選D．考點六二次函數(shù)與一元二次方程例7某廣告公司設(shè)計一幅周長為12m的矩形廣告牌，廣告設(shè)計費用每平方米1000元，設(shè)矩形的一邊長為x(m),面積為S(m2).(1)寫出S與x之間的關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）請你設(shè)計一個方案，使獲得的設(shè)計費最多，并求出這個費用.解：（1）設(shè)矩形一邊長為x，則另一邊長為（6-x),∴S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;∴當(dāng)x=3時，即矩形的一邊長為3m時，矩形面積最大，為9m2.這時設(shè)計費最多，為9×1000=9000（元）.考點七二次函數(shù)的應(yīng)用方法總結(jié)

利用二次函數(shù)的知識常解決以下幾類問題：最大利潤問題，求幾何圖形面積的最值問題，拱橋問題，運動型幾何問題，方案設(shè)計問題等.【解析】把P(1，－3)代入(k≠0)得k＝1×(－3)＝－3.故選B.

B考點八反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)D

【解析】方法一：分別把各點代入反比例函數(shù)求出y1，y2，y3的值，再比較出其大小即可．方法二：根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較．

比較反比例函數(shù)值的大小，在同一個象限內(nèi)根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)比較，在不同象限內(nèi)，不能按其性質(zhì)比較，函數(shù)值的大小只能根據(jù)特征確定．歸納針對訓(xùn)練

6.已知函數(shù)，y隨x的增大而減小，求a的值和表達式（只考慮學(xué)過的函數(shù)）.解：當(dāng)函數(shù)為正比例函數(shù)時，

a2+a-5=1，解得a1=-3,a2=2.∵y隨x的增大而減小,∴a=-3.

當(dāng)函數(shù)為反比例函數(shù)時，

a2+a-5=-1，解得∵y隨x的增大而減小，7.函數(shù)(k為常數(shù)）的圖象上有三點（－3,y1）,（－1,y2）,（2,y3）,則函數(shù)值y1、y2、y3的大小關(guān)系是_______________;y3<y1<y21考點九與反比例函數(shù)k有關(guān)的問題

利用反比例函數(shù)中k的幾何意義時，要注意點的坐標(biāo)與線段長之間的轉(zhuǎn)化，并且利用關(guān)系式和橫坐標(biāo)，求各點的縱坐標(biāo)是求面積的關(guān)鍵．歸納針對訓(xùn)練8.如圖：M為反比例函數(shù)y＝圖象上一點，MA⊥y軸于A，S△MAO=2時，k=

．49.如圖，點A在雙曲線y＝上，點B在雙曲線y＝上，且AB∥x軸，C，D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形，則它的面積為________．2yxOA考點十反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合解：(1)將點A(m，2)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)y1＝x＋1得2＝m＋1，解得m＝1.即點A的坐標(biāo)為(1，2)．將點A(1，2)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)得k＝2.∴反比例函數(shù)的解析式為(2)當(dāng)0＜x＜1時，y1＜y2；當(dāng)x＝1時，y1＝y(tǒng)2；當(dāng)x＞1時，y1＞y2.yxOA

此類一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二元一次方程組，三角形面積等知識的綜合運用，其關(guān)鍵是理清解題思路，在直角坐標(biāo)系中，求三角形或四邊形面積時，常常采用分割法，把所求的圖形分成幾個三角形或四邊形，分別求出面積后再相加．歸納10.如圖，一次函數(shù)y=kx-1的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A，B兩點，其中點A的坐標(biāo)為（2，1）.（1）試確定k，m的值；（2）求點B的坐標(biāo).yxO12AB針對訓(xùn)練（1）將（2，1）代入y=，得m=1×2=2.將（2，1）代入y=kx-1，得k=1.∴兩個函數(shù)的表達式為y=，y=x-1.（2）將y=和y=x-1組成方程組為y=，y=x-1.解得x1=-1，y1=-2，x2=2，y2=1.∴點B的坐標(biāo)為（-1，-2）.yxO12AB例12

病人按規(guī)定的劑量服用某種藥物，測得服藥后2小時，每毫升血液中的含藥量達到最大值為4毫克．已知服藥后，2小時前每毫升血液中的含藥量y(單位：毫克)與時間x(單位：小時)成正比例；2小時后y與x成反比例(如圖)．根據(jù)以上信息解答下列問題：

(1)求當(dāng)0≤x≤2時，y與x的函數(shù)解析式；

(2)求當(dāng)x>2時，y與x的函數(shù)解析式；(3)若每毫升血液中的含藥量不低于2毫克時治療有效，則服藥一