數(shù)值分析 一元插值

數(shù)值分析一元插值第一頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三第十二講

插值與逼近

第五章插值與逼近第二頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三插值和逼近是解決什么問題的？用某個簡單函數(shù)在滿足一定條件下，在某個范圍內(nèi)近似代替另一個較為復(fù)雜或者解析表達(dá)式未給出的函數(shù)，以便于簡化對后者的各種計算或揭示后者的某些性質(zhì)。第三頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三(1)復(fù)雜函數(shù)的計算;(2)函數(shù)表中非表格點計算;(3)光滑曲線的繪制;(4)提高照片分辯率算法;(5)定積分的離散化處理;(6)微分方程的離散化處理;(7)積分方程的離散化處理;插值方法的應(yīng)用:3/18第四頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三

例如：在工程實踐和科學(xué)實驗中，經(jīng)常需要建立函數(shù)關(guān)系，即y=f(x)。但通常只能觀測到它的部分信息，這些值構(gòu)成了觀測數(shù)據(jù)：而不知道函數(shù)在其他點x上的取值，這時只能用一個經(jīng)驗函數(shù)y=g(x)對真實函數(shù)y=f(x)作近似。

xi

x1

x2…

xnf(xi)f(x1)f(x2)…f(xn)第五頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三插值的任務(wù)就是由已知的觀測點(xi,yi)為物理量(未知量),建立一個簡單的、連續(xù)的解析模型g(x)

，以便能根據(jù)該模型推測該物理量在非觀測點處的特性。oxy●●●●●

y0

x1

x2

xn

y1

y2

yn

x0y=f(x)g(x)第六頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三

機翼斷面的下輪廓線如圖所示，下表給出了下輪廓線上的部分?jǐn)?shù)據(jù)。用程控銑床加工時，每一刀只能沿x方向和y方向走非常小的一步。例如，如果工藝要求銑床沿x方向每次只能移動0.1單位，這時就需要求出當(dāng)x坐標(biāo)每改變0.1單位時的y坐標(biāo)。試完成加工所需的數(shù)據(jù)，畫出曲線。

例：機床加工

xi035791112131415

yi01.21.72.02.12.01.81.21.01.6第七頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三第八頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三插值法:由實驗或測量的方法得到所求函數(shù)y=f(x)

在互異點x0,x1,...,xn

處的值y0,y1,…,yn

構(gòu)造一個簡單函數(shù)F(x)

作為函數(shù)y=f(x)

的近似表達(dá)式

y=f(x)F(x)使F(x0)=y0,F(x1)=y1,,F(xn)=yn(a)這類問題稱為插值問題。f(x)

稱為被插值函數(shù)，F(xiàn)(x)

稱為插值函數(shù)，x0,x1,...,xn

稱為插值節(jié)點。(a)式稱為插值條件。

函數(shù)插值的基本問題第九頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三插值函數(shù)的類型第十頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三第十一頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三代數(shù)插值一元函數(shù)插值（一元Lagrange插值）二元函數(shù)插值（二元Lagrange插值）Hermite插值樣條插值第十二頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三解法：設(shè)所求n次多項式為pn(x)=a0+a1x+…+anxn,由pn(xk)=yk

我們有問題:給定n+1對互異的點對(xi,yi)

i=0,1,2,…,n，求一個次數(shù)不高于n的多項式pn(x)，使得pn(xi)=yi,i=0,1,2,…,n一元函數(shù)插值第十三頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三ai(i=0,1,2,…,n)的系數(shù)行列式是Vandermonde行列式

由于xi互異，所以上式右端不為零，從而方程組的解a0,a1,…,an

存在且唯一。

但遺憾的是方程組是病態(tài)方程組時,階數(shù)n越高，病態(tài)越嚴(yán)重。為此我們從另一途徑尋求獲得Pn(x)的方法----Lagrange插值和Newton插值。（這兩種方法稱為基函數(shù)法）。第十四頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三函數(shù)組在點集上線性無關(guān)的概念：設(shè)函數(shù)組{φk(x),k=1,2,…}是次數(shù)不高于n的多項式組，稱在點集{x0,x1,x2,…,xm}(n<=m)上線性無關(guān)，如果向量組線性無關(guān)。第十五頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三問題的嚴(yán)格數(shù)學(xué)提法:

給定n+1對互異的實數(shù)點{xk,k=0,1,2,…,n}，實值函數(shù)f(x)在包含{xk,k=0,1,…,n}的某個區(qū)間[a,b]內(nèi)有定義。設(shè)函數(shù)組{φk(x),k=0,1,…,n}是次數(shù)不高于n的多項式組，且在點集{xk,k=0,1,…,n}上線性無關(guān)。問題：在次數(shù)不高于n的多項式集合

Dn=Span{φ0,φ1,…,φn}中尋求次數(shù)不高于n的多項式pn(x)=c0φ0(x)+c1φ1(x)+…+cnφn(x)，使其滿足條件

pn(xk)=f(xk),k=0,1,2,…,n此問題稱為一元代數(shù)插值問題。{xk,k=0,1,…,n}

稱為插值節(jié)點；f(x)稱為被插值函數(shù)；{φk(x),k=0,1,…,n}稱為插值基函數(shù)；pn(xk)=f(xk),k=0,1,2,…,n稱為插值條件；滿足插值條件的多項式稱為插值多項式。第十六頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三插值多項式的存在唯一性:給定n+1個互異的實數(shù)點{xk,k=0,1,2,…,n}，實值函數(shù)f(x)在包含{xk,k=0,1,…,n}的某個區(qū)間[a,b]內(nèi)有定義。設(shè)函數(shù)組{φk(x),k=0,1,…,n}是次數(shù)不高于n的多項式組，且在點集{xk,k=0,1,…,n}

上線性無關(guān)，那么在多項式集合Dn=Span{φ0,φ1,…,φn}中滿足插值條件

pn(xk)=f(xk),k=0,1,2,…,n的次數(shù)不高于n的多項式pn(x)=c0φ0(x)+c1φ1(x)+…+cnφn(x)

是唯一的。第十七頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三不同的插值基函數(shù)確定f(x)不同的插值；由于n次多項式空間的基不是唯一的，因此對同一函數(shù)f(x)我們會有不同的表達(dá)形式；但由于n次多項式空間的基是相互等價的，不同的插值表達(dá)式是相互等價的！因此，我們可以選擇一組特殊的基，使得插值多項式容易獲得！第十八頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三容易證明下列多項式系都是n維多項式空間的線性無關(guān)的一組基：第十九頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三一般的求解過程：設(shè)由插值條件：第二十頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三對第一類基：導(dǎo)致需要求解上述線性方程組，其系數(shù)矩陣為范德蒙行列式。第二十一頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三對第二類基：第二十二頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三形于上式的插值多項式稱為Lagrange插值多項式；{lk(x),k=0,1,…,n}稱為Lagrange插值基函數(shù)，并稱這種構(gòu)造n次插值多項式的方法為Lagrange插值法。第二十三頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三線性插值(n=1)

求次數(shù)≤1的多項式L1(x).

滿足條件L1(x0)=y0,L1(x1)=y1,y=f(x)y=L1(x)x0x1xy第二十四頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三第二十五頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三令L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2二次插值(n=2)

求次數(shù)≤2的多項式L2(x),

使其滿足條件L2(x0)=y0,L2(x1)=y1,L2(x2)=y2第二十六頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三特點：構(gòu)造容易，L-型插值基函數(shù)理論上有意義，但增加節(jié)點要重新計算，不適合編程計算。實際應(yīng)用：只用低次插值。第二十七頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三對第三類基：f[x0,x1,…,xk]稱為k階差商第二十八頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三形于上式的插值多項式稱為Newton插值多項式；{ωk(x),k=0,1,…,n}稱為Newton插值基函數(shù)，并稱這種構(gòu)造n次插值多項式的方法為Newton插值法。特點：每增加一個結(jié)點，Newton插值多項式只增加一項，克服了

Lagrange插值的缺點，適合編程計算。實際應(yīng)用：適合高次插值。第二十九頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三0－階差商1－階差商2－階差商k－階差商第三十頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三差商表xf(x)—零階一階二階三階四階x0f(x0)x1f(x1)f[x0,x1]x2f(x2)f[x1,x2]f[x0,x1,x2]x3f(x3)f[x2,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3]x4f(x4)f[x3,x4]f[x2,x3,x4]f[x1,x2,x3,x4]f[x0,x1,x2,x3,x4]第三十一頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三

定理1:差商具有如下性質(zhì)

(1)差商與函數(shù)值的關(guān)系為(2)差商與結(jié)點排列順序無關(guān)第三十二頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三

例:給定f(x)=lnx的數(shù)據(jù)表

xi

2.202.402.602.803.00f(xi)0.788460.875470.955511.029621.098611.構(gòu)造差商表2.寫出四次Newton插值多項式N4(x)

解:1.差商表第三十三頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三P4(x)=0.78846+0.43505(x-2.20）

-0.087375(x-2.20)(x-2.40)+0.0225(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)-0.00755(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)(x-2.80)2.第三十四頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期三定理：設(shè)x0,x1,…,xn

是n+1個互異的實數(shù)，對于給定