有限元第一章引言

有限元第一章引言第一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期三考試\考查1、考勤記錄2、大作業(yè)3、結(jié)課當(dāng)堂開卷筆試4、面試第二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期三第一章引言

自然現(xiàn)象的背后都有相應(yīng)的物理規(guī)律，對物理規(guī)律的描述可以借助相關(guān)的定理或定律表現(xiàn)為各種形式的方程（代數(shù)、微分、或積分）。這些方程通常稱為控制方程（Governingequation）。應(yīng)用FEM對眾多的場變量工程現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)值分析或數(shù)值模擬,其結(jié)論對結(jié)構(gòu)優(yōu)化,實驗研究等方面有重大的指導(dǎo)意義,從而使科學(xué)研究手段更加豐富。第三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期三xzyuwvdzdydx(x,y,z)變量：位移應(yīng)變應(yīng)力邊界條件：力邊界條件位移邊界條件平衡方程幾何方程物理方程求解偏微分方程第四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期三工程中的問題（力學(xué)、物理）各種方程及相應(yīng)的定解條件（邊界條件及初始條件）線性的、邊界規(guī)則的問題數(shù)值分析法精確解近似解非線性的、邊界不規(guī)則的問題解析法如何求解描述物理規(guī)律的方程呢？FEM第五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期三離散化逼近的思想方法是有限元方法的基礎(chǔ)

古代人們在計算圓的周長或面積時就采用了離散化的逼近方法。Zeno：空間是有限的和無限可分的。故，事物要存在必有大小。Aristotle：連續(xù)體由可分的元素組成。第六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期三近代，這一方法首先在航空結(jié)構(gòu)分析中取得了明顯的效果：一種稱為框架分析法（frameworkmethod）被用來分析平面彈性體（將平面彈性體描述為桿和梁的組合體）（1941，Hrenikoff）；在采用三角形單元及最小勢能原理研究St.Venant扭轉(zhuǎn)問題時，分片連續(xù)函數(shù)被用來在子域中近似描述未知函數(shù)（1943,Courant）。此后，本方法在固體力學(xué)、溫度場和溫升應(yīng)力、流體力學(xué)、流固耦合（水彈性）問題，以及航空、航天、建筑、水工、機(jī)械、核工程和生物醫(yī)學(xué)等方面獲得了廣泛的應(yīng)用。內(nèi)容十分豐富的新興分支───計算力學(xué)的出現(xiàn)，長期以來在力學(xué)中存在的求解手段落后于基本理論的現(xiàn)象得到了根本的扭轉(zhuǎn)。由于擁有了強(qiáng)有力的分析手段，相比之下對物質(zhì)世界本身（例如本構(gòu)關(guān)系）的了解反而出現(xiàn)了一些新的薄弱環(huán)節(jié)。第七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期三子結(jié)構(gòu)方法分析大型結(jié)構(gòu)的早期應(yīng)用法第八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期三梁單元第九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期三二十世紀(jì)六十年代中期，Argyris,和Kelsey(1960)以及Turner,Clough,Martin和Topp(1956)等人在計算力學(xué)的發(fā)展中作出了杰出的貢獻(xiàn)。然而，“有限單元”是由Clough首次提出的(1960)。在眾多數(shù)學(xué)家的共同努力下，有限元方法的基本原理被揭示以后，這種方法擺脫了各種各樣的工程背景而成為一種具有普遍意義的數(shù)學(xué)方法。

由于本方法是力學(xué)研究與應(yīng)用的產(chǎn)物,故在對工程問題的分析與描述過程中力學(xué)氣味無孔不入.第十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期三建模時充分利用重復(fù)性第十一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期三第十二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期三第十三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期三連續(xù)體有無限多個自由度（屬于無限維空間），有限元方法則是將它轉(zhuǎn)化成一個有限自由度（屬于有限維空間），建立有限元方程，求其近似解?？梢詫⒂邢拊ɡ斫鉃樵谧佑騼?nèi)應(yīng)用的瑞利－里茲法（Rayleigh—RitzMethod）。在傳統(tǒng)的瑞利－里茲法中，必須假定近似的位移函數(shù)和其各階導(dǎo)數(shù)在整個求解區(qū)域內(nèi)有良好連續(xù)性。后續(xù)有介紹第十四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期三vL/4PLABxC基函數(shù)

（什么是基函數(shù)？）以簡支梁為例，求解在集中力P作用下C點的變形，介紹Ritz法。（顯然，φ1、φ1’、φ2、φ’2

連續(xù)，φ1’’、φ2’’平方可積，）（為什么要求有這樣的性態(tài)？）試探函數(shù)待定常數(shù)(廣義坐標(biāo))問題描述為:能量泛函取駐值（最小勢能原理）第十五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期三最小勢能原理

在所有滿足給定位移邊界條件和協(xié)調(diào)條件的位移中，滿足平衡條件的位移使總勢能取駐值，若駐值是最小值，則平衡是穩(wěn)定的。第十六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期三由能量泛函的駐值條件得代數(shù)方程組

解代數(shù)方程組可得試探函數(shù)中的待定常數(shù)Ｃ點位移的近似值為Ｃ點位移的精確值為（材料力學(xué)方法）近似解第十七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期三瑞利－里茲法要求：必須假定近似的位移函數(shù)和其各階導(dǎo)數(shù)在整個求解區(qū)域內(nèi)有良好連續(xù)性。實際的工程結(jié)構(gòu)往往比較復(fù)雜,往往難于滿足這些苛刻的要求.在數(shù)學(xué)的描述上，這些實際情況表現(xiàn)為間斷點，在這些部位函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（及應(yīng)變）是不連續(xù)的。因此，瑞利－里茲法的工程應(yīng)用受到了限制。對于二維及三維的工程結(jié)構(gòu)，如果其幾何邊界不規(guī)則，要尋找滿足邊界條件的連續(xù)的近似位移函數(shù)是極其困難的。2.管道系統(tǒng):閥門、接頭和三通表現(xiàn)為集中質(zhì)量。1.變壓器的箱體：可以看成是由板和梁的組合結(jié)構(gòu)；第十八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期三在有限元方法中，由于利用了分片插值技術(shù)，連續(xù)體（區(qū)域）的形狀可以不受任何限制。而這一難題正是以前其他分析方法所難以克服的

可以將有限元法理解為在子域內(nèi)應(yīng)用的瑞利－里茲法（Rayleigh—RitzMethod）在子域內(nèi)不難找到滿足條件的試探函數(shù)(Trialfunction)第十九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期三建立有限元方程常用的方法：直接方法（直接從結(jié)構(gòu)力學(xué)引伸而得）

簡單、易于理解，一些基本概念和作法的物理意義清晰，對理解有限元方法的相關(guān)概念和具體作法十分有益。變分方法（最常用的一種形式）

變分方法主要用于線性問題，該方法要求被分析的問題存在一個“能量泛函”，由泛函取駐值建立有限元方程。對于線性彈性問題就表現(xiàn)為最小勢能原理、最小余能原理或其他形式的廣義變分原理。對于某些非線性問題（彈塑性問題）的虛功方程也可歸于這一類。加權(quán)殘值法（“能量泛函”不存在時）

對于線性自共軛形式方程，加權(quán)殘值法可能和變分法得到相同的結(jié)果，這將使我們得到一個對稱的剛度矩陣。對于那些“能量泛函”不存在的問題（主要是一些非線性問題和依賴于時間的問題）加權(quán)殘值法是一種很有效的方法。如:伽遼金Galerkin法（.即，選形函數(shù)為權(quán)函數(shù)的加權(quán)殘值法）屬于這一類。第二十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期三有限單元方法處理問題的基本步驟單元分析形成總體方程解方程（文本或圖形）輸出結(jié)果離散化第二十一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期三建立離散化計算模型（一維問題）（二維問題）（三維問題）（二階問題）（四階問題）（桿系問題）（組合體問題）（梁彎曲問題）（板彎曲問題）用恰當(dāng)?shù)膯卧史智蠼庥騿卧治觯茖W(xué)規(guī)律）形成總體方程（組裝總剛度陣）（組裝載荷陣）解方程（數(shù)值積分）（代數(shù)方程求解）輸出結(jié)果（圖形、文本）基礎(chǔ)理論（變分原理）（分片插值）選定基本變量約束條件處理（靈活、易錯）有限元方法的組成模塊第二十二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期三現(xiàn)代有限元方法是工程分析中一種處理偏微分方程邊值問題的最有效的數(shù)值方法之一，對于工程中的許多場變量的定解問題，通過此方法可以得到滿足工程要求的近似解。變分原理在有限元方法中有重要的作用，在許多場合依據(jù)變分原理可以給出總體方程合理性的滿意解釋。創(chuàng)建新型單元的工作仍在不斷進(jìn)行，人們始終沒有放棄構(gòu)造新型的功