微積分第2版-朱文莉第6章定積分及其應(yīng)用習(xí)題詳解

微積分第2微積分第2版-朱文莉第6章定積分及其應(yīng)用習(xí)題詳解#二-ln(1+e-x二-ln(1+e-x)二ln2ln|x-1|

x—1而lim￡f0+f1T1n(1-x)dx=limfjln(1-x)d(ln(1-x))=+8，所以原廣義積分發(fā)散.161n(1-x) 1n(x-1),dx=limJj+limJedx

8.0+】x-1 ￡-0+1+8x-1e2、設(shè)叭X)為可微函數(shù)y=f(X)的反函數(shù)，且f(1)=0，證明:①(t)dtdx=2f1xf(x)dx0證明f1證明f1ff(x)①(t)dtdx二xJf(x)3t)dt0:」1xp［f(x)］?/(x)dx00=-f1=-f1x2f'(x)dx=-x2f(x)012xf(x)dx=211xf(x)dx03、設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù)且f(x)>0，求證：fbf(xbxfb證明設(shè)F(x)=fxf(t)dtf則問題變?yōu)榍笞CF(b)>0.因?yàn)镕'(x因?yàn)镕'(x)=f(x)fxadt 1 f(t)f(x)fxf(t)dt—2(x—a)aaf(t)af(af(t)af(x)^^-］2dt>0f(x)力［霽-fbf(x)dxfb―--dx>(b-a)2.f(x)=fx3dt+fx巫dt-2fxdt=fx①aaaa所以F(x)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)增加.于是，由F(a)=0知，F(xiàn)(b)>F(a)=01 ,八dt=0，證明:f(t)4、設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù)，且f(x)>0，F(xiàn)(x)=f1 ,八dt=0，證明:f(t)⑴F'(x)>2；(2)方程F(x)=0在(a,b)上僅有一實(shí)根。 1證明(1)F'(x)=f(x)+-—，由題設(shè)條件可得f(x)Ff(x)=(2)因?yàn)镕(2)因?yàn)镕(a)=Jaf(t)dt+aJa—dt=-Jb1 ,八dt<0，而f(t)F(b)=Jbf(t)dt+Jb-1-dt=Jb-1-dt>0，F(xiàn)(x)在區(qū)間J,b]上連續(xù)，又因?yàn)榱鉧 bf(t) af(t)點(diǎn)定理可知，方程F(x)=0在(a,b)上至少有一根，而且F'(x)>2>0，所以F(x)在la,b]上單調(diào)，從而方程F(x)=0在(a,b)上僅有一實(shí)根。5、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，證明f2xxf(t)dt+2J0tf(21)dt=2x3(x-1)，求f(x)在[0,2]上解方程兩邊同時(shí)對(duì)x解方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo),-d-[J2xxf(t)dt+2J0tf(21)dt]dx0“ x=d[xJ2xf(t)dt+2J0tf(21)dt]

dx0“ x=J2xf(t)dt+2xf(2x)-2xf(2x)=J2xf(t)dt[2x3(x-1)]'=8x3—6x2所以f2xf(t)dt=8x3-6x20等式兩端再對(duì)x求導(dǎo)，則有2f(2x)=24x2-12，即f(x)=3x(x-1)，f'(x)=6x-3，令f'(x)=0，可得x=1TOC\o"1-5"\h\z…、…J、 3 / …又因?yàn)閒(0)=0,f(-)=--,f(2)=6，即f(x)的最大值是乙 I/ 3f(2)=6,最小值是f(-)=-。L I6、將拋物線y=x2-ax在橫坐標(biāo)0與C(c>a>0)之間的弧段繞x軸旋轉(zhuǎn)，問c為何值時(shí)，所得旋轉(zhuǎn)體積V等于弦0P(P為拋物線與x=c的交點(diǎn))繞X軸旋轉(zhuǎn)所得椎體體積，。解由題意畫出圖形，繞陰影部分繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積V為V=兀Jay2dy+兀Jcy2dx=兀Jc(x2—ax)2dx=k|c(x4-2ax3+a2x2)dx=kc3(1c2-1ac+1a2)5 2 3弦0P繞x軸旋轉(zhuǎn)所得椎體的體積V錐為11 1=3兀y2c=3兀(c2—ac)2c=3兀c3(c一a)2由題設(shè)V=V，則有

錐111兀c