江西省高三模擬考試數(shù)學(xué)（理科）試卷附答案解析

第第頁(yè)江西省高三模擬考試數(shù)學(xué)（理科）試卷附答案解析班級(jí):___________姓名：___________考號(hào)：___________一、單選題1．若，則可能為（

）A． B． C． D．2．設(shè)全集，和，則（

）A． B． C． D．3．設(shè)實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為（

）A．0 B．2 C． D．54．若命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)可取的最小整數(shù)值是（

）A． B．0 C．1 D．35．雙曲線C：的一條漸近線的傾斜角為130°，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果，則判斷框中填入的條件可以為（

）A． B． C． D．7．求值（

）A．8 B．9 C．10 D．18．如圖，在正三棱柱中和，D，分別是棱，的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為A． B．C． D．9．拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線為直線.過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則的角平分線所在的直線的斜率是A．1 B． C． D．10．已知函數(shù)圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，則（

）A． B． C．0 D．11．已知點(diǎn)，動(dòng)圓C與直線相切于點(diǎn)B，過(guò)M，N與圓C相切的兩直線相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．12．設(shè)，和，則（

）A． B． C． D．二、填空題13．的展開式中的系數(shù)等于____________．（用數(shù)字作答）14．已知且，則的夾角是_____．15．已知定義在上的函數(shù)滿足且，函數(shù)的表達(dá)式為，則方程在區(qū)間上的所有實(shí)數(shù)根之和為___________.16．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)經(jīng)典，其中對(duì)勾股定理的論述，比西方早一千多年，其中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材埋在壁中不知大小；以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口深1寸，鋸道長(zhǎng)1尺，問(wèn)這塊圓柱形木料的直徑是多少？長(zhǎng)為0.5丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中截面圖如圖所示（陰影部分為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分）.已知弦尺，弓形高寸，估算該木材鑲嵌墻內(nèi)部分的體積約為______立方寸.（注：一丈=10尺=100寸，，答案四舍五入，只取整數(shù)）三、解答題17．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，試求除以3的余數(shù).(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值．19．2022年2月4日至2月20日，第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在北京和張家口隆重舉行.北京市各校大學(xué)生爭(zhēng)相出征服務(wù)冬奧會(huì)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)某校在校大學(xué)生有9000人，男生與女生的人數(shù)之比是2:1，按性別用分層抽樣的方法從該校大學(xué)生中抽取9名參加冬奧會(huì)比賽場(chǎng)館服務(wù)培訓(xùn)，培訓(xùn)分4天完成，每天獎(jiǎng)勵(lì)若干名“優(yōu)秀學(xué)員”，累計(jì)獲2次或2次以上者可獲2022冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”或“雪容融”一個(gè).(1)若從這抽取的9名大學(xué)生中隨機(jī)選出3人服務(wù)“國(guó)家體育館”，求選出的3人中至少有一位是女生的概率.(2)設(shè)參加服務(wù)培訓(xùn)的大學(xué)生甲每天獲“優(yōu)秀學(xué)員”獎(jiǎng)勵(lì)的概率均為，記同學(xué)甲獲得“優(yōu)秀學(xué)員”的次數(shù)為X，試求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望，并以獲得“優(yōu)秀學(xué)員”的次數(shù)期望為參考，試預(yù)測(cè)該同學(xué)甲能否獲得冬奧會(huì)吉祥物？20．在平面直角坐標(biāo)系中已知和，動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明曲線是什么圖形；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程；（3）設(shè)是直線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，設(shè)，求證：過(guò)三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)．21．已知函數(shù).(1)若曲線與直線相切，求a的值；(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范圍.22．已知函數(shù)，其反函數(shù)為，直線分別與函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)（其中），設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和．求證：（1）當(dāng)時(shí)（2）當(dāng)時(shí)．23．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)求不等式的解集；(2)若不等式對(duì)和恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案與解析1．D【分析】設(shè)，根據(jù)條件求出關(guān)系，然后逐一驗(yàn)證選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)則觀察得僅滿足故選：D.2．C【分析】用列舉法表示出全集，根據(jù)補(bǔ)集和并集的定義可求得結(jié)果.【詳解】.故選：C.3．D【分析】畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到答案.【詳解】如圖所示：畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)根據(jù)平移知當(dāng)時(shí)有最大值為.故選：D.4．B【分析】轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題求解【詳解】由題意得在上有解，當(dāng)時(shí)取最小值則，故可取的最小整數(shù)值為0故選：B5．C【分析】依題意利用誘導(dǎo)公式可得，再根據(jù)離心率公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；【詳解】解：雙曲線C：的漸近線為依題意，即，即所以雙曲線的離心率故選：C6．D【分析】根據(jù)給定的程序框圖，逐次循環(huán)計(jì)算，結(jié)合輸出結(jié)果進(jìn)行判定，即可求解.【詳解】框圖首先給累加變量賦值，給循環(huán)變量賦值依次類推，令，知判斷框中的條件滿足，執(zhí)行此時(shí)不滿足條件，退出循環(huán)，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是“”故選：D.7．B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算公式和指數(shù)運(yùn)算公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)樗怨蔬x：B.8．D【分析】根據(jù)正三棱柱的特征可知為等邊三角形且平面，根據(jù)可利用勾股定理求得；把底面與側(cè)面在同一平面展開，可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值；在中利用余弦定理可求得最小值，加和得到結(jié)果.【詳解】三棱柱為正三棱柱

為等邊三角形且平面平面

把底面與側(cè)面在同一平面展開，如下圖所示：當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值又，和周長(zhǎng)的最小值為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中三角形周長(zhǎng)最值的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為側(cè)面上兩點(diǎn)間最短距離的求解問(wèn)題，利用側(cè)面展開圖可知三點(diǎn)共線時(shí)距離最短.9．B【詳解】由拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為點(diǎn)，由拋物線的定義可知所以的平分線所在的直線就是線段的垂直平分線因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以的斜率所以的平分線的方程為，故選B.點(diǎn)睛：本題考查了直線的斜率公式，拋物線的定義的轉(zhuǎn)化等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，主要拋物線的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，斜率公式等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用.其中拋物線的定義是解決拋物線問(wèn)題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，如果問(wèn)題中涉及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來(lái)，那么用拋物線定義就能解決問(wèn)題，就可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.10．D【解析】先將函數(shù)化簡(jiǎn)整理，根據(jù)相鄰對(duì)稱軸之間距離求出周期，確定，再求.【詳解】因?yàn)橛深}意知的最小正周期為，所以，即所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)已知條件先化簡(jiǎn)正弦函數(shù)的解析式，還要熟練掌握三角函數(shù)的性質(zhì)才能正確的解題，屬于中檔題.11．A【分析】由給定條件分析探求出點(diǎn)P所滿足的關(guān)系，再結(jié)合圓錐曲線的定義即可作答.【詳解】設(shè)直線PM，PN與圓C相切的切點(diǎn)分別為點(diǎn)Q，T，如圖由切線長(zhǎng)定理知，MB=MQ，PQ=PT，NB=NT，于是有|PM|-|PN|=|MQ|-|NT|=|MB|-|NB|=2<6=|MN|則點(diǎn)P的軌跡是以M，N為左右焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)2a=2的雙曲線右支，虛半軸長(zhǎng)b有所以點(diǎn)P的軌跡方程為.故選：A12．B【分析】根據(jù)給定的數(shù)據(jù)信息構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小作答.【詳解】令，求導(dǎo)得則函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，即令，求導(dǎo)得則函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，即，當(dāng)時(shí)因此，則當(dāng)時(shí)取，則有所以.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問(wèn)題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，細(xì)心挖掘問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.13．120【分析】利用二項(xiàng)式展開式分兩種情況求出即可.【詳解】由題意分兩種情況：①②故的系數(shù)為：故答案為：120.14．##【分析】由題意易得，結(jié)合夾角余弦公式可得結(jié)果.【詳解】∵且∴，即∴此時(shí)夾角為銳角∴的夾角是.故答案為：15．【分析】法一：根據(jù)解析式和遞推關(guān)系，分區(qū)間直接求解得到所有根，然后求和；法二：繪出兩個(gè)函數(shù)的整體圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合對(duì)稱性得到所有根的和．過(guò)點(diǎn)和兩函數(shù)的圖象有如圖所示的三個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為對(duì)應(yīng)方程的三個(gè)實(shí)數(shù)根.由于點(diǎn)不在上，所有根之和為.【點(diǎn)睛】利用數(shù)形結(jié)合思想，注意函數(shù)的圖象的對(duì)稱性的應(yīng)用，是快捷高效的方法.16．317【解析】根據(jù)弓形的鋸口深1寸，鋸道長(zhǎng)1尺，求出圓的半徑，從而求出弓形（陰影部分）面積后，由柱體體積公式得木材體積【詳解】如圖，設(shè)圓半徑為寸（下面長(zhǎng)度單位都是寸），連接，已知，在中，即，解得由得，所以圖中陰影部分面積為扇形（平方寸）鑲嵌在墻體中木材是以陰影部分為底面，以鋸刀長(zhǎng)為高的柱體所以其體積為（立方寸）故答案為：317．【點(diǎn)睛】本題考查柱體的體積，關(guān)鍵是求底面面積，方法是由扇形面積減去相應(yīng)三角形面積得弓形面積，屬基礎(chǔ)題．17．(1)(2)2【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式求出，再根據(jù)求出；（2）利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，然后應(yīng)用二項(xiàng)式展開式求余數(shù)【詳解】（1）由有，即又，故所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列所以，即故，兩式相減得，即所以因此的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）及，有，所以又因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，所以存在正整數(shù)使得故所以除以3的余數(shù)為2.18．(1)見解析(2)【分析】（1）先在面內(nèi)證明，再證明面，證得面，由面面垂直的判定定理得到平面平面.（2）建系，利用法向量求二面角的平面角的余弦值.【詳解】（1）證明：平面，平面為的中點(diǎn),又平面，平面又，平面平面，又平面，又，平面平面平面所以平面平面.（2）,在面內(nèi)，過(guò)作平面，兩兩相互垂直以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖空間坐標(biāo)系由（1）知，為中點(diǎn)，則則面，面的一個(gè)法向量是設(shè)面的法向量則所以面的一個(gè)法向量為所以二面角的余弦值為.19．(1)(2)分布列見解析，，能獲得吉祥物【分析】（1）依據(jù)古典概型即可求得選出的3人中至少有一位是女生的概率；（2）依據(jù)二項(xiàng)分布即可得到X的分布列及其數(shù)學(xué)期望，再與獲得2022冬奧會(huì)吉祥物的條件進(jìn)行比較即可預(yù)測(cè)甲能否獲得冬奧會(huì)吉祥物.(1)由題可知，抽取的9名大學(xué)生中6名男生，3名女生；則選出的3名學(xué)生中至少有一名女生的概率(2)由題可知和和所以X的分布列X01234P所以即能獲得吉祥物.20．（1）動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，曲線是以為圓心，2為半徑的圓（2）的方程為或.（3）證明見解析，所有定點(diǎn)的坐標(biāo)為和【分析】（1）利用兩點(diǎn)間的距離公式并結(jié)合條件，化簡(jiǎn)得出曲線的方程，根據(jù)曲線方程的表示形式確定曲線的形狀；（2）根據(jù)幾何法計(jì)算出圓心到直線的距離，對(duì)直線分兩種情況討論，一是斜率不存在，一是斜率存在，結(jié)合圓心到直線的距離求出直線的斜率，于此得出直線的方程；（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，從而可得出過(guò)、P、三點(diǎn)的圓的方程，整理得出，然后利用，解出方程組可得出所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）由題意得，化簡(jiǎn)可得：所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.曲線是以為圓心，為半徑的圓；（2）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不成立；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)設(shè)，即圓心到的距離為∵∴,

即，解得或∴的方程為或；（3）證明：∵在直線上，則設(shè)∵為曲線的圓心，由圓的切線的性質(zhì)可得∴經(jīng)過(guò)的三點(diǎn)的圓是以為直徑的圓則方程為整理可得令，且解得或則有經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)，所有定點(diǎn)的坐標(biāo)為和.【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法，考查直線截圓所得弦長(zhǎng)的計(jì)算以及動(dòng)圓所過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，解決圓所過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，關(guān)鍵是要將圓的方程求出來(lái)，對(duì)帶參數(shù)的部分提公因式，轉(zhuǎn)化為方程組求公共解問(wèn)題．21．(1)(2)【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，令求得切點(diǎn)即可得出方程，比較可得出答案；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)值變化可得.【詳解】（1）的定義域?yàn)楹?令，得，又所以曲線的斜率為1的切線為由題意知這條切線即，故.（2）存在，使得成立，即存在，使得成立.設(shè)，則.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)所以.若，則，即，所以單調(diào)遞增故當(dāng)時(shí)，不符合題意.若，和所以存在，使得當(dāng)時(shí)，即，在上單調(diào)遞減所以當(dāng)時(shí)，符合題意.綜上可知，的取值范圍是.22．（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）由題意解得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，表示，利用的關(guān)系證明結(jié)論；