結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)課件

第七章:力法§7-1

結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)

§7-2

力法基本概念

§7-3力法典型方程§7-4力法計算示例

§7-5超靜定結(jié)構(gòu)的位移和力法結(jié)果校核

§7-6

力法的對稱性利用結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)＝結(jié)構(gòu)的多余約束數(shù)結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)的判定方法（拆除約束法）一般從約束數(shù)少的約束開始拆（截斷），直到使結(jié)構(gòu)成為一個無多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）為止。１）去掉一根支座鏈桿或截斷一根桁架桿，相當(dāng)拆除１個約束；２）去掉一個固定鉸支座或切開一個單鉸，相當(dāng)拆除２個約束；３）去掉一個固定支座或切開一根梁式桿，相當(dāng)拆除３個約束；４）在一根梁式桿上加一個單鉸，相當(dāng)拆除１個約束。

§7-1結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)

x1x1x2x2x3例7-1-1判斷圖示結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。x1x2x3x5x7x4x4x6x7x7x1x2x3x5x6一、力法基本思路有多余約束是超靜定與靜定的根本區(qū)別，因此，解決多余約束中的多余約束力是解超靜定的關(guān)鍵。D1=0D11+D1P=0

D11=d11x1d11x1+D1P=0

§7-2力法基本概念1、力法基本未知量

結(jié)構(gòu)的多余約束中產(chǎn)生的多余未知力（簡稱多余力）。

2、力法基本體系力法基本結(jié)構(gòu)，是原結(jié)構(gòu)拆除多余約束后得到的靜定結(jié)構(gòu)；力法基本體系，是原結(jié)構(gòu)拆除多余約束后得到的基本結(jié)構(gòu)在荷載（原有各種因素）和多余力共同作用的體系。

3、力法基本方程力法基本體系在多余力位置及方向與原結(jié)構(gòu)位移一致的條件。方程中的系數(shù)和自由項均是靜定結(jié)構(gòu)的位移計算問題，顯然，超靜定轉(zhuǎn)化為靜定問題。例7-1-1用力法計算圖示梁，并作M圖。解：１）確定力法基本未知量、基本體系

２）力法方程d11x1+D1P=0

３）作M1、MP圖，計算d11、D1P

d11=l/3EI

D1P=ql3/24EI

４）代入力法方程，求x1

x1=-D1P/d11=

-ql2/8

５）作M圖M1圖MP圖x1力法典型方程，指可用于多次（有限ｎ次）超靜定結(jié)構(gòu)的力法一般方程。

一、兩次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程

兩次超靜定剛架在荷載及支座移動作用下原結(jié)構(gòu)和力法基本體系?；倔w系與原結(jié)構(gòu)位移一致條件：D1=0

D2=-DB

§7-3力法典型方程

D1=0D11+D12+D1P+D1D=0

D2=-DB

D21+D22+D2P+D2D=-DB

因為：Dij=dij

xj

所以：

d11x1+d12x2+D1P+D1D=0

d21x1+d22x2+D2P+D2D=-DB(a)

d11x1+d12x2+D1P+D1D=0d21x1+d22x2+D2P+D2D=-DB(a)該式為兩次超靜定結(jié)構(gòu)在荷載和支座位移共同作用下的力法方程。有支座移動因素時，力法方程的右邊項可能不為零。

根據(jù)位移互等定理，有：d12=d21二、力法典型方程

n次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程：

d11x1+d12x2+…d1ixi+d1jxj+…d1nxn+D1P+D1D=D1

d21x1+d22x2+…d2ixi+d2jxj+…d2nxn+D2P+D2D=D2

…

…

di1x1+di2x2+…diixi

+dijxj+…dinxn

+DiP+DiD

=Di

dj1x1+dj2x2+…djixi

+djjxj+…djnxn

+DjP+DjD

=

Dj

…

…

dn1x1+dn2x2+…dnixi+dnjxj+…dnnxn+DnP+DnD=Dn

系數(shù)、自由項的物理意義：

dii

—基本結(jié)構(gòu)在xi=

1作用下，沿xi

方向的位移；

dij

—基本結(jié)構(gòu)在xj=

1作用下，沿xi

方向的位移；

DiP

—基本結(jié)構(gòu)在荷載作用下，沿xi

方向的位移；

DiD

—基本結(jié)構(gòu)在支座移動下，沿xi

方向的位移；

Di

—基本結(jié)構(gòu)沿xi

方向的總位移＝原結(jié)構(gòu)在xi

方向上的實際位移。

d11

d12…d1id1j…d1n

d21

d22…d2id2j…d2n

…

…

F=di1

di2…dii

dij…din

dj1

dj2…dji

djj

…djn

…

…

dn1

dn2…dni

dnj

…dnn

力法方程的系數(shù)矩陣是一個對稱方陣。由其物理意義可知：

主系數(shù)dii恒大于零，位于方陣左上角到右下角的主對角線上；

副系數(shù)

dij

可大于、等于、小于零，位于主對角線兩側(cè)對稱位置上；

由于dii

=

dij

，獨(dú)立的系數(shù)為[n+(n2-n)/2]個。例7-4-1用力法計算圖示剛架，并作M圖。

解：１）確定力法基本未知量和基本體系

力法方程：d11x1+d12x2+D1P=0

d21x1+d22x2+D2P=0

２）作M1、M2、MP圖基本體系

§7-4力法計算示例

基本體系M1MP３）計算系數(shù)、自由項

d11=5l/12EId22=3l/4EId12=d21=0

D1P=FPl2/32EID2P=0

４）代入力法方程，求多余力x1、x2

（5l/12EI）x1+FPl2/32EI=0x1=-3FPl/40

(3l/4EI)x2=0x2=0５）疊加作M圖

MAC=x1M1+x2M2+MP=(-3FPl/40)/2=-3FPl/80

(右側(cè)受拉）說明：力法計算剛架時，力法方程中系數(shù)和自由項只考慮彎曲變形的影響：

dii

=∑∫l(Mi2

/EI)ds

dij

=∑∫l(MiMj/EI)ds

DiP=∑∫l(MiMP/EI)ds例7-4-2計算圖示桁架的內(nèi)力，各桿EＡ=常數(shù)。解：１）力法基本體系，基本方程：d11x1+D1P=0

２）計算Fni、FNP及d11、D1P

d11=

∑FN12

l/EA

=4a(1+√2)/EA

D1P=∑FN1FNPl/EA

=2FPa(1+√2)/EA3)代入力法方程中，求解x1

x1=-D1P/d11=

-FP/2

4)疊加計算個桿軸力

FN21=FN1x1+FNP=-√2FP/2

FN02=FP/2

說明：力法計算桁架時，力法方程中系數(shù)和自由項只考慮軸向變形的影響：

dii

=∑FNi2

l/EA

dij

=∑FNiFNjl/EA

DiP=∑FNiFNPl/EA例7-4-3計算圖示排架，并作M圖。解：１）力法基本體系，力法方程：

d11x1+D1P=0

２）作M1、MP圖,計算d11、D1P

d11=144/EI

D1P=3240/EI

3)代入力法方程，求x1

x1=-D1P/d11=

-22.5kN

4)作M圖

一、超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算

１、荷載作用下的位移計算

超靜定結(jié)構(gòu)和靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算公式是相同的。如梁和剛架的位移計算公式：

D=∑∫l(MCM/EI)ds

超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算要點(diǎn)：虛單位力設(shè)在原結(jié)構(gòu)的任意一個基本結(jié)構(gòu)上。

例7-5-1求示梁Ｂ端的轉(zhuǎn)角位移B。EI=常數(shù),桿長為l。

解：１）作MC、M圖２）計算B

§7-5超靜定結(jié)構(gòu)的位移和力法結(jié)果校核

B

=[(ql2/8)l/2-(2/3)(ql2/8)/2]/EI=-ql3/48EI()

或：B

={[(ql2/8)l/2](1/3)1-(2/3)(ql2/8)/2}/EI

=-ql3/48EI()

力法計算Ｍ圖2、支座移動時的位移計算

例7-5-2求圖示梁中點(diǎn)Ｃ處的豎向位移DCV。解：１）作超靜定梁M圖

２）作MC圖

３）該基本結(jié)構(gòu)支座發(fā)生位移時有剛體位移。

４）計算位移DCV

DCV

=∫(MC

M/EI)ds-∑FRc

=[l2/4/2(-3EIa/l2/2)](a/2)

=5a/16(↓)或：DCV=[(l/2)2/2](5/6)(3EIa/l2)]=5a/16(↓)二、力法計算結(jié)果校核例7-5-3校核圖示剛架力法所求內(nèi)力圖。FNMFQ解：１）校核靜力平衡條件

２）校核截開BC桿后兩截面的相對轉(zhuǎn)角位移等于零位移條件：∑∫(MCM/EI)ds=0

(-60×4×1/2＋30×4×1/2)/2EI

＋(-20×4×1/2

＋40×4×1/2

－15×4×1/2＋30×4×1/2)/EI

=40/EI

可見，不滿足位移條件。

說明：力法計算結(jié)果的主要校核條件，是位移條件。例7-5-4計算圖示剛架，作M圖并用位移條件校核；求B點(diǎn)的水平位移DBH。解：１）用力法計算圖示剛架，做M1圖

d11x1+D1P=0

d11=5a/6EI

D1P=qa3/24EI

x1=-D1P/d11=

-qa2/20

MBC=-qa2/20(上側(cè)受拉）MM1MP２）校核支座Ｃ處的豎向位移條件：△CV=0

[(qa3/20/2)(-2a/3)+(2/3)(qa3/8)(a/2)]/EIqa4/20/2EI=0

滿足M３）求Ｂ點(diǎn)的水平位移DBH

DBH=(qa2/20)a(a/2)/2EI=qa4/80EI(→)MC結(jié)構(gòu)具有對稱性時應(yīng)滿足：

１）結(jié)構(gòu)的幾何形狀（由桿軸圍成的圖形）和支座形式正對稱于某一軸線；

２）結(jié)構(gòu)的材料性質(zhì)及截面形狀特征（E、I、A）也對稱于同一軸線。

如果結(jié)構(gòu)是對稱的，利用對稱性力法計算可獲得簡化。

§7-6力法的對稱性利用

力法對稱性利用要點(diǎn)：取對稱的力法基本結(jié)構(gòu)；并使其上的多余力具有對稱性和（或）反對稱性。

一、一般荷載作用下（不考慮荷載情況）

取滿足上述要點(diǎn)的基本體系，力法方程：d11x1+d12x2+d13x3+D1P=0

d21x1+d22x2+d23x3+D2P=0

d31x1+d32x2+d33x3+D3P=0(a)

一般情況下，該方程是聯(lián)立方程?？紤]對稱性后：d13=d31

=d23=d32=0

代入式（a），得：d11x1+d12x2+D1P=0

d21x1+d22x2+D2P=0

d33x3+D3P=0

(b)原方程分解成兩相互獨(dú)立的方程。d11x1+d12x2+D1P=0D3P=0x3=0

d21x1+d22x2+D2P=0d11x1+d12x2+D1P=0

d33x3+D3P=0d21x1+d22x2+D2P=0二、荷載具有正或反對稱性（考慮荷載情況）

正對稱荷載作用下：只有正對稱的多余力

反對稱荷載作用下：只有反對稱的多余力d11x1+d12x2+D1P=0D1P=D2P=0d21x1+d22x2+D2P=0x1=x2=0

d33x3+D3P=0d33x3+D3P=0例7-6-1利用對稱性計算圖示剛架，并作M圖。解法１：１）取對稱的力法基本體系

２）作Mi、MP圖并計算系數(shù)和自由項

d11=144/EId22=126/EId12=d21=0

D1P=1350/EID2P=-810/EI３）代入力法方程，并計算多余力

d11x1+d12x2+D1P=0x1=-9.375

d21x1+d22x2+D2P=0

x2=6.429

４）疊加作彎矩圖

MAB=-36.963

kNm

(右側(cè)受拉)

MBA=19.287

kNm

(左側(cè)受拉)

MA`B`=104.463

kNm

(右側(cè)受拉)

MA`B`中

=47.412

kNm

(左側(cè)受拉)

MAB中

=8.838kNm

(右側(cè)受拉)解法２：１）將剛架上的荷載分組

2)正對稱荷載下的計算：

d11=144/EID1P=1350/EI

x1=-D1P/d11=

-9.935

MAB=33.75

kNm

(左側(cè)受拉)

MAB中

=-28.125kNm

(右側(cè)受拉)3)反對稱荷載下的計算：

d22=126/EID2P=-810/EI

x2=-D2P/d22=

6.429

MAB=-70.713

kNm

(右側(cè)受拉)

MBA=19.287

kNm

(左側(cè)受拉)

MAB中

=19.287kNm

(左側(cè)受拉)

３）將正、反對稱荷載作用下的彎矩圖疊加，作剛架的最后Ｍ圖例7-6-3利用對稱性計算圖示剛架，并作M圖。解法１：１）將荷載分組２）正對稱荷載作用下

d11=128/3EID1P=-80/EI

x1=-D1P/d11=

1.875

MBC=MBC`=47.5

kNm

(上側(cè)受拉)

３）反對稱荷載下的計算：

d22=704/3EID2P=-2240/EI

x2=-D2P/d22=

9.545

MBC=-1.82

kNm

(上側(cè)受拉)

MBC`=1.82

kNm

(下側(cè)受拉)

MBA=-3.64kNm

(右側(cè)受拉)

４）疊加作剛架最后M圖

MBC=47.5+1.82=49.32kNm

(上側(cè)受拉)

MBC`=47.5-1.82=45.68

kNm

(上側(cè)受拉)

MBA=3.64kNm

(右側(cè)受拉)解法２：不進(jìn)行荷載分組，利用多余力分組簡化

力法計算：x`2=x`1+Dxx1=x`1+Dx/2

x2=Dx/2

力法小結(jié)

一、了解力法的基本思路以及力法基本未知量、基本體系（基本結(jié)構(gòu)）、基本方程的概念。

二、弄清力法的基本原理。深刻理解力法典型方程的物理意義。三、熟練掌握結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力和位移計算；掌握結(jié)構(gòu)在支座移動時的內(nèi)力和位移計算以及力法對稱性的利用。四、力法計算步驟：１）確定結(jié)構(gòu)的力法基本未知量及基本體系，建立力法方程；２）作基本結(jié)構(gòu)分別在各因素下的內(nèi)力（圖）；３）計算力法方程中的系數(shù)和自由項；

４）解力法方程，求出多余未知力；５）疊加做結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖；

６）校核。

第七章超靜定結(jié)構(gòu)（力法）復(fù)習(xí)

一、力法計算步驟：１）確定結(jié)構(gòu)的力法基本未知量及基本體系，建立力法方程；２）作基本結(jié)構(gòu)分別在各因素下的內(nèi)力（圖）；３）計算力法方程中的系數(shù)和自由項；

４）解力法方程，求出多余未知力；５）疊加做結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖；

６）校核。

二、力法基本概念

１、力法的基本未知量

２、力法的基本體系和基本結(jié)構(gòu)

３、力法的基本方程三、力法典型方程的物理意義

di1x1+di2x2+…diixi

+dijxj+…dinxn

+DiP+DiD

=Di

dj1x1+dj2x2+…djixi

+djjxj+…djnxn

+DjP+DjD

=

Dj

dii

—基本結(jié)構(gòu)在xi=

1單獨(dú)作用下，沿xi

方向的位移；

dij

—基本結(jié)構(gòu)在xj=

1單獨(dú)作用下，沿xi

方向的位移；

DiP

—基本結(jié)構(gòu)在荷載單獨(dú)作用下，沿xi

方向的位移；

DiD

—基本結(jié)構(gòu)僅在支座移動下，沿xi

方向的位移；

Di

—基本結(jié)構(gòu)在各因素共同作用下，沿xi

方向的總位移。第i個方程，為基本結(jié)構(gòu)在多余力xi方向的總位移和原結(jié)一致的位移條件，即：

Di

＝原結(jié)構(gòu)在xi

方向上的實際位移。四、力法計算超靜定結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

超靜定結(jié)構(gòu)在荷載、支座移動、溫度變化等因素作用下均產(chǎn)生內(nèi)力和變形（即有位移）。

當(dāng)有支座移動作用時，計算超靜定結(jié)構(gòu)位移的過程中，要考慮多余力（即內(nèi)力）對位移的影響，還須考慮虛力系相應(yīng)的基本結(jié)構(gòu)有支座位移的影響。切記虛單位力是加在原結(jié)構(gòu)的任一基本結(jié)構(gòu)上的。

五、力法對稱性的利用

當(dāng)結(jié)構(gòu)具有對稱性，并且是兩次以上超靜定次數(shù)時，就應(yīng)考慮對稱性的利用。

力法對稱性的利用的關(guān)鍵，是取對稱性的基本結(jié)構(gòu)，同時必須取對稱或（和）反對稱的多余未知力。q例７－１試作圖示梁的M圖，并計算端的轉(zhuǎn)角位移。設(shè)a=ql4/16EI.BAqx1基本體系解：１、確定力法基本體系

力法方程：d11x1+D1P+D1D

=-a

X1＝１lM１圖BAqql2/2MP圖AB2、作M１、M１圖

３、計算系數(shù)、自由項

d11=(1/EI)(l2/2)(2l/3)=l3/3EI

D1P=-(1/EI)(1/3)(ql2/2)l(3/4)l=-ql4/8EI

D1D

=0x1=[-a-(D1P+D1D)]/d11

=[-ql4/16EI-(-ql4/8EI

)]/(l3/3EI)

=ql/48

4、MAB=1×(ql/48)－(ql2/2)=-23ql2/48qAB11MC圖M圖=(1/EI)[(1/2)(23ql2/48)×l-(2/3)(ql2/8)×l]

=11ql2/96EI()23ql2/48MAB=-23ql2/48例７－2用力法計算圖(a)示剛架，作M圖。EI=常數(shù)。FPFP2a2aaaAA`BB`CDEFPFP2aaaAA`BB`CDEx1x1a(b)(a)分析：原結(jié)構(gòu)為三次超靜定，但結(jié)構(gòu)具有對稱性，且荷載具有反對稱性。所以，應(yīng)利用其對稱性進(jìn)行力法計算。

解：１、取對此的基本結(jié)構(gòu)，在反對稱荷載作用下，基本結(jié)構(gòu)處只有反對稱多余未知力。力法方程：FPFP2aaaAA`BB`CDE2a2aaaAA`BB`CDEx1X1=1aaFPa/2FPa/2

d11x1+D1P

=０

２、作M1、MP圖，計算系數(shù)和自由項。d11=(2/EI)[(2a3)＋(1/2)(a2/2)(2a/3)]=13a3/3EI

D1P