擬合優(yōu)度的度量課件

概念：樣本回歸線是對樣本數(shù)據(jù)的一種擬合。●不同的模型（不同函數(shù)形式)可擬合出不同的樣本回歸線●相同的模型用不同方法去估計參數(shù)，也可以擬合出不同的回歸線擬合的回歸線與樣本觀測值總是有偏離。樣本回歸線對樣本觀測數(shù)據(jù)擬合的優(yōu)劣程度，可稱為擬合優(yōu)度。如何度量擬合優(yōu)度呢？擬合優(yōu)度的度量建立在對Y的總變差分解的基礎(chǔ)上1

擬合優(yōu)度的度量

分析Y的觀測值、估計值與平均值有以下關(guān)系將上式兩邊平方加總，可證得（提示：交叉項）

（TSS）（ESS）（RSS）

或者表示為

總變差（TSS）：被解釋變量Y的觀測值與其平均值的離差平方和（總平方和）(說明Y的總變動程度）

解釋了的變差（ESS）：被解釋變量Y的估計值與其平均值的離差平方和（回歸平方和）

剩余平方和（RSS）：被解釋變量觀測值與估計值之差的平方和（未解釋的平方和）2

一、總變差的分解

Y

X

3變差分解的圖示(以某一個觀測值為例)

以TSS同除總變差等式

兩邊：

或

定義：回歸平方和（解釋了的變差ESS）在總變差（TSS）中所占的比重稱為可決系數(shù)，用或表示:

4或

二、可決系數(shù)

可決系數(shù)越大，說明在總變差中由模型作出了解釋的部分占的比重越大，模型擬合優(yōu)度越好。反之可決系數(shù)越小，說明模型對樣本觀測值的擬合程度越差。

可決系數(shù)的特點：●可決系數(shù)取值范圍：●隨抽樣波動，樣本可決系數(shù)是隨抽樣而變動的隨機變量●可決系數(shù)是非負的統(tǒng)計量5可決系數(shù)的作用聯(lián)系：數(shù)值上可決系數(shù)是相關(guān)系數(shù)的平方6可決系數(shù)與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系區(qū)別：

可決系數(shù)相關(guān)系數(shù)

是就模型而言是就兩個變量而言說明解釋變量對被解釋說明兩變量線性依存程度

變量的解釋程度

度量不對稱的因果關(guān)系度量對稱的相關(guān)關(guān)系取值0≦≦1取值-1≦r≦1

有非負性可正可負78第四節(jié)

回歸系數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗為什么要作區(qū)間估計？

運用OLS法可以估計出參數(shù)的一個估計值，但OLS估計只是通過樣本得到的點估計，它不一定等于真實參數(shù)，還需要尋求真實參數(shù)的可能范圍，并說明其可靠性。為什么要作假設(shè)檢驗？OLS估計只是用樣本估計的結(jié)果，是否可靠？是否抽樣的偶然結(jié)果呢？還有待統(tǒng)計檢驗。區(qū)間估計和假設(shè)檢驗都是建立在確定參數(shù)估計值概率分布性質(zhì)的基礎(chǔ)上。9

一、OLS估計的分布性質(zhì)

基本思想

是隨機變量，必須確定其分布性質(zhì)才可能進行區(qū)間估計和假設(shè)檢驗

怎樣確定的分布性質(zhì)呢?

是服從正態(tài)分布的隨機變量，決定

了

也是服從正態(tài)分布的隨機變量；

是的線性函數(shù)，決定了也服從正態(tài)分布

正態(tài)正態(tài)正態(tài)

只要確定的期望和方差，即可確定的分布性質(zhì)線性特征（線性估計的重要性)10●的期望：

(已證明是無偏估計）●的方差和標準誤差

(證明見P38)

(標準誤差是方差的平方根)

注意：以上各式中均未知，但是個常數(shù)，其余均是已知的樣本觀測值，這時和都不是隨機變量。

的期望和方差11

基本思想：

是的方差，而不能直接觀測，只能從由樣本得到的去獲得有關(guān)的某些信息，去對作出估計?？梢宰C明（見附錄2.2)其無偏估計為

(這里的n-2為自由度,即可自由變化的樣本觀測值個數(shù))注意區(qū)別：是未知的確定的常數(shù)；是由樣本信息估計的，是個隨機變量對隨機擾動項方差的估計12對作標準化變換為什么要對作標準化變換?在正態(tài)性假定下，由前面的分析已知但在對一般正態(tài)變量作實際分析時，要具體確定的取值及對應(yīng)的概率，要通過正態(tài)分布密度函數(shù)或分布函數(shù)去計算是很麻煩的，為了便于直接利用“標準化正態(tài)分布的臨界值”，需要對作標準化變換。標準化的方式：

標準正態(tài)分布函數(shù)13

●在已知時對

作標準化變換，所得Z統(tǒng)計量為標準正態(tài)變量。

1.已知時，對作標準化變換注意:這時和都不是隨機變量(X、、都是非隨機的）14

條件：

當未知時，可用（隨機變量）代替去估計

參數(shù)的標準誤差。這時參數(shù)估計的標準誤差是個隨機變量。

●樣本為大樣本時,作標準化變換所得的統(tǒng)計量Zk，也可以

視為標準正態(tài)變量（根據(jù)中心極限定理）。

●樣本為小樣本時，

用估計的參數(shù)標準誤差對作標準化變換，所得的統(tǒng)計量用t表示，這時t將不再服從正態(tài)分布，而是服從t分布（注意這時分母是隨機變量）

：

2.未知時，對作標準化變換基本思想：

對參數(shù)作出的點估計是隨機變量，雖然是無偏估計，但還不能說明這種估計的可靠性和精確性。如果能找到包含真實參數(shù)的一個范圍，并確定這樣的范圍包含參數(shù)真實值的可靠程度，將是對真實參數(shù)更深刻的認識。方法：如果在確定參數(shù)估計式概率分布性質(zhì)的基礎(chǔ)上，可找到兩個正數(shù)δ和，能使得這樣的區(qū)間包含真實的概率為，即這樣的區(qū)間稱為所估計參數(shù)的置信區(qū)間。

討論：“如果已經(jīng)得出了的特定估計值,并確定了某個置信區(qū)間，這說明真實參數(shù)落入這個區(qū)間的概率為1-α”。這種說法對嗎?15

二、回歸系數(shù)的區(qū)間估計

16樣本容量充分大樣本容量較小總體方差已知總體方差

未知Z將接近標準正態(tài)分布服從

t分布三種情況基本思想:利用標準化后統(tǒng)計量的分布性質(zhì)去尋求:置信區(qū)間：標準正態(tài)分布（1）

當總體方差已知時(Z服從正態(tài)分布)

取定（例如=0.05），查標準正態(tài)分布表得與對應(yīng)的臨界值z(例如z為1.96)，則標準化變量Z*（統(tǒng)計量）

因為

或

即17回歸系數(shù)的區(qū)間估計

(分三種情況尋找合適的)

方法：可用無偏估計去代替未知的，由于樣本容量充分大，標準化變量Z*（統(tǒng)計量）將接近標準正態(tài)分布注意:這里的“^”，表示“估計的”,這時區(qū)間估計的方式也可利用標準正態(tài)分布只是這時182.當總體方差未知，且樣本容量充分大時

方法：用無偏估計去代替未知的，由于樣本容量較小，“標準化變量”t（統(tǒng)計量）不再服從正態(tài)分布，而服從t分布。這時可用t分布去建立參數(shù)估計的置信區(qū)間。選定α，查t分布表得顯著性水平為，自由度為n-2的臨界值(n-2)

，則有即

193、當總體方差未知，且樣本容量較小時

2020統(tǒng)計量t計算的統(tǒng)計量為:相對于顯著性水平的臨界值為:

（單側(cè)）或

（雙側(cè)）基本概念回顧:

臨界值與概率、大概率事件與小概率事件0（大概率事件）（小概率事件）目的：簡單線性回歸中，檢驗X對Y是否真有顯著影響三、回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗

21

回歸系數(shù)的檢驗方法

確立假設(shè)：原假設(shè)為備擇假設(shè)為

(本質(zhì)：檢驗是否為0，即檢驗是否對Y有顯著影響)

(1)當已知或樣本容量足夠大時

可利用正態(tài)分布作Z檢驗

給定,查正態(tài)分布表得臨界值Z▼

如果則不拒絕原假設(shè)▼如果

或

則拒絕原假設(shè)22(2)當未知，且樣本容量較小時

只能用去代替，可利用t分布作t檢驗：

給定,查t分布表得▼如果或者則拒絕原假設(shè)而不拒絕備擇假設(shè)▼如果則不拒絕原假設(shè)用P值判斷參數(shù)的顯著性假設(shè)檢驗的p值：

p值是基于既定的樣本數(shù)據(jù)所計算的統(tǒng)計量，拒絕原假設(shè)的最低顯著性水平。統(tǒng)計分析軟件中通常都給出了檢驗的p值

P統(tǒng)計量t計算的統(tǒng)計量:相對于顯著性水平的臨界值:或注意：t檢驗是比較和P值檢驗是比較和p與相對應(yīng)與P相對應(yīng)24用P值判斷參數(shù)顯著性的方法方法：將給定的顯著性水平與p值比較：?若值，必有，則在顯著性水平下拒絕原假設(shè)，即認為Ｘ對Y有顯著影響?若值，必有，則在顯著性水平下不拒絕原假設(shè)，即認為Ｘ對Y沒有顯著影響規(guī)則：當時，P值越小，越能拒絕原假設(shè)

第五節(jié)

回歸模型預測

一、回歸分析結(jié)果的報告

經(jīng)過模型的估計、檢驗，得到一系列重要的數(shù)據(jù)，為了簡明、清晰、規(guī)范地表述這些數(shù)據(jù)，計量經(jīng)濟學通常采用以下規(guī)范化的方式：

例如：回歸結(jié)果為

=24·4545+0·5091

（6·4138）（0·0357）標準誤差SEt=(3·8128)(14·2605)t

統(tǒng)計量

=0·9621df=8可決系數(shù)和自由度

F=202·87DW=2.3F統(tǒng)計量DW統(tǒng)計量1.基本思想經(jīng)估計的計量經(jīng)濟模型可用于:經(jīng)濟結(jié)構(gòu)分析經(jīng)濟預測政策評價驗證理論●運用計量經(jīng)濟模型作預測：指利用所估計的樣本回歸函數(shù)作預測工具，用解釋變量的已知值或預測值，對預測期或樣本以外的被解釋變量的數(shù)值作出定量的估計?！裼嬃拷?jīng)濟預測是一種條件預測：條件：◆模型設(shè)定的關(guān)系式不變◆所估計的參數(shù)不變◆解釋變量在預測期的取值已作出預測26

二、被解釋變量平均值預測

預測值、平均值、個別值的相互關(guān)系

Y

是對真實平均值的點估計,也是對個別值的點估計點預測值真實平均值個別值2、Y平均值的點預測

點預測:

用樣本估計的總體參數(shù)值所計算的Y的估計值直接作為Y的預測值方法：

將解釋變量預測值直接代入估計的方程這樣計算的是一個點估計值

3、Y平均值的區(qū)間預測

基本思想：●預測的目標值是真實平均值，由于存在抽樣波動，預測的平均值不一定等于真實平均值，還需要對作區(qū)間估計●為對Y作區(qū)間預測，必須確定平均值點預測值的抽樣分布●

必須找出點預測值與預測目標值的關(guān)系，即找出與二者都有關(guān)的統(tǒng)計量

具體作法（從的分布分析）

已知

可以證明

服從正態(tài)分布(為什么?)，將其標準化,當未知時，只得用代替，這時有注意:（較復雜不具體證明）31顯然這樣的

t統(tǒng)計量與和都有關(guān)。給定顯著性水平α，查t分布表，得自由度n－2的臨界值，則有即Y平均值的置信度為的預測區(qū)間為構(gòu)建平均值的預測區(qū)間三、被解釋變量個別值預測

基本思想：

●既是對Y平均值的點預測，也是對Y個別值的點預測?！裼捎诖嬖陔S機擾動的影響，Y的平均值并不等于Y的個別值●為了對Y的個別值作區(qū)間預測，需要尋找與點預測值和預測目標個別值有關(guān)的統(tǒng)計量，并要明確其概率分布

已知剩余項是與預測值及個別值都有關(guān)的變量，并且已知服從正態(tài)分布，且可證明

當用代替時，對標準化的變量t為

33（較復雜不具體證明）

具體作法：

構(gòu)建個別值的預測區(qū)間給定顯著性水平，查t分布表得自由度為N—2的臨界值，則有

因此，一元回歸時Y的個別值的置信度為的預測區(qū)間上下限為

35

被解釋變量Y區(qū)間預測的特點

（1）Y平均值的預測值與真實平均值有誤差，主要是受抽樣波動影響

預測區(qū)間

Y個別值的預測值與真實個別值的差異,不僅受抽樣波動影響，而且還受隨機擾動項的影響

預測區(qū)間36（2）平均值和個別值預測區(qū)間都不是常數(shù)，是隨的變化而變化的，當時，預測區(qū)間最小。（3）預測區(qū)間上下限與樣本容量有關(guān)，當樣本容量n→∞時,個別值的預測區(qū)間只決定于隨機擾動的方差。預測區(qū)間37SRF各種預測值的關(guān)系Y的個別值的預測區(qū)間Y平均值的預測區(qū)間38第八節(jié)案例分析案例:分析各地區(qū)城鎮(zhèn)居民計算機擁有量與城鎮(zhèn)居民收入水平的關(guān)系

提出問題：隨著信息化程度和居民收入水平的提高，作為居民耐用消費品重要代表的計算機已為眾多城鎮(zhèn)居民家庭所擁有。研究中國各地區(qū)城鎮(zhèn)居民計算機擁有量與居民收入水平的數(shù)量關(guān)系，對于探尋居民消費增長的規(guī)律性，分析各地區(qū)居民消費的差異，預測地區(qū)全體居民消費水平和結(jié)構(gòu)的發(fā)展趨勢，合理規(guī)劃信息產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，都有重要的意義。

理論分析：影響居民計算機擁有量的因素有多種，但從理論和經(jīng)驗分析，最主要的影響因素應(yīng)是居民收入水平。從理論上說居民收入水平越高，居民計算機擁有量越多。39變量選擇：被解釋變量選擇能代表城鄉(xiāng)所有居民消費的“城鎮(zhèn)居民家庭平均每百戶計算機擁有量”(單位:臺)；解釋變量選擇表現(xiàn)城鎮(zhèn)居民收入水平的“城鎮(zhèn)居民平均每人全年家庭總收入”（單位:元）研究范圍：全國各省市2011年底的城鎮(zhèn)居民家庭平均每百戶計算機擁有量和城鎮(zhèn)居民平均每人全年家庭總收入數(shù)據(jù)。2011年中國各地區(qū)城鎮(zhèn)居民每百戶計算機擁有量和人均總收入地區(qū)2011年底城鎮(zhèn)居民家庭平均每百戶計算機擁有量

(臺)Y城鎮(zhèn)居民平均每人全年家庭總收入（元）X北

京103.5137124.39天

津95.429916.04河

北74.7419591.91山

西69.4519666.1內(nèi)蒙古60.8321890.19遼

寧71.6622879.77吉

林68.0419211.71黑龍江55.3617118.49上

海137.740532.29江

蘇96.9428971.98浙

江103.1734264.38安

徽74.0420751.11福

建10327378.11江

西73.8718656.52山

東85.8824889.8地區(qū)2011年底城鎮(zhèn)居民家庭平均每百戶計算機擁有量

(臺)Y城鎮(zhèn)居民平均每人全年家庭總收入（元）X河

南71.4119526.92湖

北75.4920193.27湖

南66.3620083.87廣

東104.1330218.76廣

西91.7220846.11海

南63.8220094.18重

慶76.0721794.27四

川68.8619688.09貴

州63.8917598.87云

南63.5520255.13西

藏58.8318115.76陜

西82.4320069.87甘

肅56.1416267.37青

海52.6517794.98寧

夏59.3919654.59新

疆61.217631.15為了初步分析城鎮(zhèn)居民家庭平均每百戶計算機擁有量(Y)與城鎮(zhèn)居民平均每人全年家庭總收入(X)的關(guān)系，作以X為橫坐標，以Y為縱坐標的散點圖。42從散點圖可以看出城鎮(zhèn)居民家庭平均每百戶計算機擁有量(Y)與城鎮(zhèn)居民平均每人全年家庭總收入(X)大體呈現(xiàn)線性關(guān)系?？梢越⑷缦潞唵尉€性回歸模型：模型設(shè)定:43

估計參數(shù)假定模型中隨機擾動滿足基本假定，可用OLS法。

具體操作：使用EViews軟件，估計結(jié)果是：4444用規(guī)范的形式將參數(shù)估計和檢驗的結(jié)果寫為：

（5.6228）(0.00024)t=(2.1267)(11.9826)

F=143.5836n=3145

1.可決系數(shù)：模型整體上擬合較好。

2.系數(shù)顯著性檢驗：取，查t分布表得自由度為的臨界值為。因為應(yīng)拒絕3.用P值檢驗

>>p=0.0000表明，城鎮(zhèn)居民人均總收入對城鎮(zhèn)居民每百戶計算機擁有量確有顯著影響。模型檢驗

應(yīng)拒絕46

4.經(jīng)濟意義檢驗：所估計的參數(shù)

說明城鎮(zhèn)居民家庭人均總收入每