數(shù)學(xué)實驗對稱性

數(shù)學(xué)實驗課件對稱性AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?第一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對稱結(jié)構(gòu)承受對稱荷載的簡化計算簡化前提（結(jié)構(gòu)對稱）

1.幾何形狀對稱2.剛度對稱關(guān)于對稱軸對稱的任一對桿段，剛度相等。3.約束形式對稱包含支座的對稱和結(jié)點的對稱。坡屋面框架EI1EI1EI1EI1EI2EI2EI2EI2EI3EI3EI3EI3EI4EI4EI4EI4對稱結(jié)構(gòu)第二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對稱結(jié)構(gòu)承受對稱荷載的簡化計算對稱荷載沿對稱軸對折后，對稱軸以左荷載的大小、方向和作用點，都完全與以右的荷載重合的一組荷載。坡屋面框架FP1FP1對稱結(jié)構(gòu)承受對稱荷載FP2FP2第三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對稱結(jié)構(gòu)承受對稱荷載的簡化計算簡化思路力法計算的主要工作量在于求解典型方程。式中，主系數(shù)dii>0，而盡量使副系數(shù)和自由項等于0，從而系數(shù)和自由項的計算工作量大副系數(shù)自由項第四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對稱結(jié)構(gòu)承受對稱荷載的簡化計算可以簡化為獨立方程和少元聯(lián)立方程，以便求解。簡化目標(biāo)使典型方程中盡量多的副系數(shù)和自由項為0，以方便典型方程的求解。第五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對稱結(jié)構(gòu)承受對稱荷載的簡化計算原結(jié)構(gòu)FPFP基本結(jié)構(gòu)之一對稱的基本結(jié)構(gòu)基本體系FPX2X2X3X3X1X1FP按力法步驟推導(dǎo)簡化方法超靜定次數(shù)為3。選擇對稱的基本結(jié)構(gòu)。使基本未知力滿足對稱性或反對稱性。寫出典型方程。著重研究副系數(shù)dij和自由項DiP的計算，找出其中為0者。第六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對稱結(jié)構(gòu)承受對稱荷載的簡化計算求副系數(shù)：繪制圖反對稱彎矩圖與對稱彎矩圖的圖乘結(jié)果為0。即X2=1圖（對稱）圖（對稱）X3=1X1=1X1=1圖（反對稱）第七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對稱結(jié)構(gòu)承受對稱荷載的簡化計算求自由項：繪制MP圖和圖MP圖（對稱）FPFPX1=1X1=1圖（反對稱）第八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對稱結(jié)構(gòu)承受對稱荷載的簡化計算原典型方程簡化為其中，（a）是獨立方程，（b）是少元聯(lián)立方程。方程組（a）中主系數(shù)d11不為零，因此X1=0。（a）（b）第九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對稱結(jié)構(gòu)承受對稱荷載的簡化計算原典型方程最終簡化為（b）第十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對稱結(jié)構(gòu)承受對稱荷載的簡化計算疊加法繪內(nèi)力圖同理，最終變形也是對稱的?！罼2（對稱）+=M（對稱）MP圖（對稱）FPFPX2=1圖（對稱）圖（對稱）X3=1+×X3（對稱）第十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對稱結(jié)構(gòu)承受對稱荷載的簡化計算【小結(jié)】對稱結(jié)構(gòu)承受反對稱荷載時的特征1.內(nèi)力和變形是對稱的；2.對稱軸截面上只有對稱的內(nèi)力（X2和X3），而反對稱內(nèi)力為零（X1）。第十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對稱結(jié)構(gòu)承受對稱荷載的簡化計算半結(jié)構(gòu)法（進一步簡化）奇數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)簡化方法按結(jié)論1，只需取原結(jié)構(gòu)一半的基本體系計算即可。這樣，在對稱軸截面上附加垂直于對稱軸的定向支座，就能使半結(jié)構(gòu)在受力和變形兩方面都與原結(jié)構(gòu)相符。奇數(shù)跨等效半結(jié)構(gòu)原結(jié)構(gòu)DH=0q=0DVFPFPllFPFPX2X3DVDH=0q=0lFPDH=0q=0DVFR=X3MR=X2第十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對稱結(jié)構(gòu)承受對稱荷載的簡化計算偶數(shù)對稱跨結(jié)構(gòu)的半結(jié)構(gòu)取法DH=0DV=0q=0原結(jié)構(gòu)FPFPFPFRxMFRy偶數(shù)跨等效半結(jié)構(gòu)取一半，中柱去除對稱軸截面加固定支座中柱僅有軸力。第十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對稱結(jié)構(gòu)承受對稱荷載的簡化計算【例1】利用對稱性簡化圖示結(jié)構(gòu)，繪其彎矩圖。已知各桿EI相同，為常數(shù)。解：原結(jié)構(gòu)n=2，取其等效半結(jié)構(gòu)如圖。半結(jié)構(gòu)n=1，按力法計算其M圖。最后補全另一半，得原結(jié)構(gòu)彎矩圖。8kN8kN3m3m3m3m3m3mABCDEEIEI8kN3m3m3mABE半結(jié)構(gòu)8kNX1基本體系1X1=1X1=1圖8kN12圖M圖(kNm)123.6原結(jié)構(gòu)M圖(kNm)12123.6第十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對稱結(jié)構(gòu)承受對稱荷載的簡化計算【思考題】1.如何處理對稱軸經(jīng)過結(jié)構(gòu)鉸結(jié)點的情況？FP思考題1圖FP等效半結(jié)構(gòu)FP第十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對稱結(jié)構(gòu)承受反對稱荷載的簡化計算第十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對稱結(jié)構(gòu)承受反對稱荷載的簡化計算簡化前提（結(jié)構(gòu)對稱）1.幾何形狀對稱；2.剛度對稱；3.約束形式對稱。反對稱荷載在繞對稱軸對折后，其大小相等，作用點重合，但方向相反的荷載。坡屋面框架EI1EI1EI1EI1EI2EI2EI2EI2EI3EI3EI3EI3EI4EI4EI4EI4FP1FP2FP1對稱結(jié)構(gòu)承受反對稱荷載FP2第十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對稱結(jié)構(gòu)承受反對稱荷載的簡化計算簡化目標(biāo)使典型方程中盡量多的副系數(shù)和自由項為0，以方便典型方程的求解。第十九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對稱結(jié)構(gòu)承受反對稱荷載的簡化計算按力法步驟推導(dǎo)簡化方法超靜定次數(shù)為3。選擇對稱的基本結(jié)構(gòu)。使基本未知力滿足對稱性或反對稱性。寫出典型方程。著重研究副系數(shù)dij和自由項DiP的計算，找出其中為0者。原結(jié)構(gòu)FPFP對稱的基本結(jié)構(gòu)基本體系FPX2X2X3X3X1X1FP第二十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對稱結(jié)構(gòu)承受反對稱荷載的簡化計算求副系數(shù)：繪制圖反對稱彎矩圖與對稱彎矩圖的圖乘結(jié)果為0。即X2=1圖（對稱）圖（對稱）X3=1X1=1X1=1圖（反對稱）第二十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對稱結(jié)構(gòu)承受反對稱荷載的簡化計算求自由項：繪制MP圖和圖X2=1圖（對稱）圖（對稱）X3=1MP圖（反對稱）FPFP第二十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對稱結(jié)構(gòu)承受反對稱荷載的簡化計算原典型方程簡化為其中，（a）是獨立方程，（b）是少元聯(lián)立方程。方程組（b）為線性齊次方程組，可證明系數(shù)行列式不為零，于是X2=0，X3=0。（a）（b）第二十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對稱結(jié)構(gòu)承受反對稱荷載的簡化計算原典型方程最終簡化為（a）第二十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對稱結(jié)構(gòu)承受反對稱荷載的簡化計算疊加法繪內(nèi)力圖同理，最終變形也是反對稱的。X1=1X1=1圖（反對稱）MP圖（反對稱）FPFP×X1（反對稱）+=M（反對稱）第二十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對稱結(jié)構(gòu)承受反對稱荷載的簡化計算【小結(jié)】對稱結(jié)構(gòu)承受反對稱荷載時的特征1.內(nèi)力和變形是反對稱的；2.對稱軸截面上只有反對稱的內(nèi)力（X1），而對稱內(nèi)力為零（X2和X3）。第二十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對稱結(jié)構(gòu)承受反對稱荷載的簡化計算半結(jié)構(gòu)法（進一步簡化）奇數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)簡化方法按結(jié)論1，只需取原結(jié)構(gòu)一半的基本體系計算即可。這樣，在對稱軸截面上附加沿對稱軸的活動鉸支座，就能使半結(jié)構(gòu)在受力和變形兩方面都與原結(jié)構(gòu)相符。奇數(shù)跨等效半結(jié)構(gòu)原結(jié)構(gòu)FPFPllDHqDV=0X1FPFPX1DHqDV=0lFPFR=X1DHqDV=0第二十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對稱結(jié)構(gòu)承受反對稱荷載的簡化計算偶數(shù)對稱跨結(jié)構(gòu)簡化方法(a)原結(jié)構(gòu)EIFPFPC(b)中柱看作雙柱EI/2EI/2FPFPC(c)按奇數(shù)跨取半結(jié)構(gòu)EI/2EI/2FPFPCCFQC(d)偶數(shù)跨等效半結(jié)構(gòu)FPEI/2C取一半，中柱剛度折半還原時，中柱M、FQ乘2第二十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對稱結(jié)構(gòu)承受反對稱荷載的簡化計算【例1】利用對稱性簡化圖示結(jié)構(gòu)，繪其彎矩圖。已知各桿EI相同，為常數(shù)。解：原結(jié)構(gòu)n=1，取其等效半結(jié)構(gòu)如圖。該半結(jié)構(gòu)為靜定！直接按靜力平衡條件計算，繪其彎矩圖。最后，補全另一半，得原結(jié)構(gòu)彎矩圖。FPFPllC2lFPlC等效半結(jié)構(gòu)半結(jié)構(gòu)M圖FPlC2FP