2022-2023學(xué)年湖北省黃岡市匡河鄉(xiāng)黃絲鋪中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2022-2023學(xué)年湖北省黃岡市匡河鄉(xiāng)黃絲鋪中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)是A．

B．

C．

D．參考答案：B略2.下列各數(shù)中最小的數(shù)是

(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：D3.如果，那么

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C4.已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時(shí)，那么kPM與kPN之積是與P點(diǎn)無關(guān)的定值．現(xiàn)將橢圓改為雙曲線=1（a＞0，b＞0），且kPM＜0、kPN＜0，則kPM+kPN的最大值為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】直線與雙曲線的位置關(guān)系．【分析】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣m，﹣n），且=1，又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），表示出直線PM和PN的斜率，求得兩直線斜率乘積的表達(dá)式，把y和x的表達(dá)式代入發(fā)現(xiàn)結(jié)果與p無關(guān)，再利用基本不等式，即可得出結(jié)論．【解答】解：雙曲線的類似的性質(zhì)為：若M，N是雙曲線=1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上的任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時(shí)，kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值．下面給出證明：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣m，﹣n），且=1．又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由kPM=，kPN=得kPM?kPN=，①將y2=x2﹣b2，n2=m2﹣b2代入①式，得kPM?kPN=（定值）．kPM＜0、kPN＜0，∴kPM+kPN=﹣（﹣kPM﹣kPN）≤﹣，∴kPM+kPN的最大值為﹣，故選：A．5.如圖所示，橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，A、B是橢圓的頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且PF1⊥x軸，PF2∥AB，則此橢圓的離心率是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由PF1⊥x軸，先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由PF2∥AB，能得到b=2c，由此能求出橢圓的離心率．【解答】解：如圖，∵PF1⊥x軸，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（﹣c，），kAB=﹣，=﹣，∵PF2∥AB，∴kAB=，即﹣=﹣，整理，得b=2c，∴a2=b2+c2=5c2，即a=c，∴e==．故選B．6.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別

是AB、BC的中點(diǎn)，將△ADE，△EBF，△FCD分別沿DE，EF，F(xiàn)D折起，使得A、B、C三點(diǎn)重合于點(diǎn)A′，若四面體A′EFD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）A．8π B．6π C．11π D．5π參考答案：B【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】把棱錐擴(kuò)展為正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半徑就是三棱錐的外接球的半徑，從而可求球的表面積．【解答】解：由題意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF．三棱錐的底面A′EF擴(kuò)展為邊長(zhǎng)為1的正方形，然后擴(kuò)展為正四棱柱，三棱錐的外接球與正四棱柱的外接球是同一個(gè)球，正四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)度就是外接球的直徑，直徑為：=．∴球的半徑為，∴球的表面積為=6π．故選：B．7.與函數(shù)y＝|x|為同一函數(shù)的是(

)參考答案：B略8.A

B

C

D參考答案：A略9.已知等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則等于()A．－4

B．－6

C．－8

D．－10參考答案：B10.函數(shù)是減函數(shù)的區(qū)間為 （

） A． B． C． D．（0，2）參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

參考答案：12.過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的外接圓方程是參考答案：13.函數(shù)f（x）=（x﹣3）ex的單調(diào)遞增區(qū)間是．參考答案：（2，+∞）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計(jì)算題．【分析】首先對(duì)f（x）=（x﹣3）ex求導(dǎo)，可得f′（x）=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，解可得答案．【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′ex+（x﹣3）（ex）′=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，解得x＞2．故答案為：（2，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與應(yīng)用，注意導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式的正確運(yùn)用與導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系．14.設(shè)、是平面直角坐標(biāo)系（坐標(biāo)原點(diǎn)為）內(nèi)分別與軸、軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，且，，則的面積等于

.

參考答案：15.已知a＞0，函數(shù)，則f'（1）的最小值是

．參考答案：12【考點(diǎn)】3H：函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得f'（1）=3a+，再由基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：a＞0，函數(shù)，導(dǎo)數(shù)f′（x）=3ax2+，x＞0，a＞0，則f'（1）=3a+≥2=12，當(dāng)且僅當(dāng)3a=，即a=2時(shí)，取得最小值12．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求導(dǎo)函數(shù)值，考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意滿足的條件：一正二定三等，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16.中，若，，，則_______

參考答案：17.不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)坐標(biāo)是__________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）復(fù)數(shù)，。（1）為何值時(shí)，是純虛數(shù)？取什么值時(shí)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限？（2）若（）的展開式第3項(xiàng)系數(shù)為40，求此時(shí)的值及對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的值。參考答案：（1）且時(shí)，即時(shí)，是純虛數(shù)。

解得，此時(shí)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限。（2）的展開式第3項(xiàng)系數(shù)為,化簡(jiǎn)得，或（負(fù)，舍去）?！啻藭r(shí)。

19.已知橢圓C的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，左右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)，左右頂點(diǎn)分別為A，B，且|F1F2|=4，|AB|=4（1）求橢圓的方程；（2）過F1的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，若△MF2N的面積為，求直線l的方程．參考答案：【考點(diǎn)】KL：直線與橢圓的位置關(guān)系；K3：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）由|F1F2|=4，|AB|=4，建立方程組，求出a=2，c=2，b=2，由此能求出橢圓的方程．（2）由F1（﹣2，0），設(shè)過F1的直線l的方程為：x+2=my，由，得（m2+2）y2﹣4my﹣4=0，利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、三角形面積公式，能求出m=±1，由此能求出直線l的方程．【解答】解：（1）∵橢圓C的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，左右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)，左右頂點(diǎn)分別為A，B，且|F1F2|=4，|AB|=4，∴，解得a=2，c=2，b=2，∴橢圓的方程為．（2）由（1）知F1（﹣2，0），設(shè)過F1的直線l的方程為：x+2=my，由，得（m2+2）y2﹣4my﹣4=0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則，∵△MF2N的面積為，∴==2=，化簡(jiǎn)，得2m4﹣m2﹣1=0，解得m2=1或m2=﹣（舍），解得m=±1，此時(shí)直線l的方程為x﹣y+2=0，或x+y+2=0．20.設(shè)不等式|2x﹣1|＜1的解集為M．（Ⅰ）求集合M；（Ⅱ）若a，b∈M，求證：ab+1＞a+b．參考答案：解（Ⅰ）由得，解得.所以．（Ⅱ）由(Ⅰ)和可知,.所以.故.略21.已知集合,，設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若的任一項(xiàng),首項(xiàng)是中的最大數(shù),且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（Ⅱ）若數(shù)列滿足，令，試比較與的大小.參考答案：（Ⅰ）根據(jù)題設(shè)可得:集合中所有的元素可以組成以為首項(xiàng),為公差的遞減等差數(shù)列；集合中所有的元素可以組成以為首項(xiàng),為公差的遞減等差數(shù)列.由此可得,對(duì)任意的,有中的最大數(shù)為,即

……2分設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,因?yàn)?,即由于中所有的元素可以組成以為首項(xiàng),為公差的遞減等差數(shù)列所以,由，所以…5分所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）……………6分（Ⅱ）

…………8分

于是確定與的大小關(guān)系等價(jià)于比較與的大小由，，，，可猜想當(dāng)時(shí)，

………………10分證明如下：證法1：（1）當(dāng)時(shí)，由上驗(yàn)算可知成立.（2）假設(shè)時(shí)，，則所以當(dāng)時(shí)猜想也成立根據(jù)（1）（2）可知，對(duì)一切的正整數(shù)，都有當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)

………13分證法2：當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)

……………13分

22.設(shè)等差數(shù)列{an}滿足，（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求{an}的前n項(xiàng)和Sn及使得Sn最大的序號(hào)n的值參考答案：an=11-2n,n=5時(shí)，Sn取得最大值試題分析：解：（1）由an