《向量的概念 》示范公開課教學設計【高中數(shù)學必修4（北師大版）】

1/5《向量的概念》教學設計教材分析教材分析教材首先從本章引言中提到的位移入手，結(jié)合物理中對力的認識，讓學生舉出其他一些實例，目的是要建立物理課中學過的位移、力、矢量等概念與向量之間的聯(lián)系，以便更加自然地引入向量的概念，并建立學習向量的認知基礎。教學目標教學目標【知識與能力目標】1.理解向量的有關(guān)概念及向量的幾何表示；2.熟練掌握共線向量、相等向量的概念?！具^程與方法目標】經(jīng)歷向量概念形成的過程，體會由實例引入概念的方法，培養(yǎng)學生提出問題、分析問題和解決問題的能力?！厩楦袘B(tài)度價值觀目標】通過學習，使學生認識到用向量的方法從數(shù)學的角度刻畫現(xiàn)實問題的作用，培養(yǎng)學生觀察、類比、聯(lián)想等發(fā)現(xiàn)規(guī)律的一般方法，激發(fā)學生的學習興趣和鉆研精神。教學重難點教學重難點【教學重點】掌握共線向量、相等向量的概念。【教學難點】正確區(qū)分向量平行與直線平行。課前準備課前準備電子課件調(diào)整、相應的教具帶好、熟悉學生名單、電子白板要調(diào)試好。教學過程教學過程一、探究新知。閱讀教材P73～P75“練習”以上部分，完成下列問題。1．向量的有關(guān)概念名稱定義表示方法零向量長度為零的向量0單位向量長度為單位1的向量叫作單位向量相等向量長度相等且方向相同的向量若a等于b，記作a＝b向量平行或共線表示兩個向量的有向線段所在的直線平行或重合a與b平行或共線，記作a∥b規(guī)定：零向量與任一向量共線2.向量及其表示(1)定義既有大小，又有方向的量叫作向量。(2)有向線段具有方向和長度的線段叫作有向線段．其方向是由起點指向終點，以A為起點、B為終點的有向線段記作eq\o(AB,\s\up12(→))，線段AB的長度也叫作有向線段eq\o(AB,\s\up12(→))的長度，記作eq\o(|\o(AB,\s\up12(→))|)(3)向量的長度|eq\o(AB,\s\up12(→))|(或|a|)表示向量eq\o(AB,\s\up12(→))(或a)的大小，即長度(也稱模)。(4)向量的表示法①向量可以用有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。②向量也可以用黑體小寫斜體字母如a，b，c，…來表示，書寫用eq\o(\o(a,\s\up12(→)))，eq\o(\o(b,\s\up12(→)))，eq\o(\o(c,\s\up12(→)))…來表示。鞏固練習：判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)數(shù)量同向量一樣可以比較大小。()(2)向量eq\o(AB,\s\up12(→))與向量eq\o(BA,\s\up12(→))是相等向量。()(3)兩個向量平行時，表示向量的有向線段所在的直線一定平行。()(4)向量就是有向線段。()【解析】(1)錯誤．向量不能比較大小。(2)錯誤.eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(BA,\s\up12(→))方向相反不是相等向量。(3)錯誤．兩條直線平行或重合。(4)錯誤．向量不能等同于有向線段，有向線段只是向量的一種直觀表示?！敬鸢浮?1)×(2)×(3)×(4)×二、例題解析。給出下列幾種說法：①溫度、速度、位移這些物理量都是向量；②若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；③向量的模一定是正數(shù)；④起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．其中說法正確的是．(填序號)【精彩點撥】解答時可從向量的定義、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判斷對錯。【自主解答】①錯誤，只有速度、位移是向量。②錯誤．|a|＝|b|僅說明a與b模相等，但不能說明它們方向的關(guān)系。③錯誤.0的模|0|=0④正確．對于一個向量僅由大小和方向確定，與起點的位置無關(guān)?！敬鸢浮竣茏⒁猓?．零向量是用向量的長度來定義的，共線向量是用表示向量的有向線段所在直線平行或重合來定義的．相等向量是用向量的長度和方向共同定義的，要弄清這些概念的定義分式。2．理解向量的有關(guān)概念時，注意區(qū)分向量與有向線段：只有起點、大小和方向均相同，才是相同的有向線段．對于向量，只要大小和方向相同，就是相等向量，而與起點無關(guān)。鞏固練習:1．判斷下列說法是否正確，并說明理由。(1)若向量eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(CD,\s\up12(→))是共線向量，則A，B，C，D必在同一直線上；(2)若向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反；(3)向量eq\o(AB,\s\up12(→))的長度與向量eq\o(BA,\s\up12(→))的長度相等；(4)單位向量都相等?！窘狻繉τ?1)，有向線段共線要求線段必須在同一條直線上。而向量共線時，表示向量的有向線段可以是平行的，不一定在同一條直線上，所以(1)錯；對于(2)，由于零向量與任一向量平行，因此若a，b中有一個為零向量時，其方向是不確定的，所以(2)錯；對于(3)，向量eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(BA,\s\up12(→))方向相反，但長度相等．所以(3)對；對于(4)，需要強調(diào)的是：單位向量不僅僅指的是長度，還有方向，而向量相等不僅僅需要長度相等而且還要求方向相同，所以(4)錯。(1)已知B，C是線段AD的兩個三等分點，分別以圖中各點為起點和終點最多可以寫出個互不相等的非零向量。(2)一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了100km到達B點，然后又改變方向向北偏西40°走了200km到達C點，最后改變方向，向東行駛了100km到達D點。①作出向量eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(BC,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))；②求|eq\o(AD,\s\up12(→))|【精彩點撥】(1)根據(jù)向量的表示方法求解。(2)先作出表示東南西北的方位圖及100km長度的線段，然后解答問題。【自主解答】(1)設線段AD的長度是3，則長度為1的向量有eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(CD,\s\up12(→))，eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\o(CB,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→))，共2個互不相等的非零向量；長度為2的向量有eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(BD,\s\up12(→))，eq\o(CA,\s\up12(→))＝eq\o(DB,\s\up12(→))共有2個互不相等的非零向量，長度為3的向量有eq\o(AD,\s\up12(→))，eq\o(DA,\s\up12(→))，共2個互不相等的非零向量，綜上知共6個互不相等的非零向量?！敬鸢浮?(2)①向量eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(BC,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))如圖所示。②由題意，易知eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(CD,\s\up12(→))方向相反，故eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(CD,\s\up12(→))共線，又|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝|eq\o(CD,\s\up12(→))|，∴在四邊形ABCD中，ABeq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))，∴|eq\o(AD,\s\up12(→))|＝|eq\o(BC,\s\up12(→))|＝200(km)．鞏固練習:2．小李離家從A點出發(fā)向東走2km到達B點，然后從B點沿南偏西60°走4km，到達C點，又改變方向向西走2km到達D點。(1)作出eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(BC,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))；(2)求小李到達D點時與A點的距離?！窘狻孔鱡q\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(BC,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))，如圖所示：(2)依題意，四邊形ABCD為平行四邊形，∴|eq\o(AD,\s\up12(→))|＝|eq\o(BC,\s\up12(→))|＝4，即小李到達D點時離A點4km探究1如果兩個非零向量所在的直線互相平行，那么這兩個向量的方向有什么關(guān)系？【提示】方向相同或相反。探究2表示共線向量的有向線段所在的直線有什么位置關(guān)系？【提示】表示共線向量的有向線段所在直線平行或重合。探究3如果非零向量eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(CD,\s\up12(→))是共線向量，那么點A，B，C，D是否一定共線？【提示】不一定共線。探究4與向量a共線的單位向量有幾個？【提示】當a≠0時，有兩個；當a＝0時，有無數(shù)個。如圖2-1-1所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，eq\o(OC,\s\up12(→))＝C．圖2-1-1(1)與a的模相等的向量有多少個？(2)與a的長度相等，方向相反的向量有哪些？(3)與a共線的向量有哪些？(4)請分別一一列出與a，b，c相等的向量?！揪庶c撥】由題目可獲得以下主要信息：①六邊形ABCDEF是正六邊形；②eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，eq\o(OC,\s\up12(→))＝c；③求各相應向量。解答本題要充分借助幾何圖形的性質(zhì)及向量相關(guān)概念進行判斷，從而解決相應問題?！咀灾鹘獯稹?1)與a的模相等的向量有23個。(2)與a的長度相等且方向相反的向量有eq\o(OD,\s\up12(→))，eq\o(BC,\s\up12(→))，eq\o(AO,\s\up12(→))，eq\o(FE,\s\up12(→))(3)與a共線的向量有eq\o(EF,\s\up12(→))，eq\o(BC,\s\up12(→))，eq\o(OD,\s\up12(→))，eq\o(FE,\s\up12(→))，eq\o(CB,\s\up12(→))，eq\o(DO,\s\up12(→))，eq\o(AO,\s\up12(→))，eq\o(DA,\s\up12(→))，eq\o(AD,\s\up12(→))(4)與a相等的向量有eq\o(EF,\s\up12(→))，eq\o(DO,\s\up12(→))，eq\o(CB,\s\up12(→))；與b相等的向量有eq\o(DC,\s\up12(→))，eq\o(EO,\s\up12(→))，eq\o(FA,\s\up12(→))；與c相等的向量有eq\o(FO,\s\up12(→))，eq\o(ED,\s\up12(→))，eq\o(AB,\s\up12(→))1．向量共線有三種情形：①共線且同向；②共線且反向；③有一個是零向量。2．向量的平行與直線平行的關(guān)系兩條直線平行時，直線上的有向線段平行，兩向量平行時，表示向量的有向線段所在直線不一定平行，也可能重合。若直線m，n，l，m∥n，n∥l，則m∥l；若向量a，b，c，a∥b，b∥c，而a，c不一定平行。鞏固練習:3.如圖2-1-2所示，O為正方形ABCD對角線的交點，四邊形OAED，OCFB都是正方形。在圖中所示的向量中：圖2-1-2(1)分別寫出與eq\o(AO,\s\up12(→))，eq\o(BO,\s\up12(→))相等的向量；(2)寫出與eq\o(AO,\s\up12(→))共線的向量?！窘狻?1)∵|eq\o(AO,\s\up12(→))|＝|eq\o(OC,\s\up12(→))|＝|eq\o(BF,\s\up12(→))|，且eq\o(OC,\s\up12(→))，eq\o(BF,\s\up12(→))與eq\o(AO,\s\up12(→))的方向相同，∴與eq\o(AO,\s\up12(→))相等的向量是eq\o(OC,\s\up12(→))，eq\o(BF,\s\up12(→))，同理，與eq\o(BO,\s\up12(→))相等的向量是eq\o(AE,\s\up12(→))(2)∵AO∥DE∥BF，A，O，C三點共線，∴與eq\o(AO,\s\up12(→))共線的向量是eq\o(DE,\s\up12(→))，eq\o(OC,\s\up12(→))，eq\o(BF,\s\up12(→))，eq\o(CO,\s\up12(→))三、小結(jié)。用有向線段表示向量的步驟及注意事項(1)用有向線段表示向量的步驟(2)注意事項有向線段書寫時要注意起點和終點的不同，字母表示在書寫時不要忘了字母上的箭頭。四、作業(yè)。1．下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功．其中不是向量的有()。A．1個 B．2個C．3個 D．4個【解析】根據(jù)向量的概念知速度、力、加速度為向量?！敬鸢浮緿2．下列說法中正確的是()。A．零向量沒有方向B．零向量的模等于零C．單位向量的模等于1厘米D．單位向量的方向都相同【解析】零向量也有方向，其方向是任意的，因此A錯誤；單位向量的模等于1個單位長度，而不是具體的1厘米，因此C錯誤；單位向量的方向要因具體情況而定，因此D錯誤，所以只有B是正確的?！敬鸢浮緽3．給出下列命題：①若|a|>|b|，則a>b；②若a＝b，則a∥b；③若|a|＝0，則a＝0；④0＝0；⑤向量eq\o(AB,\s\up12(→))大于向量eq\o(CD,\s\up12(→))；⑥方向不同的兩個向量一定不平行。其中，正確命題的序號是。(把你認為正確的命題序號都填上)【解析】①不正確．向量不能比較大??；②正確，共線向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共線；③正確；④不正確，0是一個向量，而0是一個數(shù)量，應|0|＝0；⑤不正確，因為向量不能比較大小，這是向量與數(shù)量的顯著區(qū)別，向量的?？梢员容^大?。虎薏徽_，因為平行向量包括方向相同和方向相反兩種情況。