線性代數(shù)期末考試試卷+答案合集

大學(xué)生校園網(wǎng)一大學(xué)生校園網(wǎng)一VvSchool.CN 線性代數(shù)綜合測試題共共3頁第#頁C。0、—35)D。111210°)2C。0、—35)D。111210°)2)第二部分非選擇題（共72分）二、填空題（本大題共10小題,內(nèi)。錯填或不填均無分.每小題2分，共20分）不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格15。1525163616.設(shè)A=:/—1)11:24117。設(shè)A=(哈3x3,IAI=2,Aij表示IAI中元素aij的代數(shù)余子式(i,j=1,2,3),則(a11A2117。設(shè)A=(哈3x3,2+（a21A21+a22A22+a23A23）2+（a31A21+a32A22+a33A23'2= >18.設(shè)向量（2,-3,5）與向量（-4,6,a）線性相關(guān)，則a=.19。設(shè)A是3X4矩陣，其秩為3,若njn2為非齊次線性方程組Ax=b的2個不同的解，則它的通解為..設(shè)A是mXn矩陣，A的秩為r（<n）,則齊次線性方程組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系中含有解的個數(shù)為..設(shè)向量a、B的長度依次為2和3,則向量a+B與a—B的內(nèi)積（a+B,a-B）=。22。設(shè)3階矩陣A的行列式IAI=8,已知A有2個特征值-1和4,則另一特征值為。一f01023一f01023。設(shè)矩陣A=1—31-21024.設(shè)實二次型f(X1,x2,6—83)x3， x4,f2）已知&=-1是它的一個特征向量，則a所對應(yīng)的特征值為12）,x5）的秩為4,正慣性指數(shù)為3,則其規(guī)范形為。三、計算題（本大題共7小題，每小題6分洪42分）T25.設(shè)A=31-10101)1)f:24o)。求(1)ABT25.設(shè)A=31-10101)1)f:24o)。求(1)ABt；(2)I4AI。26。試計算行列式3—521110—5—13132—4—1—327。設(shè)矩陣A=f41—13、0，求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.3)28。給定向量組a1:2)10I3)試判斷a4是否為a1,a2,1、—324)'：1021-1)a3的線性組合;0]-149)若是，則求出組合系數(shù)。1-2-102、-2426-62-102333334)29。設(shè)矩陣A=求：⑴秩（A）；（2）A的列向量組的一個最大線性無關(guān)組。30。設(shè)矩陣A=f-2-241的全部特征值為1,1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D,使T-1AT=D。31.試用配方法化下列二次型為標準形f（x1,x2,x3）=x2+2x2-3x2+4X]X0-4x.x,-4x9x,,

1 23 1 2 3 12 13 23并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題（本大題共2小題,每小題5分，共10分）32.設(shè)方陣A滿足A3=0,試證明E—A可逆，且（E-A）-i=E+A+A2.33。設(shè)n0是非齊次線性方程組Ax=b的一個特解，呂1,呂2是其導(dǎo)出組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系。試證明n1=n0+呂1,n2=n0+呂2均是Ax=b的解；n0,n1,n2線性無關(guān)。答案：一、單項選擇題（本大題共14小題,每小題2分，共28分）TOC\o"1-5"\h\z1。D 2。B 3,B 4。D 5.C6。D 7。C 8。A 9.A 10。B11.A 12。B 13。D 14.C二、填空題（本大題共10空，每空2分，共20分）15.616.17)16.17)1一1-3/)4-10n1+c(n2—n1)(或n2+c(n2-n1)),c為任意常數(shù)n—r-5-2124242424z-23z+22z+21z三、計算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）f12『-2]25。解（DABT=3403 4<-121八-10）

r86、1810。k310>(2)14AI=43|AI=64IAI,而TOC\o"1-5"\h\z1 2 0IAI= 3 4 0 =-2。-1 2 1所以|4AI=64,(-2)=-12831-1251-1126。解-513-4=-1113-1201-100101-53-3-5-530TOC\o"1-5"\h\z5 1 1=-111-1-5-505=-6-5=-6-512-5-6-52=30+10=40.-527.解27.解AB=A+2B即(A—2E)B=A,(A—2E)所以B=(A—32-2-8(A—2E)所以B=(A—32-2-8-91221-12E)-61;6J2-12-11A=11-111-1-4-56-4-56-31r-2130)r0-53-2)1-30-1 V1-30-10k3224)0k011212J4-19J13-1k28。解一r1035)11035r1035)11035)01 120112告 >00 8k00-1480011k0000J-14J100->10001010J0k0所以af2a1+所以af2a1+a2+a3,組合系數(shù)為（2,1,1)。解二考慮a4=x1a1+x2a2+x3a3,—2x1+x2+3*3=0x1—3x2=-12x2+2x3=43x1+4x2-乂3=9.方程組有唯一解(2,1,1)T,29。解對矩陣A施行初等行變換組合系數(shù)為(2,1,1方程組有唯一解(2,1,1)T,29。解對矩陣A施行初等行變換組合系數(shù)為(2,1,1)。(1-2-102)0006-20328-210963-2；-2-1021)328-3)006-2>00-217；A >(1)秩(B)=3,-2300-1200083021-3-10；所以秩(A)二秩⑴)=3.(2)由于(2)由于A與B的列向量組有相同的線性關(guān)系，而B是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向卜石/15]

4后/15

[石/3J所求正交矩陣為'2^5/5卜石/15]

4后/15

[石/3J所求正交矩陣為'2^5/5T=r'5/52^15/154v5/15v5/3]-2/3；對角矩陣d"<001「J(2^5/52^15/15(也可取T=-v'5/3<石/5-4石/15]-2/3；.)量組的一個最大線性無關(guān)組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個最大線性無關(guān)組.(A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是)30.解A的屬于特征值人=1的2個線性無關(guān)的特征向量為€1=(2,-1,0)t, 1廣(2,0,1)t。心布/5]經(jīng)正交標準化，得n^-%'5/501u；入=-8的一個特征向量為)經(jīng)單位化得n3=2/31-2；<-1-2；31。解f(xjx2，x3)=(x1+2x2-2x3)2—2x22+4x2x3-7x32=(x1+2x2—2x3)2—2(x2—x3)2—5x32.丫1=X]+2x2-2x3X2-X3，TOC\o"1-5"\h\z[丫3= X因其系數(shù)矩陣c=； 12<0 0xi=y「2y2即1X2= 丫2+” ，X3= ”01 ……1可逆,故此線性變換滿秩.1J經(jīng)此變換即得f(X1,X2,X3)的標準形y12—2y22-5y32.四、證明題(本大題共2小題，每小題5分，共10分)32。證由于(E—A)(E+A+A2)=E-A3=E,所以E—A可逆,且(E—A)—1=E+A+A2。33證由假設(shè)An0=b,A呂1=0,A呂2=0.(1)An1=A(n0+€1)=An0+A€1=b,同理An