課件教案第六章

16.4.2

平行力系的簡化平行力系：力系各力作用線都相互平行的力系為平行力系。平行力系的簡化是一般力系簡化的另一種特殊情形。平行力系的最簡形式平行力系的主矢平行力系對空間任一確定點O的主矩ni=1

FR

=

Fi(6.18)ni=1

MO

=

MO

(Fi

)(6.19)

Fi

^

MO

(Fi

)

Fi

//

Fj\

FR

MO

(Fi

)

=

0

FR

MO

=

0FR

^

MO

(Fi

)(6.20)(6.21)上式表明：平行力系的第二不變量為零，平行力系的最簡形式只有平衡、合力偶和合力三種情形。2平行力系的簡化與平行力系的中心(1)

平行力系的合力(2)

平行力系的合力矩?0

時，當(dāng)平行力系的主矢FR

F

=

FR該力系必存在合力，合力的力矢OiDCrirCFiFRCDiri

平行力系各力作用點Di

相對于點O的矢徑；rC

平行力系合力作用線上任意一點C

相對于點O的矢徑，根據(jù)平行力系的合力對其作用線上的點C的矩為零及由力系的等效性質(zhì)知，平行力系的合力的矩等于各分力的矩的矢量和，有nMC=

CD

·

Fii=1

=ni=1(

)ri

-

rC

·

Fi

=

0(6.22)=

M

-

r

·O

ROni=1O

C

i

F

=

M

-

M

(F

)

=

03(3)

平行力系的中心若取力作用線的某一指向為正向，其單位矢量為，則Fi

=

Fi

e(i

=1,2,,

n)e(6.23)將上式代入式(6.22)得到nFi

rC

·e

=

0n

i=1

i=1

Fi

ri

-

(6.24)當(dāng)平行力系的各力大小和作用點保持不變，但各力的作用線繞同向軸轉(zhuǎn)過任意相同的角度后（體現(xiàn)在e

方向的任意性上），由式(6.24)可確定一個唯一的固定不變的點C，滿足nni

i

FiF

rrC=

i=1

(6.25)i=1這個固定不變的點C稱為平行力系的中心。平行力系的中心相對于點O的矢徑公式4(4)

平行力系的中心的坐標(biāo)公式若在點O建立直角坐標(biāo)系Oxyz，則平行力系的中心的坐標(biāo)公式為

rC

=

x i

+

y j

+

z

kC(xC

,

yC

,

zC

)i

i

i

iii

iD

(x

,

y

,

z

)

riC

C

C

=

x

i

+

y j

+

z

kn

Fi

xixC

Fii=1=

i=1

nn

n

Fi

yiyC

Fii=1=

i=1

nn

Fi

zizC

Fii=1=

i=1

(6.26)(5)

結(jié)論只要求得平行力系的中心位置，則平行力系的合力作用線的位置也就確定了?？傊?，若平行力系的主矢FR

?0，則平行力系存在合力，且合力必過平行力系的中心，其力矢與FR

相同。56.4.3平行力系的簡化理論在工程中的兩個應(yīng)用(1)物體的重心、質(zhì)心和形心①物體的重心計算物體的重心是平行力系簡化在工程中的一個具體應(yīng)用。物體的重力系是同向的平行力系，顯然其主矢不為零，一定存在合力。物體的重力系的合力稱為物體的重力，物體重力的中心稱為物體的重心。整個物體所受的重力可等效于全部都集中在其重心上。物體重心矢徑公式物體重心坐標(biāo)公式：假設(shè)：V為某一物體的體積；dV為該物體微元體的體積；r為物體的密度；g

為重力加速度的大??；則微元體的質(zhì)量為rdV

，微元體受到的重力的大小為rg

dV

。dV

(x,

y,

z)Oxyzr

VgrgdVrrC

=V

rrdVV

rdV有限大小的物體，其上各點處的重力加速度可以認(rèn)為是相等的。則由式(6.25)、(6.26)可得物體重心矢徑和坐標(biāo)公式為(6.27)C

rdVx

=

V

xrdV(6.28)CyV

yrdV=V

V

VCz

rdV

rdVV

zrdV=②物體的質(zhì)心和物質(zhì)的形心通常，有限大小的物體的重心位置與重力加速度無關(guān)，它只是反映物體質(zhì)量分布特征的一個幾何點。物體質(zhì)量分布的中心稱為物體的質(zhì)心。在均勻重力場中，物體的重心與質(zhì)心重合。應(yīng)該指出，質(zhì)心單純地由質(zhì)量分布所決定，而重心只在重力場中才有意義。67VrC

=

V

rdV當(dāng)r

=const

，即物體是均質(zhì)時，式(6.27)、(6.28)可寫為(6.29)CV

V

VC

Cx

=

VxdV

y

=

V

ydV

z

=

VzdV(6.30)ArC

=A

rd

A以上兩式表明，均質(zhì)物體的重心位置完全由物體的幾何形狀所決定，物體幾何形狀的中心稱為物體的形心，對均質(zhì)物體，其重心和形心重合。均質(zhì)平板的重心矢徑公式和其重心坐標(biāo)公式：對于面積為A的均質(zhì)平板，其重心矢徑和坐標(biāo)公式可分別寫為(6.31)CA

A

AC

Cx

=

A

xd

A

y

=

A

ydA

z

=

A

zd

A(6.32)對于工程中常見的等厚、均質(zhì)薄殼，其厚度可看成趨于零，可用式(6.31)、(6.32)求重心的矢徑和坐標(biāo)。8均質(zhì)細(xì)長桿的重心矢徑公式和其重心坐標(biāo)公式：對于長度為l的均質(zhì)細(xì)長桿，其重心矢徑和坐標(biāo)公式可分別寫為lrC

=l

rdl(6.33)Cx

=

l

xdll

l

lC

Cy

=

l

ydl

z

=

l

zdl(6.34)對于工程中常見的等截面均質(zhì)細(xì)長線條物體，其橫截面積可看成趨于零，可用式(6.33)、(6.34)求重心的矢徑和坐標(biāo)。工程中求均質(zhì)物體重心的常用方法：任何物體的重心均可利用重心的積分公式求得。但在很多情況下，其積分運算比較麻煩，甚至是相當(dāng)困難的。下面介紹工程中求均質(zhì)物體重心的常用方法。①查表法工程中許多物體都具有簡單的幾何形狀，其重心可通過工程手冊直接查得。在本教材的P335~338的附錄II列出了幾種常見規(guī)則幾何形狀的均質(zhì)物體的重心公式。9②對稱性法凡是具有質(zhì)量對稱面、對稱軸或?qū)ΨQ點的物體，其重心必在對稱面、對稱軸或?qū)ΨQ點上。根據(jù)這一原則，可方便求得重心的一部分坐標(biāo)或它的全部坐標(biāo)。③分割法如果均質(zhì)物體的幾何形狀雖然比較復(fù)雜，但能分割成數(shù)個簡單幾何形狀的組合，那么先計算各簡單部分的重心位置，然后再計算整個物體的重心位置，稱這種方法為分割法。如果物體有空洞或孔，則可以將原均質(zhì)物體視為一形狀完整的物體與一體積或面積（空洞或孔部分）為負(fù)的均質(zhì)物體的組合，仍利用分割法計算原物體的重心位置，稱為負(fù)體積分割法或負(fù)面積分割法。④實驗法如果物體的形狀很復(fù)雜或質(zhì)量非均勻分布，則一般用實驗方法來確定其重心的位置。10(2)同向線分布載荷的合力同向分布載荷是工程中常見的另一種同向平行力系，求它的合力大小和合力作用線的位置，是平行力系簡化的又一具體應(yīng)用。同向線分布載荷沿構(gòu)件軸線連續(xù)作用的載荷，作用于構(gòu)件單位長度該術(shù)語在極限的意義下使用上力的大小稱為載荷集度。同向線分布載荷的合力大小公式在直桿AB上作用一垂直向上的線分布載荷，如圖所示。建立直角坐標(biāo)系Oxy，已知：x處載荷的集度為q(x)，則平行力系的合力大小為xxAF

=

B

q(x)dx(6.35)載荷圖形ABba的面積abABOxyxdxq(x)CFxC11FCFxdx(6.32)x

=(6.36)載荷圖