數(shù)學(xué)建模中南數(shù)模課件第四章

數(shù)學(xué)建模中南數(shù)模課件第四章2023/6/10數(shù)學(xué)建模第一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三第四章養(yǎng)老保險問題

——非線性方程求根的數(shù)值解法養(yǎng)老保險問題4.1非線性方程求根的數(shù)值方法4.2養(yǎng)老保險模型的求解4.3第二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三4.1.1問題的引入

養(yǎng)老保險是保險中的一種重要險種，保險公司將提供不同的保險方案供以選擇，分析保險品種的實際投資價值。也就是說，如果已知所交保費和保險收入，則按年或按月計算實際的利率是多少？或者說，保險公司需要用你的保費實際至少獲得多少利潤才能保證兌現(xiàn)你的保險收益？4.1養(yǎng)老保險問題第三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三4.1.2模型分析

假設(shè)每月交費200元至60歲開始領(lǐng)取養(yǎng)老金，男子若25歲起投保，屆時養(yǎng)老金每月2282元；如35歲起保，屆時月養(yǎng)老金1056元；試求出保險公司為了兌現(xiàn)保險責(zé)任，每月至少應(yīng)有多少投資收益率？這也就是投保人的實際收益率。第四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三4.1.3模型假設(shè)

這應(yīng)當(dāng)是一個過程分析模型問題。過程的結(jié)果在條件一定時是確定的。整個過程可以按月進行劃分，因為交費是按月進行的。假設(shè)投保人到第月止所交保費及收益的累計總額為，每月收益率為，用分別表示60歲之前和之后每月交費數(shù)和領(lǐng)取數(shù)，N表示停交保險費的月份，M表示停領(lǐng)養(yǎng)老金的月份。第五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三4.1.4模型建立在整個過程中，離散變量的變化規(guī)律滿足：在這里實際上表示從保險人開始交納保險費以后，保險人賬戶上的資金數(shù)值。第六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三4.1.4模型建立

我們關(guān)心的是，在第M月時，F(xiàn)K能否為非負數(shù)？如果為正，則表明保險公司獲得收益；如為負，則表明保險公司出現(xiàn)虧損。當(dāng)為零時，表明保險公司最后一無所有，所有的收益全歸保險人，把它作為保險人的實際收益。

從這個分析來看，引入變量FK，很好地刻畫了整個過程中資金的變化關(guān)系；特別是引入收益率r，雖然它不是我們所求的保險人的收益率，但從問題系統(tǒng)環(huán)境中來看，必然要考慮引入另一對象——保險公司的經(jīng)營效益，以此作為整個過程中各量變化的表現(xiàn)基礎(chǔ)。第七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三4.1.5模型求解在(4.1.4)中兩式，取初始值，我們可以得到：再分別取，k=N和k=M，并利用FM=0可以求出：它是一個非線性方程。第八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三

代數(shù)方程求根問題是一個古老的數(shù)學(xué)問題。早在16世紀(jì)就找到了三次、四次方程的求根公式。但直到19世紀(jì)才證明了次的一般代數(shù)方程式是不能用代數(shù)公式求解的，因此需要研究用數(shù)值方法求得滿足一定精度的代數(shù)方程式的近似解。

在工程和科學(xué)技術(shù)中許多問題常歸結(jié)為求解非線性方程式問題。正因為非線性方程求根問題是如此重要和基礎(chǔ)，因此它的求根問題很早就引起了人們的興趣，并得到了許多成熟的求解方法。下面就讓我們首先了解一下非線性方程的基本概念。第九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三4.2.1根的搜索相關(guān)定義定義4.2.1設(shè)有一個非線性方程

，其中

為實變量

的非線性函數(shù)。（1）如果

有使，則稱

為方程的根，或為的零點。（2）當(dāng)

為多項式，即則稱

為次代數(shù)方程，包含指數(shù)函數(shù)或者三角函數(shù)等特殊函數(shù)時，則稱

為特殊方程。（3）如果

，其中

。為正整數(shù)，則稱

為

的

重根。當(dāng)

時稱

為

的單根。4.2非線性方程求根的數(shù)值方法第十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三定理4.2.1

設(shè)

為具有復(fù)系數(shù)的

次代數(shù)方程，則

在復(fù)數(shù)域上恰有

個根（

重根計算

個）。如果

為實系數(shù)方程，則復(fù)數(shù)根成對出現(xiàn)，即當(dāng):

為

的復(fù)根，則

亦是

的根。定理4.2.2設(shè)

在連續(xù),且

，則存在

，使得

，即

在

內(nèi)存在實零點。第十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三4.2.2逐步搜索法

對于方程

，

，為明確起見，設(shè),，從區(qū)間左端點

，出發(fā)按某個預(yù)定步長

（如取

，

為正整數(shù)），一步一步地向右跨，每跨一步進行一次根的收索。即檢查節(jié)點

上的函數(shù)值

的符號，若

，則

即為方程解。若

，則方程根在區(qū)間

中，其寬度為

。第十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三4.2.2逐步搜索法例4.2.1

考察方程

由于

則

在

內(nèi)至少有一個根，設(shè)從

出發(fā)，以

為步長向右進行根的搜索。列表記錄各節(jié)點函數(shù)值的符號?？梢娫?/p>

內(nèi)必有一根。

表4.2.1

的符號x00.51.01.5

的符號---+第十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三4.2.2逐步搜索法

易見此方法應(yīng)用關(guān)鍵在步長

的選擇上。很明顯，只要步長

取得足夠小，利用此法就可以得到任意精度的根，但

縮小，搜索步數(shù)增多，從而使計算量增大，用此方法對高精度要求不合適。第十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三4.2.3二分法對非線性方程：

其中

在連續(xù)且

無妨設(shè)

在

內(nèi)僅有一個零點。

求方程（）的實根

的二分法過程，就是將逐步分半，檢查函數(shù)值符號的變化，以便確定包含根的充分小區(qū)間。第十五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三二分法的步驟如下：記

，

第1步：分半計算

，將

分半。計算中點

及

。若

，則根必在

內(nèi)，否則必在

內(nèi)，（若

，則

），于是得到長度一半的區(qū)間含根,即,且

。

第

步（*分半計算）重復(fù)上述過程。第十六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三設(shè)已完成第1步…第

步，分半計算得到含根區(qū)間，且滿足,即

，

即

，

則第k步的分半計算：，且有：第十七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三確定新的含根區(qū)間，即如果，則根必在內(nèi)，否則必在

內(nèi)，且有：

?？傊缮鲜龆址ǖ玫叫蛄?，由(4.2.2)有：?？捎枚址ㄇ蠓匠痰膶嵏慕浦档饺我庵付ǖ木龋@是因為：設(shè)為給定精度要求，則由，可得分半計算次數(shù)k應(yīng)滿足：第十八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三

二分法的優(yōu)點是方法簡單，且只要求連續(xù)即可，可用二分法求出在內(nèi)全部實根，但二分法不能求復(fù)根及偶數(shù)重根，且收斂較慢，函數(shù)值計算次數(shù)較多。

第十九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三例4.2.2用二分法求

在[1,2]內(nèi)一個實根，且要求精確到小數(shù)點后第三位。（即）

解

由代入公式(4.2.3)，可確定所需分半次數(shù)為，計算結(jié)果部分如下表：（顯然）。第二十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三K81.1328131.1406251.1367190.02061991.1328131.1367191.1347660.4268415101.1328131.1347661.133789111.1337891.1347661.134277表4.2.2部分計算結(jié)果第二十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三4.2.4迭代法

迭代法是一種逐次逼近法。它是求解代數(shù)方程，超越方程及方程組的一種基本方法，但存在收斂性及收斂快慢的問題。

用迭代法求解的近似根，首先需將此方程化為等價的方程：

然而將化為等價方程的方法是很多的。第二十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三

例4.2.3對方程可用不同的方法將其化為等價方程：

（1）

（2）第二十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三定義4.2.2（迭代法）設(shè)方程為取方程根的一個初始近似，且按下述逐次代入法，構(gòu)造一個近似解序列：

這種方法稱為迭代法（或稱為單點迭代法），稱為迭代函數(shù)。若由迭代法產(chǎn)生序列

有極限存在，即，稱為收斂或迭代過程

收斂，否則稱迭代法不收斂。若連續(xù)，且，則

，

即

為方程

的解（稱為函數(shù)的不動點），顯然在由方程

轉(zhuǎn)化為等價方程時，選擇不同的迭代函數(shù)，就會產(chǎn)生不同的序列（即使初值選擇一樣）且這些序列的收斂情況也不會相同。第二十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三例4.2.4對例4.2.1中方程考查用迭代法求根

由計算可以看出，我們選取的兩個函數(shù)

，分別構(gòu)造序列收斂情形不一樣（初值都取為1），在中

收斂且，在中計算出

無定義。第二十五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三01.01.011.3414710.52359921.4738200.02360131.049530-0.49655541.497152-1.48776151.49728961.49730071.497300表4.2.3部分計算結(jié)果第二十六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三

因此對用迭代法求方程

的近似根，需要研究下述問題：

（1）如何選取迭代函數(shù)使迭代過程收斂。

（2）若收斂較慢時，怎樣加速收斂。第二十七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三迭代法的幾何意義：

從幾何意義看，求方程根的問題，是求曲線與直線交點的橫坐標(biāo)，當(dāng)?shù)瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)在根處滿足下述幾種條件時，從幾何上來看迭代過程

的收斂情況如圖4.2.1。

從曲線上一點出發(fā)，沿著平行于x軸方向前進交

于一點再從點沿平行于y軸方向前進交于點，顯然的橫坐標(biāo)就是，繼續(xù)這過程就得到序列，且從幾何上觀察知道在（1），（2）情況下收斂于，在（3），（4）情況不收斂于。第二十八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三圖4.2.1迭代法的幾何意義圖第二十九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三

由迭代法的幾何定義知，為了保證迭代過程收斂，應(yīng)該要求迭代函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足條件

。當(dāng)時，原方程在

中可能有幾個根或迭代法不收斂，為此有關(guān)于迭代收斂性的定理4.2.3。

定理4.2.3設(shè)有方程

，(1)設(shè)于一階導(dǎo)數(shù)存在，(2)當(dāng)時，有

，(3)滿足條件：則有：

在上有唯一解，

對任意選取初始值，迭代過程

收斂即，誤差估計第三十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三證明

只證

，，

由定理條件

，當(dāng)取時，則有記誤差，由中值定理有：，其中

在與

之間，即，又由條件有：，由此遞推可得：

，由

故。

由迭代公式有：

，其中c在與之間，于是：

即

。

第三十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三

由上面

反復(fù)利用代入上式中有：

由定理結(jié)果可知，當(dāng)計算得到的相鄰兩次迭代滿足條件

時，則誤差。

因此在計算機上可利用來控制算法終止，但要注意時，即使很小，誤差

仍然可能很大。

另外，當(dāng)已知及

及給定精度要求時，利用定理

結(jié)果可確定使誤差達到給定精度要求時所需要迭代次數(shù)k，事實上，由

解得：

第三十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三

定理條件，在一般情況下，可能對大范圍的含根區(qū)間不滿足，而在根的鄰近是成立的，為此有如下迭代過程的局部收斂性結(jié)果。

定理4.2.4（迭代法的局部收斂性）設(shè)給定方程

（1）設(shè)為方程的解，

（2）設(shè)在的鄰域內(nèi)連續(xù)可微，且有

，則對任意初值（在的鄰域內(nèi)），迭代過程，

收斂于。第三十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三例4.2.5由迭代法解方程第三十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三解

(1)顯然有即知方程于[0,2]及[-1.9,-1]內(nèi)有根記為。(2)考察取初值迭代過程的收斂性，其中迭代函數(shù)為，顯然

，

，及為增函數(shù)，則當(dāng)時，，又由則有

。

于是由定理4.2.4可知，當(dāng)初值時，迭代過程收斂，如果要求的近似根準(zhǔn)確到小數(shù)點后第6位（即要求）由計算結(jié)果可知。且則

，

。第三十五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三表4.2.4部分計算結(jié)果表00.010.6931471820.99071046141.1461931151.1461932第三十六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三(3)為了求[-1.9,-1]內(nèi)方程的根。由迭代方程

，顯然，所以迭代過程（初值）不能保證收斂于。(4)若將方程轉(zhuǎn)化為等價方程

或則，且（

時）

所以當(dāng)選取時迭代過程收斂。如取，則迭代12次有，且。

由此例可見，對于方程，迭代函數(shù)取不同形式，相應(yīng)的迭代法產(chǎn)生的

收斂情況也不一樣，因此，我們應(yīng)該選擇迭代函數(shù)時構(gòu)造的迭代過程收斂，且收斂較快。第三十七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三關(guān)于迭代公式的加工：對于收斂的迭代過程，只要迭代足夠多次，總可以使結(jié)果達到任意的精度。但有時迭代收斂緩慢，從而使計算量變得很大，因此迭代過程的加速是一個很重要的課題。設(shè)

為根

的某個預(yù)測值，用迭代公式校正一次得：

由中值定理：，介于之間，若改變不大。近似地取某常數(shù)，則由

可以期望按上式右端求得的是比更好的近似值。

若將每得到一次改進值算作一步，并用和分別表示第步的校正值和改進值，則加速迭代計算方案如下：校正：改進：由于使用參數(shù)，這在實際應(yīng)用中不方便，下面進行改進計算。第三十八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三

設(shè)

的某近似值，將校正值

再校正一次得：，由與得：

由此得：

。這樣將上式右端作為改進公式就不再含有導(dǎo)數(shù)信息了。但需要用到兩次迭代的結(jié)果進行加工。如果仍將得到一次改進值作為一步，則計算過程如下：

上述處理過程稱為（埃特金）方法。第三十九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三4.2.5Newton公式

對于方程，應(yīng)用迭代法時先要改寫成，即需要針對

構(gòu)造不同的合適的迭代函數(shù)，顯然可以取迭代函數(shù)為，相應(yīng)迭代公式為。一般地，這種迭代公式不一定收斂，或者速度很慢。對此公式應(yīng)用前面的加速技術(shù)具體格式為：

第四十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三

記，則上二式可合并寫為：。此公式稱為簡單的Newton公式，迭代函數(shù)為：

。又由于

為的近似值，而，因此實際上是

的近似值，故用

代替上式中的即得到下面的迭代函數(shù)：

。

相應(yīng)的迭代公式為：

，

即為Newton公式。第四十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三4.2.6Newton法的幾何意義

Newton法的基本思想就是將非線性方程逐步線性化求解，設(shè)有近似的根，將在處展開得：

從而

近似地表為：

。方程

的根即為曲線

與軸焦點的橫坐標(biāo)。設(shè)為

近似值，過曲線上橫坐標(biāo)

為的點作曲線的切線，該切線

與軸焦點的橫坐標(biāo)即為

的新近似

值

，它與軸交點的橫坐標(biāo)為：

，因此Newton法亦稱切線法。第四十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三4.2.7Newton法的局部收斂性定義4.2.3

設(shè)迭代過程收斂于方程

的根，如果迭代誤差，當(dāng)時有：

則稱該迭代過程為階收斂的。定理4.2.5

對迭代過程

如果在附近連續(xù)，且：且，則該迭代過程在附近是階收斂的。第四十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三

證明

由于，則有前面關(guān)于迭代法的局部收斂性定理知：此迭代過程具有局部收斂性。即。將在處展開，并注意到

有：

而，從而上式化為：

第四十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三

即：

故知迭代過程具有階收斂性。

定理4.2.5

表明迭代過程的收斂速度依賴于迭代函數(shù)

的選取，如果時。則迭代過程只可能是線性收斂的。

對于Newton法，由迭代函數(shù)為：則

，

若

為

的一個單根。即

，則由上式知

。

由上面定理可知Newton法在根的鄰域內(nèi)是平方收斂的（二階收斂

的）。第四十五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三

特別地考察Newton公式：設(shè)二次連續(xù)可微，則

，在

之間，特別地取，注意，則

設(shè)。兩邊同除以，得：

（注：

），利用Newton公式，即有：

當(dāng)，則，

或第四十六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三

可見（誤差）與的誤差的平方成比例。當(dāng)初始誤差

充分小時，以后迭代的誤差將減少得非?？臁７粗?/p>

，則放大。Newton法每計算一步，需要計算一次函數(shù)值和一次導(dǎo)數(shù)值。

例4.2.6用Newton法求解

。解顯然

。則在[0,2]內(nèi)方程有一個根，求導(dǎo)

則Newton公式為：

取

，迭代6次得近似根為,。這表明，當(dāng)初值取值靠近時，Newton法收斂且收斂較快，否則Newton法可能不收斂。第四十七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三

下面考慮Newton法的誤差估計，由中值定理有：，當(dāng)

充分接近時，有因此，用Newton法求方程單根的近似根的誤差可用來估計。

第四十八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三4.2.8Newton法應(yīng)用舉例1.對給定的正數(shù)，應(yīng)用Newton法解二次方程可導(dǎo)出求開方值的計算格式：

可證明公式對任意函數(shù)初值

都是收斂的。這是因為：

第四十九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三

兩式相除得：

利用此式遞推可得：

（由可知：，則：

）而，

故由公式知

即迭代法恒收斂。）第五十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三

例4.2.7

求的近似值，要求終止迭代。

解

取

經(jīng)6次迭代后：

，

，，故

。

對給定正數(shù)，應(yīng)用Newton法求解

，由此式可導(dǎo)出求而不用除法的計算程序：

。

這個算法對于沒有設(shè)置除法操作的電子計算機是有用的?？梢宰C明，此算法初值滿足時是收斂的，這是因為：

即：，令，有遞推公式：，反復(fù)遞推得：。

當(dāng)，即時，有

即，從而迭代法收斂。第五十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三4.2.9Newton下山法

Newton法收斂性依賴于

初值的選取，如果偏離較遠，則Newton法可能發(fā)散。

例如，對方程。求在附近的一個根。若取初值，則由Newton法：

計算得

，僅迭代3次即得有6位有效數(shù)字的近似值。但若取初值則由同一Newton公式計算得，這反而比更遠離所求根，因此發(fā)散。為防止發(fā)散，對迭代過程加一下降要求：

滿足這項要求的算法稱為下山法。第五十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三

將Newton法與下山法結(jié)合，即在下山法保證函數(shù)下降條件下，用Newton法加速收斂。為此，可將Newton計

算結(jié)果

與每一步近似值作加權(quán)均：

，其中（）稱為下山

因子。選擇下山因子以保證下降性。的選擇方法是：由

反復(fù)減半的試探法，若能找到使下降性成立，則下山成功，否則下山失敗，改變初值

重新開始。

第五十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三4.2.10弦截法與拋物法

Newton法

每迭代一次計算函數(shù)值，導(dǎo)數(shù)值各一次，當(dāng)函數(shù)本身比較復(fù)雜時，求導(dǎo)數(shù)值更加困難。

下面方法多利用以前各次計算的函數(shù)值來回避導(dǎo)數(shù)值的計算，導(dǎo)出這種求根方法的基本原理是插值法。設(shè)是的一組近似值，利用對應(yīng)的函數(shù)值，構(gòu)造插值多項式，適當(dāng)選取

的一個根作為的新的近似根

。這樣就確定了一個迭代過程，記迭代函數(shù)為，則，下面具體考察（弦截法），（拋物法）兩種情形。

第五十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三4.2.11弦截法

設(shè)為的近似根，過點，構(gòu)造一次插值多項式，并用的根作為的新的近似根。由于

則由

可得：

另外，公式(4.2.9)也可以用導(dǎo)數(shù)的差商近似取代Newton公式中的，同樣得公式。第五十五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三弦截法的幾何意義：

如圖，曲線上橫坐標(biāo)為的點分別記為，則弦線的斜率等于差商

。

的方程為：

則按

求得的近似根實際上是弦線與軸交點的橫坐標(biāo)。因此這種算法稱為弦截法，又稱割線法。

第五十六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三

弦截法與切線法（Newton法）都是線性化方程，但兩者有本質(zhì)區(qū)別。Newton切線法在計算時只用到前一步的及，但要計算，而弦截法在計算

時要用前面兩步的結(jié)果

，而不須計算導(dǎo)數(shù)。這種方法必須有兩個啟動值。

例4.2.8用割線法求解方程在

的根。

解取初值，則迭代5次后有

，

。例子表明弦截法仍具有較快的收斂性。

定理4.2.6

假設(shè)在根領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)

數(shù)，且對有。又初值，那么當(dāng)鄰域充

分小時，弦截法將按階收斂到根。(證明略)第五十七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三

下面分析弦截法用于求解

時，對Atken加速算法的幾何解釋：

為

的近似根，

，在曲線上走了兩點，

引弦線

與直線

交于一點

，則的橫坐標(biāo)（與縱坐標(biāo)相等）為：

此即為Atken加速計算方法的公式。再看右圖，所求的根是曲線

與

的交點

的橫坐標(biāo)，從圖形上看，盡管迭代值

比

和

更遠偏離了

，但按上式求得的

卻明顯地扭轉(zhuǎn)了這種發(fā)散的趨勢。第五十八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三4.2.12拋物線法

設(shè)已知的三個近似根為，以這三點為節(jié)點構(gòu)造二次插值多項式，并適當(dāng)選取

的一個零點作為新的近似根。這樣確定的迭代過程稱為拋物線法（亦稱密勒法）。拋物線插值多項式為：有兩個零點：其中，第五十九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三

其幾何意義就是：用拋物線

與軸的交點作為所求根的近似值。如右圖。為了由

定出一個值，需討論根式前正負符號的取舍問題在

三個近似根中，自然假定以更接近所求的根，這時為保證精度，選取

中較近的一個值作為新的近似根，為此，只要令根式前的符號與的符號相同。第六十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三

例4.2.9

用拋物線法求解方程

解取三個初值，

計算

，

，

，

，

，，

，

從而：。第六十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三

定理4.2.7

若在根的鄰域內(nèi)有三節(jié)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對，有。又初值，那么當(dāng)領(lǐng)域充分小時，拋物線法(4.2.8)將按階

收斂于根。

可見拋物線法比弦截法的收斂性更接近于Newton法。定理的證明略。第六十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三4.2.13多項式求值的秦九韶算法

多項式的重要特點之一是求值方便，設(shè)，系數(shù)均為實數(shù)。用除，記其商為，則其余項顯然為即令代入公式后與比較同項式系數(shù)，可得：第六十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三

從而有：

式提供了計算函數(shù)值的有效算法稱為秦九韶法。這種算法的優(yōu)點是計算量小，結(jié)構(gòu)緊湊，易編制計算機程序。再看的階Taylor展開式：注意（對次多項式）更高階導(dǎo)數(shù)為0。將它表示為

第六十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期三

可見導(dǎo)數(shù)值

又可看作用因子相除得出的余數(shù)，從而有：

式中是

次多項式。令，那么用秦九韶算法又可求出值。對應(yīng)于此處的計算公式為：

其中已由公式計算出。