2016屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2篇12節(jié)定積分概念及簡單應(yīng)用課件理

第12節(jié)定積分的概念及簡單應(yīng)用最新考綱1.了解定積分的實際背景,了解定積分的基本思想,了解定積分的概念.2.了解微積分基本定理的含義.編寫意圖定積分的計算、定積分在物理中的應(yīng)用及利用定積分求平面圖形的面積在高考中常有所涉及.本節(jié)圍繞高考命題的規(guī)律進行設(shè)點選題,重點突出定積分的計算、定積分在物理中的應(yīng)用,難點突破利用定積分求平面圖形的面積、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,思想方法欄目突破了分割法在求面積中的應(yīng)用,充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想的靈活應(yīng)用.考點突破思想方法夯基固本夯基固本抓主干

固雙基知識梳理1.定積分(1)定積分的相關(guān)概念如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),用分點a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b將區(qū)間

[a,b]等分成n個小區(qū)間,在每個小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點ξi(i=1,2,…,n),作和式ni

=1f

(xi

)

Δx=ni

=1b

-

anf(ξi),當(dāng)n→∞時,上述和式無限接近某個常數(shù),這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分,記作()f

x

dx

,即baf

(x

)dxba=

limn

fi

￥i

=1nb

-

a

f(ξni),a與b分別叫做積分下限與積分上限,區(qū)間[a,b]叫做積分區(qū)間,函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù),x

叫做積分變量,f(x)dx

叫做被積式.(2)定積分的幾何意義條件ba

f

(x)dx

的幾何意義f(x)≥0表示由直線

x=a

,

x=b

,y=0

及曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積f(x)<0表示由直線

x=a

,

x=b

,y=0

及曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù)f(x)在[a,b]上有正有負表示位于x軸上方的曲邊梯形的面積減去位于x軸下方的曲邊梯形的面積(3)定積分的基本性質(zhì)①(

)akfb

bf

(x)dxax

dx

=

k(k為常數(shù));②(

)

(

)12ba

f

x

–f

x

dx

=(

)f2

(x)dx

;1f

x

dx

–bba

a③(

)x

dx

=baf(

)f

(x)dxf

x

dx

+cbac(其中a<c<b).F′(x)F(b)-F(a)3.定積分在物理中的應(yīng)用(1)變速直線運動問題如果做變速直線運動的物體的速度v關(guān)于時間t的函數(shù)是v=v(t)(v(t)≥0)(

)ba那么物體從時刻

t=a

到t=b

所經(jīng)過的路程為

s=

v

t

dx

;如果做變速直線運動的物體的速度關(guān)于時間的函數(shù)是v=v(t)(v(t)≤0),那么物體從時刻t=a(

)ba到t=b

所經(jīng)過的路程為s=

-

v

t

dx

.(2)變力做功問題物體在變力F(x)的作用下做直線運動,并且物體沿著與力F(x)相同的方向從x=a移動到x=b(a<b),則變力F(x)所做的功為W=(

)F

x

dx

.ba基礎(chǔ)自測1.已知f(x)為偶函數(shù)且(

)60f

x

dx

=8,則(

)6-6f

x

dx等于()(A)0

(B)4

(C)8

(D)16解析:因為f(x)為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱,D所以(

)-6f

x

dx

=26

6f

(x)dx

=8×2=16.故選D.02.(

)π20x

-sin

x

dx等于()(A)π24-1

(B)π2-1

(C)8

8π2(D)π28+1B解析:0π2(x

-

sin

x)dx=(12x2+cos

x)π20=π28-1.故選B.3.(2015貴陽質(zhì)檢)已知t>1,若(

)1t22x

+1

dx=t

,則t=

.解析:(

)1t22x

+1

dx=(x

+x)1t

=t2+t-2,從而得方程t2+t-2=t2,解得t=2.答案:24.給出下列命題:①設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則(

)f

x

dx

=baf

(t

)dt

.ba②定積分一定是曲邊梯形的面積.③若f

(x)dx

<0,那么由y=f(x),x=a,x=b以及x軸所圍成的圖形一ba定在x軸下方.④若f(x)是偶函數(shù),則(

)f

x

dx

=2a-af

(x)dx

.0a⑤微積分基本定理中F(x)是唯一的.其中真命題是

.(寫出所有真命題的序號)解析:①正確.定積分與被積函數(shù)、積分上限和積分下限有關(guān),與積分變量用什么字母表示無關(guān).②錯誤.不一定是,要結(jié)合具體圖形來定.③錯誤.也有可能是在x軸上方部分的面積小于在x軸下方部分的面積.④正確.當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時,其圖象關(guān)于y軸對稱,∴()-afx

dx

=f

(x)dx

,00

a∴(

)x

dx

=2a-aff

(x)dx

.0a⑤錯誤,不是唯一的,它們之間相差非零常數(shù).答案:①④考點突破剖典例

找規(guī)律考點一【例1】(1)-

sinx2π

0

2

cosx

2

2dx=

;(2)320x

-1

dx=

;(3)11

-

x2-1dx=

;(4)(2014武漢模擬)若112x

+ax

dx=3+ln

2(a>1),則a的值是

.定積分的計算解析:(1)π

0

2

cos-

sinx2x

2

2dx=(

)π201

-

sin

x

dx=(

)π20x

+

cos

x

′dx=(x+cos

x)π20=

π

-1.2(2)320x

-1

dx=(1201

-

x

dx+(321x

-1

dx=(x-

1

x3)310+(

1

x3-x)331=(1-

1

)+(6+

2

)=

22

.3

3

3(3)根據(jù)定積分的幾何意義,所求的定積分是曲線y=

1

-x2

和直線x=-1,x=1及y=0所圍成圖形的面積,顯然是半個單位圓,其面積是π

,2故1-121

-

x2

dx=

π

.(4)由112x

+ax

21dx=(x

+ln

x)

a

=a2+ln

a-1=3+ln

2,a2

-1

=

3,得ln

a

=ln

2,解得a=2.答案:(1)

π

-1

(2)2223(3)π2(4)2反思歸納

(1)定積分的計算方法有三個:定義法、幾何意義法和微積分基本定理法,其中利用微積分基本定理是最常用的方法,若被積函數(shù)有明顯的幾何意義,則考慮用幾何意義法,定義法太麻煩一般不用.(2)運用微積分基本定理求定積分時要注意以下幾點:①對被積函數(shù)要先化簡,再求積分.②求被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分,依據(jù)定積分“對區(qū)間的可加性”,分段積分再求和.③對于含有絕對值符號的被積函數(shù),要先去掉絕對值號再求積分.④注意用“F′(x)=f(x)”檢驗積分的對錯.提醒:被積函數(shù)若含有絕對值號,應(yīng)先去絕對值號,再分段積分.【即時訓(xùn)練】若1ab2x

+x

a

)dx=3+ln

2(b>0),則log

b=.解析:由12x

+abx

dx=3+ln

2,b得(x2+ln

x)a

=a2+ln

a-(b2+ln

b)=3+ln

2,a2

-

b2

=

3,即

a

b

=

2,a

=

2,解得a

=

-2,或b

=1,

b

=

-1.(舍去)所以a=2,b=1,∴l(xiāng)ogab=log21=0.答案:0考點二【例

2】(1)(2014

鄭州模擬)由曲線xy=1,直線y=x,x=3

及x

軸所圍成的曲邊四邊形的面積為(

)(A)

116(B)

92(C)

1

+ln

3

(D)4-ln

32(2)拋物線y2=4x

與直線y=2x-4

圍成的平面圖形的面積是

.

2

(3)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是折線段ABC,其中A(0,0),B

1

,5

,C(1,0),函數(shù)y=xf(x)(0≤x≤1)的圖象與x

軸圍成的圖形的面積為

.應(yīng)用定積分求面積法二

選用y

為積分變量,這時所求的面積為42-21214y

+

2

-ydy=(1

14122

3y

+2y-

y

)4-2=9.21212<

x

￡1,10x

,0

￡

x

￡

,∴x·f(x)=

-10x2

+10x,∴所求面積為S=212010x

dx+

(1212-10x

+10x

dx=103x3120x3

+

5x2103+

-112=

10

110

10

1

1

5×

+

-

+

5

-

- ·

+

5

·

=

.3

8

3

3

8

4

4

答案:(1)C

(2)9

(3)

54反思歸納

(1)利用定積分求曲邊梯形面積的步驟:①畫出曲線的草圖.②借助圖形,確定被積函數(shù),求出交點坐標(biāo),確定積分的上、下限.③將“曲邊梯形”的面積表示成若干個定積分的和或差.④計算定積分,寫出答案.

(2)利用定積分求面積時注意選擇合適的積分變量以簡化運算.【即時訓(xùn)練】

(1)(2014

淄博模擬)如圖,直線y=2x

與拋物線y=3-x2

所圍成的陰影部分的面積是(

)(A)

353(B)22(C)-3(D)

323(2)(2014

長春模擬)設(shè)

a>0,若曲線

y=封閉圖形的面積為

a2,則a=

.x

與直線x=a,y=0所圍成解析:(1)由題圖知S=(12-33

-

x

-

2x

dx=(3x-

1

x3-x2)31-3=(3×1-

1

-1)3-[3×(-3)-13×(-3)3-(-3)2]=323.故選D.答案:(1)D

(2)

49定積分在物理中的應(yīng)用考點三【例3】(2013高考湖北卷)一輛汽車在高速公路上行駛,由于遇到緊急情況而剎車,以速度

v(t)=7-3t+

25

(t

的單位:s,v

的單1

+

t位:m/s)行駛至停止.在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位:m)是(

)(A)1+25ln

5(B)8+25ln113(C)4+25ln5(D)4+50ln22解析:令v(t)=0得,3t-4t-32=0,解得t=4(t=-83舍去).汽車的剎車距離是40257

-

3t

+1

+

t

dt=[7t-322t

+25ln(t+1)]40=4+25ln

5.故選C.反思歸納定積分在物理上的應(yīng)用主要是求做變速直線運動的質(zhì)點所走過的路程和求變力做功.在解題中把其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的定積分求解即可.【即時訓(xùn)練】一物體在變力F(x)=x2(單位:N)的作用下,沿力的方向移動了

10

m,在此過程中變力所做的功是

J.解析:由題意得力F(x)在這個過程中所做的功為F(x)在[0,10]上的定積分,從而(

)0F

x

dx=10

1020x

dx=3x310010003=

(J).答案:10003助學(xué)微博1.求定積分的方法有定義法、幾何意義法、微積分基本定理法.2.在利用微積分基本定理時一般要對被積函數(shù)先化簡,再求定積分.3.在應(yīng)用定積分求幾何圖形的面積時,有時需對圖形進行分割

(或補形),依據(jù)定積分“對區(qū)間的可加性”分段積分再求和.思