數(shù)值分析 常微分方程初值問題的

數(shù)值分析常微分方程初值問題的第一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三考慮一階常微分方程的初值問題/*Initial-ValueProblem*/:只要f(x,y)在[a,b]R1上連續(xù)，且關(guān)于y

滿足Lipschitz

條件，即存在與x,y無關(guān)的常數(shù)L

使對(duì)任意定義在[a,b]上的y1(x)和y2(x)都成立，則上述IVP存在唯一解。要計(jì)算出解函數(shù)y(x)在一系列節(jié)點(diǎn)a=x0<x1<…<xn=b

處的近似值節(jié)點(diǎn)間距為步長(zhǎng)，通常采用等距節(jié)點(diǎn)，即取hi=

h

(常數(shù))。第一節(jié)求解初值問題數(shù)值方法的基本原理數(shù)值解(9-1)一、初值問題的數(shù)值解第二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三求解(9-1)最基本的方法是單步法單步法:從初值開始,依次求出,后一步的值只依靠前一步的，是一種逐點(diǎn)求解的離散化方法。典型的單步法是Euler(歐拉)方法,其計(jì)算格式是:例9-1:求解常微分方程初值問題第三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三由此可見,Euler公式的近似值接近方程的精確值.第四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三x0x1向前差商近似導(dǎo)數(shù)記為二、構(gòu)造初值問題數(shù)值方法的基本途徑以Euler法為例說明構(gòu)造IVP問題數(shù)值方法的三種基本途徑1.數(shù)值微分法,用差商代替微商第五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三1.數(shù)值微分法,用差商代替微商亦稱為歐拉折線法2.Taylor展開法得到Euler公式忽略高階項(xiàng),取近似值可得到Euler公式第六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三3.數(shù)值積分法區(qū)間

將區(qū)間積分第七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三1、隱式歐拉法/*implicitEulermethod*/向后差商近似導(dǎo)數(shù)x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+由于未知數(shù)yi+1

同時(shí)出現(xiàn)在等式的兩邊，不能直接得到，故稱為隱式

/*implicit*/

歐拉公式，而前者稱為顯式

/*explicit*/歐拉公式。一般先用顯式計(jì)算一個(gè)初值，再迭代求解。三、Euler公式的改進(jìn)及梯形公式第八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三2、梯形公式/*trapezoidformula*/-------顯、隱式兩種算法的平均3、中點(diǎn)歐拉公式/*midpointformula*/中心差商近似導(dǎo)數(shù)x0x2x1第九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三2、梯形公式/*trapezoidformula*/4、改進(jìn)的歐拉法/*modifiedEuler’smethod*/Step1:

先用顯式歐拉公式作預(yù)測(cè)，算出Step2:再將代入隱式梯形公式的右邊作校正，得到第十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三此法亦稱為預(yù)測(cè)-校正法

/*predictor-correctormethod*/。一方面它有較高精度，同時(shí)可以看到它是個(gè)單步遞推格式，比隱式公式的迭代求解過程簡(jiǎn)單。后面將看到，它的穩(wěn)定性高于顯式歐拉法。第十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三例9-2用改進(jìn)的Euler方法解初值問題

解：利用可得第十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三第十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三四、單步法的誤差分析和穩(wěn)定性1.整體截?cái)嗾`差和局部截?cái)嗾`差整體截?cái)嗾`差:數(shù)值解和精確解之差

整體截?cái)嗾`差除與步計(jì)算有關(guān)外,還與的計(jì)算有關(guān).分析計(jì)算中的某一步,顯式單步法的一般形式可寫為:其中稱為增量函數(shù)。如對(duì)于Euler公式其增量函數(shù)第十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三

歐拉法的局部截?cái)嗾`差,由Taylor展開:歐拉法具有

1階精度。第十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三

類似可以證明改進(jìn)的Euler方法具有2階精度第十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三改進(jìn)的Euler方法具有2階精度第十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三2.收斂性和整體截?cái)嗾`差定義9-2

若某算法對(duì)于任意固定的x

=x0+nh，當(dāng)h0

(同時(shí)n)時(shí)有yn

y(xn

)，則稱該算法是收斂的。例9-3：就初值問題考察歐拉顯式格式的收斂性。解：該問題的精確解為

歐拉公式為對(duì)任意固定的x=xn=nh

，有第十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三關(guān)于整體截?cái)嗾`差與局部截?cái)嗾`差的關(guān)系,有如下定理定理9-1:對(duì)IVP(9-1)式的單步法若局部截?cái)嗾`差為,且函數(shù)對(duì)y滿足Lipschitz條件,即存在L>0,使得對(duì)一切成立,則該方法收斂,且有

由該定理可知整體截?cái)嗾`差總比局部截?cái)嗾`差低一階

第十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三對(duì)改進(jìn)的Euler法,于是有

設(shè)L為f關(guān)于y的Lipschitz常數(shù),則由上式可得限定h即可知Q滿足Lipschitz條件,故而改進(jìn)的Euler法收斂.第二十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三3.穩(wěn)定性一般分析時(shí)為簡(jiǎn)單起見，只考慮模型方程常數(shù)，可以是復(fù)數(shù)第二十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三一般分析時(shí)為簡(jiǎn)單起見，只考慮模型方程

當(dāng)步長(zhǎng)取為h

時(shí)，將某算法應(yīng)用于上式，并假設(shè)只在初值產(chǎn)生誤差，則若此誤差以后逐步衰減，就稱該算法相對(duì)于絕對(duì)穩(wěn)定，的全體構(gòu)成絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域。我們稱方法A比方法B穩(wěn)定，就是指A的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域比B的大。hlh=h第二十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三例：考察顯式歐拉法的穩(wěn)定性

0-1-2ReImg例：考察梯形的穩(wěn)定性

可見絕對(duì)穩(wěn)定條件是：顯式歐拉法的穩(wěn)定性條件是第二十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三可見絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域?yàn)椋?10ReImg注：一般來說，隱式歐拉法的絕對(duì)穩(wěn)定性比同階的顯式法好。解：第二十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三兩式相減，得第二十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三隱式歐拉公式是一階方法第二十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三例：對(duì)于常微分方程初值問題證明隱式歐拉公式是一階方法。解：隱式歐拉公式是一階方法第二十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三第二節(jié)高精度的單步法在高精度的單步法中,應(yīng)用最廣泛的是Runge-Kutta(龍格-庫塔)方法一、基本原理第二十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三第二十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三Runge-Kutta法的一般形式第三十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三二、二階龍格－庫塔方法第三十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三第三十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三第三十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三第三十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三第三十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三三、三階龍格－庫塔方法第三十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三四、四階龍格－庫塔方法第三十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三第三十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三第三十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三