振型的正交性

振型的正交性第一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三雖然很多工程問題可以化為單自由度問題計算，但為了有足夠的分析精度，一些問題也必須作多自由度進行分析。在等效粘滯阻尼理論下，第二章討論了兩和多自由度體系的運動方程，理論上阻尼矩陣[C]=[Cij]，Cij表示j自由度單位速度引起的i自由度方向的阻尼力。但實際上Cij一般是確定不了的。目前多自由度問題分析先求無阻尼自由振動確定頻率、振型等動力特性，然后利用振型的正交性，在假定阻尼矩陣也正交條件下，將多自由度分析通過振型分解化為單自由度問題的組合來解決。再一次體現了，化未知問題為已知問題的研究方法和思想。對復雜荷載情況（象地震地面運動等離散荷載）要用時程分析方法或隨機振動理論來解決（第六章）。因此，首先介紹無阻尼自由振動。第二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三4.1多自由度無阻尼自由振動多自由度運動方程為無阻尼自由振動運動方程為設其解為{A}sint，代入運動方程可得(-2[M]+[K]){A}sint={0}為使系統(tǒng)有非零的振動解答，必須│-2[M]+[K]│=0（1）或者(-2[M]+[K]){A}={0}（2）上述兩式分別稱為頻率和特征方程。由式（1）展開可得雙n次方程，對一般建筑工程結構，求解可得到n個實的不等的正根，它們即為系統(tǒng)的頻率。但一般更多是從式（2）出發(fā)。第三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三4.1多自由度無阻尼自由振動式（2）可改寫為

2[M]{A}=[K]{A}（3）數學上稱作廣義特征值問題。為了將其化為標準實對稱矩陣特征值問題，需作如下改造：設[M]=([M]1/2)T[M]1/2（4）[M]1/2{A}={X}則{A}=([M]1/2)-1{X}（5）代回式（3）得2([M]1/2)T{X}=[K]([M]1/2)-1{X}（6）方程兩邊再左乘[([M]1/2)T]-1，則2{X}=[([M]1/2)-1]T[K]([M]1/2)-1{X}（7）記[([M]1/2)-1]T[K]([M]1/2)-1=[D]

（8）由于[K]是對稱矩陣，從式（8）可見[D]是對稱矩陣。將式（8）代入式（7）可得2{X}=[D]{X}（9）第四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三4.1多自由度無阻尼自由振動式2{X}=[D]{X}（9）就是實對稱矩陣標準特征值問題的方程，利用線性代數所介紹的特征值問題解法就可求得[D]矩陣的特征對[2，{X}]，再由式（5）可求得廣義特征問題的振型矩陣{A}。由數學可知，對建筑工程一般問題，從n階的特征方程（3）可求得n個特征對，也即有n個頻率i以及和i對應的振型{A}i。按i從小到大排列可得結構的頻譜，1和{A}1分別稱為第一頻率（基本頻率或基頻）、第一振型。其他依次稱第二、第三等等頻率、振型。有了任意n自由度問題自由振動解法、結論，兩自由度問題可以作為它的特例，按上述解法、思路進行分析。第五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三4.1多自由度無阻尼自由振動對兩自由度問題來說，根據具體問題運動方程可以用剛度法建立，也可以用柔度法建立。因此，教材上分別基于剛度法和柔度法進行了具體討論，給出了頻率、振型和剛度系數、質量的關系以及和柔度系數、質量的關系。這些公式能記住更好，但我認為不記也沒關系，關鍵是記住如下一些基本概念。1）在無阻尼自由振動下-[M]{ü}=[K]{u}，也即慣性力和彈性恢復力平衡，且它們同相位。因此如果設振幅為{A}，式（3）也可通過列慣性力、恢復力的幅值方程得到。2）當基于柔度法時，位移由慣性力引起，柔度法特征方程同上理由（同相位），也可直接列幅值方程建立{A}=2[f][M]{A}（10）3）拿上具體問題后，關鍵是正確確定[M]、[K]或[f]，有了它們不管什麼結構，由統(tǒng)一格式可寫出式（3）或式（10）。第六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三4.1多自由度無阻尼自由振動4）兩自由度問題n=2。展開特征方程將得到雙二次頻率方程，根據具體的剛、柔度系數和質量，解此頻率方程即可得頻率1和2。5）將頻率1和2代回特征方程只能得到和某頻率對應的位移比值（齊次方程只能得到比值），對它可以進行“規(guī)格化”,一般使最大值等于1，即可得振型。6）自由振動的通解可由各頻率的簡諧振動解答疊加得到，振幅、相位由質量的初位移、初速度（n個自由度有2n個初始條件）來確定。綜上可見，有了[M]、[K]或[f]，剩余工作主要是數學運算了。但要達到熟練掌握，必須到SMCAI里多看一些例子、多做一些練習。限于學時這里不舉例了。第七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三4.2振型的正交性因為i2[M]{A}i=[K]{A}i、j2[M]{A}j=[K]{A}j前一式左乘{A}jT、后一式左乘{A}iT，再將兩式相減，由于質量、剛度的對稱性，可得(i2-j2){A}jT[M]{A}i=0(11)由此可得{A}jT[M]{A}i=0(12)上式乘j2，考慮到j2[M]{A}j物理意義是第j振型對應的慣性力幅值，因此式（12）表明第j振型對應的慣性力在第i振型位移上不做功。從式（12）和特征方程立即可證{A}jT[K]{A}i=0(13)它表明第j振型對應的彈性恢復力在第i振型位移上不做功。第八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三4.2振型的正交性式(12)和式(13)從數學上說，是不同振型對質量、剛度加權正交。也即振型具有正交性。從第i振型幅值方程，立即可得i2{A}iT[M]{A}i={A}iT[K]{A}i(14)記Mi*={A}iT[M]{A}i(15)稱作第i振型廣義質量，記Ki*={A}iT[K]{A}i(16)稱作第i振型廣義剛度。則i2=Ki*/Mi*(17)也即第i頻率的平方可象單自由度一樣，由廣義剛度和質量來求。式(12)和(13)是最基本、最常用的正交關系。第九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三4.2振型的正交性因為i2[M]{A}i=[K]{A}i(a)兩邊同時左乘{A}jT[K][M]-1，則i2{A}jT[K][M]-1[M]{A}i==i2{A}jT[K]{A}i=i2{A}jT[K][M]-1[K]{A}i=0

(b)式(a)兩邊同時左乘{A}jT[K][M]-1[K][M]-1，則可證i2{A}jT[K][M]-1[K]{A}i=i2{A}jT[K]([M]-1[K])2{A}i=0(c)按此思路繼續(xù)左乘,即可證明{A}jT[K]([M]-1[K])n{A}i=0(18)類似地，請自行證明{A}jT[M]([K]-1[M])n{A}i=0(19)式(18)和式(19)中n是正整數。它們還可合并為一個式子，請大家思考如何合并？這是更一般的正交關系。第十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三4.2振型的正交性

式(12)和(13)[或式(18)和(19)]正交性在多自由度分析中有極重要的作用，應該深刻理解。利用正交性可作如下工作：1）在正確確定[K]、[M]前提下，可用它校核振型計算的正確性。2）已知振型、[K]、[M]的條件下，可用它求振型對應的頻率。3）可用正交性將任意位移分解成振型的組合。例如有位移{y}，可設{y}=ci{A}i，ci為組合系數。等式兩邊同時左乘{A}jT[M]，根據正交性則有{A}jT[M]{y}=cjMj*(d)由此可求出組合系數cj，代回{y}=ci{A}i即可得按振型分解的結果。第十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三4.2振型的正交性4）可將多自由度問題化成單自由度問題來解決。實際上，只要設{u(t)}=yi(t){A}i，代入運動方程可得[M]?i(t){A}i+[K]yi(t){A}i={0}(e)方程兩邊同時左乘{A}jT，根據正交性則有Mj*?j(t)+Kj*yi(t)=0(20)從式(20)可得(根據單自由度自由振動結果)yi(t)=aisin(it+ci)(f)代回多自由度所假設的解，即可得{u(t)}=aisin(it+ci){A}i(21)5）式(21)中的待定常數ai、ci可由初始條件確定。如何確定請自行考慮。6）正交性還是受迫振動分析的基礎。第十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三4.3多自由度的受迫振動4.3.1多自由度受迫振動的振型分解法多自由度任意荷載下運動方程為象上節(jié)4）一樣，設{u}=yi(t){A}i，也即位移分解成各振型的組合，組合系數yi(t)稱廣義坐標。則[M]?i(t){A}i+[C]yi(t){A}i+[K]yi(t){A}i={P(t)}(a)如果阻尼矩陣對振型不正交，也即{A}jT[C]{A}i0(b)則式(a)將是聯(lián)列的微分方程組，求解將是很困難的。為此，通常引入正交阻尼假設，也稱Rayleigh(瑞利)比例阻尼如下[C]=0[M]+1[K](22)也即認為阻尼和系統(tǒng)質量、剛度成正比，0比1可用振型正交性由阻尼比i，j和頻率i，j確定(作業(yè))。第十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三4.3多自由度的受迫振動在正交阻尼假設下，{A}iT[C]{A}i=Ci*(23)式(a)兩邊同時左乘{A}iT，則可得Mi*?i(t)+Ci*yi(t)+Ki*yi(t)={A}iT{P(t)}(24)其中Mi*、Ci*、Ki*分別稱為第i振型廣義質量、廣義阻尼、廣義剛度。再記第i振型廣義荷載為{A}iT[P(t)]=Pi*(t)(25)則式(24)是廣義坐標yi(t)的單自由度方程Mi*?i(t)+Ci*yi(t)+Ki*yi(t)=Pi*(t)(26)利用Duhamel積分可求出式(26)的解答為代回{u}=yi(t){A}i，即可得多自由度受迫振動解答。脈響函數自由振動第十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三4.3多自由度的受迫振動如果[P(t)]=[P]f(t)(27)則Pi*(t)={A}iT[P]f(t)=Pi*f(t)(c)記i

={A}iT[P]/Mi*=Pi*/Mi*(28)稱為第i振型的振型參與系數。則可得Mi*?i(t)+Ci*yi(t)+Ki*yi(t)=iMi*f(t)(29)或?i(t)+2iiyi(t)+i2yi(t)=if(t)(30)在零初始條件下，廣義坐標為代回{u}=yi(t){A}i，即可得{u}=ii(t){A}i。i(t)稱為第i振型的廣義位移。(31)(32)第十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三4.3多自由度的受迫振動4.3.2簡諧荷載下的受迫振動反應設動荷載（轉動機器引起）為{P(t)}={P}sint(33)則由式(28)可求得各振型的振型參與系數i，當只討論穩(wěn)態(tài)振動，并且認為i=i,d(忽略阻尼對頻率的影響)時，根據單自由度所得結果，廣義位移為i(t)=isin(it-i)/i2(34)式(34)中i為第i振型動力系數i=[(1-i2)2+4i2i2]-1/2(35)其中i為第i振型頻率比(i=/i)，i為第i振型相位角tgi=2i/i(1-i2)

(36)將式(34)代回{u}=ii(t){A}i，得{u(t)}=[iisin(it-i)/i2]{A}i(37)無阻尼情況自然可以當作有阻尼情況的特例，在上述結果中令i=0得到。第十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三4.3多自由度的受迫振動4.3.3簡諧荷載受迫振動反應分析步驟當動荷載為{P}sint[或{P}cost]時，多自由度系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)反應分析，可按如下步驟進行1）確定系統(tǒng)質量[M]、剛度[K]（或柔度[f]）矩陣。2）求無阻尼自由振動的振型{A}i、頻率i。3）用阻尼比1,2和頻率1,2求瑞利阻尼的0和1。4）求i振型振型參與系數i={A}iT[P]/{A}iT[M]{A}i。5）求i振型阻尼比i=1/2(0/i+1i)6）求i振型動力系數i=[(1-i2)2+4i2i2]-1/2

。7）求i振型相位角i=arctg[2i/i(1-i2)]。8）求i振型廣義位移i(t)=isin(it-i)/i2。9）將各振型廣義位移代回{u}=ii(t){A}i，則得最終結果{u(t)}=[iisin(it-i)/i2]{A}i(37)第十七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三4.4桿系結構有限元動力分析4.4.1基本原理對動力問題，設單元位移場仍表示成[d]=[N][d]e，只是現在[d]=[d(x,t)]，[d]e=[d(t)]。設桿單元的密度為，將微段慣性力-[a]Adx作為體積力，則這一單元荷載的總虛功為(38)引入單元一致質量矩陣[m]e(39)第十八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三4.4桿系結構有限元動力分析由式(39)代入形函數并積分，對質量均勻分布的平面彎曲單元，其單元一致質量矩陣[m]e為(40)

作業(yè)：試求拉壓桿單元的一致質量矩陣[k]。第十九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三4.4桿系結構有限元動力分析當在無阻尼情況下，用虛位移原理進行單元分析可得單元剛度方程（注意：現在的分析是對單元局部坐標系的）由此“單元剛度方程”出發(fā)，經坐標轉換、整體集裝（定位向量“對號入座”）后，可得有限元所建立的運動方程(41)(42)如果要考慮阻尼，則可利用瑞利阻尼，由結構一致質量矩陣[M]和結構剛度矩陣[K]來建立結構阻尼矩陣[C]。第二十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三4.4桿系結構有限元動力分析4.4.2幾點說明1）以單元上無荷載作用，僅產生單位位移的形函數作為單元位移場，這是常用的一種近似處理。2）結構一致質量矩陣和結構剛度矩陣非零元素分布一樣。3）Clough教授曾經指出，對于框架結構，將桿件一半質量集中在桿端，用集中質量法計算不僅在處理后可減少未知數個數（自由度），而且往往精度更好。4）當采用集中質量法時，[M]中相應轉動自由度的對角線元素（轉動慣量）為零，假設位移編碼將轉動自由度集中在最后編，則無阻尼運動方程分塊形式為[M1][ü]+[K11][u]+[K12][]=[R1][K21][u]+[K22][]=[R2]由此消去[]，可得只有線位移自由度的方程。第二十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三4.4桿系結構有限元動力分析4.4.2幾點說明5）如果分析時用集中質量法且不考慮軸向變形，則集裝后最終質量矩陣是每層質量對角排列的形式。這是目前桿系模型的常用計算方案。6）對于上述桿系模型的計算程序，質量矩陣很簡單。但是集裝形成剛度矩陣時，要做4）中所述的“靜力縮聚”。當[R2]=[0]時，[K1]=[K11]-[K12][K22]-1[K21]，運動方程為[M1][ü]+[K1][u]=[R1](43)自由度數等于框架的層數。7）本節(jié)基本原理是對桿系結構進行說明的，象計算結構力學力里一樣，思路、方法也可用于其他位移有限元動力分析。8）程序Vibra可用來計算桿系結構的自振特性等等，請大家使用。第二十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三4.5多自由度時程分析方法4.5.1多自由度的線加速度法在3.3節(jié)介紹了單自由度線加速度法，從運動方程的相似性mü+cú+ku=P(t)[M]{ü}+[C]{ú}+[K]{u}={P(t)}顯然在[0,t]時間間隔內假設加速度線性變化,則將3.3節(jié)m,c,k,P換成[M]、[C]、[K]、{P(t)}，即可得到多自由度線加速度法的等效剛度和等效荷載。數值積分能做線性、非線性時程分析，對非正交阻尼矩陣也能求解。重要、高層結構要用時程分析。4.5.2多自由度的Wilson-法線加速度法要求t小于系統(tǒng)最短周期的1/10，當自由度很多時頻率將很高周期很短，這一要求使計算很費時間。而且進一步數學分析表明它是條件穩(wěn)定的。第二十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三4.5多自由度時程分析方法Wilson提出，假設[0,t]加速度線性變化,仿線加速度法進行推導,可得[K]*=a0[M]+a1[C]+[K](44){P(t+t)}*={P(t)}+({P(t+t)}-{P(t)})++[M](a0{u(t)}+a2{ú(t)}+2{ü(t)})++[C](a1{u(t)}+2{ú(t)}+a3{ü(t)})(45)[K]*{u(t+t)}={P(t+t)}*(46)由式(46)可解出{u(t+t)}，進一步可以求的t+t時刻的狀態(tài)向量。4.5.3Wilson-法的步驟1）形成系統(tǒng)[M]、[C]、[K]；2）確定初始狀態(tài)向量{u(0)}、{ú(0)}、{ü(0)}；3）確定(一般為1.4)和t;按以下公式計算常數第二十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三4.5多自由度時程分析方法a0=6/(t)2;a1=3/(t);a2=2a1;a3=t/2;a4=a0/;a5=-a2/;a6=1-3/;a7=t/2;a8=t2/6(47)4）按式(44)計算等效剛度；5）對等效剛度進行LDLT分解，獲得D和L；6）按式(45)計算等效荷載；7）用線性方程組的LDLT法解{u(t+t)}；8）按以下公式計算t+t時刻的狀態(tài)向量{ü(t+t)}=a4({u(t+t)}-{u(t)})+a5{ú(t)}+a6{ü(t)}{ú(t+t)}={ú(t)}+a7({ü(t+t)}