相交線與平行線??碱}附答案_第1頁
相交線與平行線??碱}附答案_第2頁
相交線與平行線??碱}附答案_第3頁
相交線與平行線常考題附答案_第4頁
相交線與平行線??碱}附答案_第5頁
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文檔簡介

1.與平行線一.選擇題(共3小題)12381223344518的有()3.如圖所示,同位角共有()2.二.填空題(共4小題)4.一塊長方體橡皮被刀切了3次,最多能被分成塊. 12126.如圖,直線l∥l,∠1=20°,則∠2+∠3=.127.將一副學(xué)生用三角板按如圖所示的方式放置.若AE∥BC,則∠AFD的評卷人得分三.解答題(共43小題)3. AB上運動(不與點F重合)時,探究∠FHE與∠ENQ的關(guān)系,并證明你的9.我們知道,兩條直線相交,有且只有一個交點,三條直線相交,最多只 (1)若∠EOC=70°,求∠BOD的度數(shù). (2)若∠EOC:∠EOD=4:5,求∠BOD的度數(shù). (1)若∠AOE=40°,求∠BOD的度數(shù); (2)若∠AOE=α,求∠BOD的度數(shù);(用含α的代數(shù)式表示) (3)從(1)(2)的結(jié)果中能看出∠AOE和∠BOD有何關(guān)系?CBN=100°. (1)若∠ADQ=130°,求∠BED的度數(shù);4. 若∠ADQ=n°,求∠BED的度數(shù)(用含n的代數(shù)式表示).13.如圖,將含有45°角的三角板ABC的直角頂點C放在直線m上,若∠1=26° (1)求∠2的度數(shù) (2)若∠3=19°,試判斷直線n和m的位置關(guān)系,并說明理由.2直線l或l上且不與點A、B、C、D重合.記∠AEP=∠1,∠PFB=∠2,∠34 (1)若點P在圖(1)位置時,求證:∠3=∠1+∠2; (2)若點P在圖(2)位置時,請直接寫出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系; 5. (1)試探索∠ABC,∠BCP和∠CPN之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由; (2)若∠ABC=42°,∠CPN=155°,求∠BCP的度數(shù).16.如圖,AD∥BC,∠EAD=∠C,∠FEC=∠BAE,∠EFC=50° (1)求證:AE∥CD; (2)求∠B的度數(shù). (1)如圖1,若AB∥CD,則∠B+∠D=∠E,你能說明理由嗎? (2)反之,若∠B+∠D=∠E,直線AB與直線CD有什么位置關(guān)系?簡要 (3)若將點E移至圖2的位置,此時∠B、∠D、∠E之間有什么關(guān)系?直 (4)若將點E移至圖3的位置,此時∠B、∠D、∠E之間有什么關(guān)系?直 (5)在圖4中,AB∥CD,∠E+∠G與∠B+∠F+∠D之間有何關(guān)系?直接6. (1)求證:∠AEP+∠CFP=∠EPF. (2)如圖2,已知∠BEP的平分線與∠DFP的平分線相交于點Q,試探索∠EPF與∠EQF之間的關(guān)系. (3)如圖3,已知∠BEQ=∠BEP,∠DFQ=∠DFP,則∠P與∠Q有什 (4)已知∠BEQ=∠BEP,∠DFQ=∠DFP,有∠P與∠Q的關(guān)系為.(直接寫結(jié)論)123∠3=130°,找出圖中的平行線,并說明理由.7. (1)若∠AOC=70°,∠DOF=90°,求∠EOF的度數(shù); (2)若OF平分∠COE,∠BOF=15°,若設(shè)∠AOE=x°.②求∠AOC的度數(shù).22.如圖,直線AB、CD相交于點O,已知∠AOC=75°,OE把∠BOD (1)求∠EOB的度數(shù); (2)若OF平分∠AOE,問:OA是∠COF的角平分線嗎?試說明理由.23.如圖,直線AB、CD相交于點O,∠AOC=72°,射線OE在∠BOD的內(nèi)部,∠DOE=2∠BOE. (1)求∠BOE和∠AOE的度數(shù); (2)若射線OF與OE互相垂直,請直接寫出∠DOF的度數(shù).8. (1)求∠BOD的度數(shù); (2)如圖2,點F在OC上,直線GH經(jīng)過點F,F(xiàn)M平分∠OFG,且∠ (1)若∠BOE=70°,求∠AOF的度數(shù); (2)若∠BOD:∠BOE=1:2,求∠AOF的度數(shù). (1)∵∠3=∠4(已知) (2)∵∠DBE=∠CAB(已知) (3)∵∠ADF+=180°(已知) 9. (1)若∠AOC=68°,∠DOF=90°,求∠EOF的度數(shù). (2)若OF平分∠COE,∠BOF=30°,求∠AOC的度數(shù). (1)求證:CF∥AB. (2)求∠DFC的度數(shù).解:因為∠1=35°,∠2=35°(已知),所以∠1=∠2.所以∥().又因為AC⊥AE(已知),所以∠EAB=∠EAC+∠1=125°.同理可得,∠FBG=∠FBD+∠2=°.所以∠EAB=∠FBG(). 所以∥(同位角相等,兩直線平行)..30.已知如圖所示,∠B=∠C,點B、A、E在同一條直線上,∠EAC=∠B+∠C,且AD平分∠EAC,試說明AD∥BC的理由. 直接寫出圖中∠AOC的對頂角為,∠BOE的鄰補角為; (2)若∠AOC=70°,且∠BOE:∠EOD=2:3,求∠AOE的度數(shù). (1)當(dāng)△PMN所放位置如圖①所示時,則∠PFD與∠AEM的數(shù)量關(guān)系 (2)當(dāng)△PMN所放位置如圖②所示時,求證:∠PFD﹣∠AEM=90°; 1.因為∠1+∠2=180°,∠2+∠4=180°(已知)所以∠1=∠4,() 又因為∠2+∠3=180°(已知)∠3=∠6(),() .36.如圖,∠B和∠D的兩邊分別平行. (1)在圖1中,∠B和∠D的數(shù)量關(guān)系是,在圖2中,∠B和∠D 的數(shù)量關(guān)系是; (2)用一句話歸納的命題為:;并請選擇圖1或圖2中一種情況說 (1)如圖1,當(dāng)點E在線段BC上時,求證:∠BAE=∠BEA. ∠AED=60°.①求證:∠ABC=∠ADC;②求∠CED的度數(shù)..∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的大小之間有怎樣的等量關(guān)系?請說明理由.∠F,∠G,∠D之間又會有何關(guān)系? (1)如圖1,點E在直線BD上的左側(cè),直接寫出∠ABE,∠CDE和∠BED之間的數(shù)量關(guān)系是. 直接寫出∠BFD和∠BED的數(shù)量關(guān)系是. (3)如圖3,點E在直線BD的右側(cè)BF,DF仍平分∠ABE,∠CDE,那么BFDBED樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由.41.(1)如圖,直線a,b,c兩兩相交,∠3=2∠1,∠2=155°,求∠4 .∴∠CDA=90°,∠DAB=90°.()∴∠CDA=∠DAB.(等量代換)又∠1=∠2,即∠3=. (1)說明:∠O=∠BEO+∠DFO. (2)如果將折一次改為折二次,如圖2,則∠BEO、∠O、∠P、∠PFC會 (3)若將折線繼續(xù)折下去,折三次,折四次…折n次,又會得到怎樣的結(jié).44.如圖,已知∠1=60°,∠2=60°,∠MAE=45°,∠FEG=15°,EG平分∠AEC,∠NCE=75°.求證: 45.如圖,∠E=∠1,∠3+∠ABC=180°,BE是∠ABC的角平分線.C (1)如圖①,若∠A=30°,∠C=40°,則∠AEC=. (2)如圖②,若∠A=100°,∠C=120°,則∠AEC=. (3)如圖③,請直接寫出∠A,∠C與∠AEC之間關(guān)系是..就會有許多意想不到的收獲,如圖兩幅圖都是由同一副三角板拼湊得到的: (1)請你計算出圖1中的∠ABC的度數(shù). (2)圖2中AE∥BC,請你計算出∠AFD的度數(shù). (1)圖中和AB平行的線段有哪些? (2)圖中和AB垂直的直線有哪些?0.一.選擇題(共3小題)123812233445188233445566778244668∴l(xiāng)⊥l.2828的有()【分析】由OE⊥AB,OF⊥CD可知:∠AOE=∠DOF=90°,而∠1、∠1.AOF都與∠EOF互余,可知∠1=∠AOF,因而可以轉(zhuǎn)化為求∠1和∠AOF∴∠AOE=∠DOF=90°,即∠AOF+∠EOF=∠EOF+∠1,∴∠1=∠AOF,∴∠COA+∠1=∠1+∠EOF=∠1+∠BOD=90°.∴與∠1互為余角的有∠COA、∠EOF、∠BOD三個.3.如圖所示,同位角共有()F故選C.2.二.填空題(共4小題)4.一塊長方體橡皮被刀切了3次,最多能被分成8塊.1212三角形△PDB≌△PCA(ASA)、正方形CODP;所以S=S=3四邊形OAPB正方形ODPC∴PC=PD;又∵l⊥l,23.∴∠BPA=90°;又∵∠DPC=90°,∴∠DPB=∠CPA,在△PDB和△PCA中∴△PDB≌△PCA(ASA),△DPB△PCAS四邊形OAPB=S正方形ODPCODPCODPC6.如圖,直線l∥l,∠1=20°,則∠2+∠3=200°.22124=∠1=20°,∠BAC+∠3=180°,即可得出∠2+∠3=200°.22∴∠4=∠1=20°,∠BAC+∠3=180°,4.∴∠2+∠3=180°+20°=200°;故答案為:200°.7.將一副學(xué)生用三角板按如圖所示的方式放置.若AE∥BC,則∠AFD的度數(shù)是75°.【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EDC=∠E=45°,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠AFD=∠C+∠EDC,代入即可求出答案.【解答】解:∵∠EAD=∠E=45°,∴∠EDC=∠E=45°,∵∠C=30°,∴∠AFD=∠C+∠EDC=75°,故答案為:75°.三.解答題(共43小題)5. AB上運動(不與點F重合)時,探究∠FHE與∠ENQ的關(guān)系,并證明你的【分析】【分析】(1)首先作MQ∥AB,根據(jù)平行線的性質(zhì),推得∠M=(∠FHP+∠HFP);然后根據(jù)HP⊥EF,推得∠FHP+∠HFP=90°,據(jù)此求出∠M的度 (2)①首先判斷出∠NEQ=∠NEF+∠QEF=(∠HEF+∠DEF)=∠HED,然后根據(jù)NQ⊥EM,可得∠NEQ+∠ENQ=90°,推得∠ENQ=(180°﹣∠HED)=∠CEH,再根據(jù)AB∥CD,推得∠FHE=2∠ENQ即可.②首先判斷出∠NEQ=∠QEF﹣∠NEF=(∠DEF﹣∠HEF)=∠HED,然后根據(jù)NQ⊥EM,可得∠NEQ+∠ENQ=90°,推得∠ENQ=(180°﹣∠HED)=∠CEH,再根據(jù)AB∥CD,推得∠FHE=180°﹣2∠ENQ即可.,∴MQ∥CD,6.∴∠1=∠FHM,∠2=∠DEM,∴∠∴∠1+∠2=∠FHM+∠DEM=(∠FHP+∠FED)=(∠FHP+∠HFP),∴∠HPF=90°,∴∠FHP+∠HFP=180°﹣90°=90°,∵∠1+∠2=∠M,∴∠∴∠M= (2)①如圖2,,∠∠NEQ=∠NEF+∠QEF=(∠HEF+∠DEF)=∠HED,∵NQ⊥EM,∴∠NEQ+∠ENQ=90°,∴∴∠ENQ=(180°﹣∠HED)=∠CEH,∵AB∥CD,∴∠FHE=∠CEH=2∠ENQ.,∠FHE=180°﹣2∠ENQ,理由如下:7.∠∠NEQ=∠QEF﹣∠NEF=(∠DEF﹣∠HEF)=∠HED,∵NQ⊥EM,∴∠NEQ+∠ENQ=90°,∴∴∠ENQ=(180°﹣∠HED)=∠CEH,∵AB∥CD,∴∠FHE=180°﹣∠CEH=180°﹣2∠ENQ.HAB點F重合)時,∠FHE=2∠ENQ或∠FHE=180°2∠ENQ.同旁內(nèi)角互補.簡單說成:兩直線平行,同旁內(nèi)角互補.③定理3:兩條平9.我們知道,兩條直線相交,有且只有一個交點,三條直線相交,最多只8.… (1)若∠EOC=70°,求∠BOD的度數(shù). (2)若∠EOC:∠EOD=4:5,求∠BOD的度數(shù).【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義求出∠AOC的度數(shù),根據(jù)對頂角相等得 EOCx出∠EOC=80°,【解答】解:(1)∵∠EOC=70°,OA平分∠EOC,∴∠AOC=35°,∴∠BOD=∠AOC=35°; (2)設(shè)∠EOC=4x,則∠EOD=5x,x+4x=180°,9.解得x=20°,則∠EOC=80°,又∵OA平分∠EOC,∴∠AOC=40°,∴∠BOD=∠AOC=40°.掌握對頂角相等、鄰補角之和等于180°是解題的關(guān)鍵. (1)若∠AOE=40°,求∠BOD的度數(shù); (2)若∠AOE=α,求∠BOD的度數(shù);(用含α的代數(shù)式表示) (3)從(1)(2)的結(jié)果中能看出∠AOE和∠BOD有何關(guān)系?【分析】(1)、(2)根據(jù)平角的性質(zhì)求得∠AOF,又有角平分線的性質(zhì)求得∠FOC;然后根據(jù)對頂角相等求得∠EOD=∠FOC;∠BOE=∠AOB﹣∠AOE,∠BOD=∠EOD﹣∠BOE; (3)由(1)、(2)的結(jié)果找出它們之間的倍數(shù)關(guān)系.【解答】解:(1)∵∠AOE+∠AOF=180°(互為補角),∠AOE=40°,∴∠AOF=140°;又∵OC平分∠AOF,∴∴∠FOC=∠AOF=70°,∴∠EOD=∠FOC=70°(對頂角相等);.而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=50°,∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=20°; (2)∵∠AOE+∠AOF=180°(互為補角),∠AOE=α,∴∠AOF=180°﹣α;又∵OC平分∠AOF,∴∠FOC=∠AOF=90°﹣α,∴∠EOD=∠FOC=90°﹣α(對頂角相等);而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=90°﹣α,∴∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=α; (3)從(1)(2)的結(jié)果中能看出∠AOE=2∠BOD.CBN=100°. (1)若∠ADQ=130°,求∠BED的度數(shù); 若∠ADQ=n°,求∠BED的度數(shù)(用含n的代數(shù)式表示).1.EF (2)過點E作EF∥PQ,由平行線的性質(zhì)及角平分線求得∠DEF和∠FEB,∵∠CBN=100°,∠ADQ=130°,∴∠CBM=80°,∠ADP=50°,∵DE平分∠ADC,BE平分∠ABC,∴∠∴∠EBM=∠CBM=40°,∠EDP=∠ADP=25°,∴∠DEF=∠EDP=25°,∴∠FEB=∠EBM=40°∴∠BED=25°+40°=65°; (2)如圖2,過點E作EF∥PQ,∵∠CBN=100°,∴∠CBM=80°,∵DE平分∠ADC,BE平分∠ABC,.∴∴∠EBM=∠CBM=40°,∠EDQ=∠ADQ=n°,∴∴∠DEF=180°﹣∠EDQ=180°﹣n°,∴∠FEB=∠EBM=40°,∴∠BED=180°﹣n°+40°=220°﹣n°.BED.13.如圖,將含有45°角的三角板ABC的直角頂點C放在直線m上,若∠1=26° (1)求∠2的度數(shù) (2)若∠3=19°,試判斷直線n和m的位置關(guān)系,并說明理由..【分析】(1)根據(jù)平角等于180°,列式計算即可得解; (2)根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠4,然后根據(jù)同位角相等,兩直線平行解【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,∠1=26°,∴∠2=180°﹣∠1﹣∠ACB,=180°﹣90°﹣26°,=64°; 理由如下:∵∠3=19°,∠A=45°,∴∠4=45°+19°=64°,∵∠2=64°,∴∠2=∠4,2直線l或l上且不與點A、B、C、D重合.記∠AEP=∠1,∠PFB=∠2,∠34. (1)若點P在圖(1)位置時,求證:∠3=∠1+∠2; (2)若點P在圖(2)位置時,請直接寫出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系; 2利用平行線的性質(zhì)得到和∠1、∠2相等的角,然后結(jié)合這些等角和∠3的位置關(guān)系,來得出∠1、∠2、∠3的數(shù)量關(guān)系.2∠1=∠QPE、∠2=∠QPF;∵∠3=∠QPE+∠QPF,∴∠3=∠1+∠2. (2)關(guān)系:∠3=∠2﹣∠1;2則:∠1=∠QPE、∠2=∠QPF;∵∠3=∠QPF﹣∠QPE,∴∠3=∠2﹣∠1. (3)關(guān)系:∠3=360°﹣∠1﹣∠2.2同(1)可證得:∠3=∠CEP+∠DFP;.∵∠CEP+∠1=180°,∠DFP+∠2=180°,∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°,即∠3=360°﹣∠1﹣∠2. (1)試探索∠ABC,∠BCP和∠CPN之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由; (2)若∠ABC=42°,∠CPN=155°,求∠BCP的度數(shù).【分析】(1)由平行線的性質(zhì)得出∠ABC=∠BMN=∠BCD,∠CPN+∠PCD=180°,即可得出結(jié)論; (2)由(1)的結(jié)論代入計算即可.【解答】解:(1)∠ABC﹣∠BCP+∠CPN=180°;理由如下:∴∠ABC=∠BMN=∠BCD,∠CPN+∠PCD=180°,∵∠PCD=∠BCD﹣∠BCP=∠ABC﹣∠BCP,.∴∠ABC﹣∠BCP+∠CPN=180°. (2)由(1)得:∠ABC﹣∠BCP+∠CPN=180°,則∠BCP=∠ABC+∠CPN﹣180°=155°+42°﹣180°=17°.16.如圖,AD∥BC,∠EAD=∠C,∠FEC=∠BAE,∠EFC=50° (1)求證:AE∥CD; (2)求∠B的度數(shù).【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量關(guān)系可得∠EAD+∠D=180°,根據(jù) (2)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AEB=∠C,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等量關(guān)【解答】(1)證明:∵AD∥BC,∴∠D+∠C=180°,∵∠EAD=∠C,∴∠EAD+∠D=180°,∴AE∥CD; (2)∵AE∥CD,.∴∠AEB=∠C,∵∠FEC=∠BAE,∴∠B=∠EFC=50°. (1)如圖1,若AB∥CD,則∠B+∠D=∠E,你能說明理由嗎? (2)反之,若∠B+∠D=∠E,直線AB與直線CD有什么位置關(guān)系?簡要 (3)若將點E移至圖2的位置,此時∠B、∠D、∠E之間有什么關(guān)系?直 (4)若將點E移至圖3的位置,此時∠B、∠D、∠E之間有什么關(guān)系?直 (5)在圖4中,AB∥CD,∠E+∠G與∠B+∠F+∠D之間有何關(guān)系?直接【分析】(1)首先作EF∥AB,根據(jù)AB∥CD,可得EF∥CD,據(jù)此分別判斷出∠B=∠1,∠D=∠2,即可判斷出∠B+∠D=∠E,據(jù)此解答即可. (2)首先作EF∥AB,即可判斷出∠B=∠1;然后根據(jù)∠E=∠1+∠2=∠B+. (3)首先過E作EF∥AB,即可判斷出∠BEF+∠B=180°,然后根據(jù)EF∥CD,可得∠D+∠DEF=180°,據(jù)此判斷出∠E+∠B+∠D=360°即可. (4)首先根據(jù)AB∥CD,可得∠B=∠BFD;然后根據(jù)∠D+∠E=∠BFD,可得∠D+∠E=∠B,據(jù)此解答即可. ∠2=∠3,∠4=∠5,∠6=∠D,所以∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D;然后根據(jù)∠1+∠2=∠E,∠5+∠6=∠G,∠3+∠4=∠F,可得∠E+∠G=∠,∵AB∥CD,∴∠B=∠1,∴∠D=∠2,∴∠B+∠D=∠1+∠2,又∵∠1+∠2=∠E,∴∠B+∠D=∠E. (2)如圖2,作EF∥AB,,.∴∠B=∠1,∵∠E=∠1+∠2=∠B+∠D,∴∠D=∠2,∴AB∥CD. (3)如圖3,過E作EF∥AB,,∴∠BEF+∠B=180°,∴∠D+∠DEF=180°,∵∠BEF+∠DEF=∠E,∴∠E+∠B+∠D=180°+180°=360°., (4)如圖4,,∵AB∥CD,∴∠B=∠BFD,∵∠D+∠E=∠BFD,∴∠D+∠E=∠B.. ,又∵AB∥CD,∴∠B=∠1,∠2=∠3,∠4=∠5,∠6=∠D,∴∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D;∵∠1+∠2=∠E,∠5+∠6=∠G,∠3+∠4=∠F,∴∠E+∠G=∠B+∠F+∠D.簡直線 (1)求證:∠AEP+∠CFP=∠EPF. (2)如圖2,已知∠BEP的平分線與∠DFP的平分線相交于點Q,試探索∠EPF與∠EQF之間的關(guān)系. (3)如圖3,已知∠BEQ=∠BEP,∠DFQ=∠DFP,則∠P與∠Q有什 (4)已知∠BEQ=∠BEP,∠DFQ=∠DFP,有∠P與∠Q的關(guān)系為∠.∠AEP=∠1,∠CFP=∠2,據(jù)此判斷出∠AEP+∠CFP=∠EPF即可. (2)首先由(1),可得∠EPF=∠AEP+CFP,∠EQF=∠BEQ+∠DFQ;然后,,即可判斷出∠EPF+2∠EQF=360°. (3)首先由(1),可得∠P=∠AEP+CFP,∠Q=∠BEQ+∠DFQ;然后根據(jù)∠∠BEQ=∠BEP,∠DFQ=∠DFP,推得∠Q=×(360°﹣∠P),即可判斷出∠P+3∠Q=360°. (4)首先由(1),可得∠P=∠AEP+CFP,∠Q=∠BEQ+∠DFQ;然后根據(jù)∠∠BEQ=∠BEP,∠DFQ=∠DFP,推得∠Q=×(360°﹣∠P),即可判斷出∠P+n∠Q=360°.(1)證明:如圖,∵AB∥CD,∴PG∥CD,∴∠AEP=∠1,∠CFP=∠2,又∵∠1+∠2=∠EPF,∴∠AEP+∠CFP=∠EPF.∴∠EQF=∠∴∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=(∠BEP+∠DFP)==,. (2)如圖2,,由(1),可得∠EPF=∠AEP+CFP,∠EQF=∠BEQ+∠DFQ,Q∴∠EPF+2∠EQF=360°., (3)如圖3,,由(1),可得∠P=∠AEP+CFP,∠Q=∠BEQ+∠DFQ,∴∠Q=∠BEQ+∠DFQ=(∠BEP+∠DFP)=×(360°﹣∠P),[360°﹣(∠AEP+∠CFP)]=∴∠P+3∠Q=360°. (4)由(1),可得∠P=∠AEP+CFP,∠Q=∠BEQ+∠DFQ,.∴∠Q=∠BEQ+∠DFQ=(∠BEP+∠DFP)=[360°﹣(∠AEP+∠CFP)]=×(360°﹣∠P),∴∠P+n∠Q=360°.故答案為:∠P+n∠Q=360°.直線123x和等于180°列式求出x,再根據(jù)對頂角相等求出∠4即可.解得x=18°,則∠4=18°+18°=36°.故∠4的度數(shù)是36°..∠3=130°,找出圖中的平行線,并說明理由.∵∠1=50°,∠2=50°,∴∠1=∠2,∴OB∥AC,∵∠2=50°,∠3=130°,∴∠2+∠3=180°, (1)若∠AOC=70°,∠DOF=90°,求∠EOF的度數(shù); (2)若OF平分∠COE,∠BOF=15°,若設(shè)∠AOE=x°..②求∠AOC的度數(shù).【分析】(1)由對頂角的性質(zhì)可知∠BOD=70°,從而可求得∠FOB=20°,由由角平分線的定義可知∠BOE=∠BOD,最后根據(jù)∠EOF=∠BOE+∠FOB AOECOEx角平分線的定義可知∠FOE=;②②∠BOE=∠FOE﹣∠FOB可知∠BOE=x﹣15°,最后根據(jù)∠BOE+∠AOE=180°列出方程可求得x的值,從而可求得∠AOC的度數(shù).【解答】解:(1)由對頂角相等可知:∠BOD=∠AOC=70°,∵∠FOB=∠DOF﹣∠BOD,∴∠FOB=90°﹣70°=20°,∵OE平分∠BOD,∴∴∠BOE=∠BOD=×70°=35°,∴∠EOF=∠FOB+∠BOE=35°+20°=55°, (2)①∵OE平分∠BOD,∴∠BOE=∠DOE,∵∠BOE+∠AOE=180°,∠COE+∠DOE=180°,∴∠COE=∠AOE=x,∵OF平分∠COE,∴∠∴∠FOE=x,.②∵∠BOE=∠FOE﹣∠FOB,∴∠∴∠BOE=x﹣15°,∵∠BOE+∠AOE=180°,∴x﹣15°+x=180°,解得:x=130°,∴∠AOC=2∠BOE=2×(180°﹣130°)=100°.22.如圖,直線AB、CD相交于點O,已知∠AOC=75°,OE把∠BOD (1)求∠EOB的度數(shù); (2)若OF平分∠AOE,問:OA是∠COF的角平分線嗎?試說明理由.出∠BOD的度數(shù),設(shè)∠BOE=2x,根據(jù)題意. (2)根據(jù)角平分線的定義求出∠AOF的度數(shù)即可.∠BOD=∠AOC=75°,∴2x+3x=75°,解得,x=15°,則2x=30°,3x=45°,∴∠BOE=30°; (2)∵∠BOE=30°,∴∠AOE=150°,∵OF平分∠AOE,∴∠AOF=75°,∴∠COF=∠AOC,∴OA是∠COF的角平分線.握對頂角相等、鄰補角之和等于180°是解題的關(guān)鍵.23.如圖,直線AB、CD相交于點O,∠AOC=72°,射線OE在∠BOD的內(nèi)部,∠DOE=2∠BOE. (1)求∠BOE和∠AOE的度數(shù); (2)若射線OF與OE互相垂直,請直接寫出∠DOF的度數(shù).【分析】(1)設(shè)∠BOE=x,根據(jù)題意列出方程,解方程即可;. (2)分射線OF在∠AOD的內(nèi)部和射線OF在∠BOC的內(nèi)部兩種情況,根【解答】解:(1)∵∠AOC=72°,∴∠BOD=72°,∠AOD=108°,解得,x=24°,∴∠BOE=24°,∠DOE=48°,∴∠AOE=156°; (2)若射線OF在∠BOC的內(nèi)部,∠DOF=90°+48°=138°,若射線OF在∠AOD的內(nèi)部,∠DOF=90°﹣48°=42°,∴∠DOF的度數(shù)是138°或42°.對頂角相等、鄰補角的和是180°是解題的關(guān)鍵. (1)求∠BOD的度數(shù); (2)如圖2,點F在OC上,直線GH經(jīng)過點F,F(xiàn)M平分∠OFG,且∠.【分析】(1)根據(jù)鄰補角的定義求出∠EOC,再根據(jù)角平分線的定義求出∠ (2)由已知條件和對頂角相等得出∠MFC=∠MFH=∠BOD+90°=126°,得出∠ONF=90°,求出∠OFM=54°,延長∠OFG=2∠OFM=108°,證出∠OFG+∠EOC=180°,即可得出結(jié)論.∴∴∠EOC=180°×=72°,∵OA平分∠EOC,∴∠∴∠AOC=∠EOC=×72°=36°,∴∠BOD=∠AOC=36°. ∵∠MFH﹣∠BOD=90°,F(xiàn)M平分∠OFG,∴∠MFC=∠MFH=∠BOD+90°=126°,∴∠ONF=126°﹣36°=90°,∴∠OFM=90°﹣36°=54°,∴∠OFG=2∠OFM=108°,∴∠OFG+∠EOC=180°,. (1)若∠BOE=70°,求∠AOF的度數(shù); (2)若∠BOD:∠BOE=1:2,求∠AOF的度數(shù).【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義求出∠BOC的度數(shù),根據(jù)鄰補角的性質(zhì)求出∠AOC的度數(shù),根據(jù)余角的概念計算即可; (2)根據(jù)角平分線的定義和鄰補角的性質(zhì)計算即可.【解答】解:(1)∵OE平分∠BOC,∠BOE=70°,∴∠BOC=2∠BOE=140°,∴∠AOC=180°﹣140°=40°,又∠COF=90°,∴∠AOF=90°﹣40°=50°; BODBOEOE平分∠BOC,∴∠BOD=36°,∴∠AOC=36°,又∵∠COF=90°,∴∠AOF=90°﹣36°=54°.頂角相等、鄰補角之和等于180°是解題的關(guān)鍵.. (1)∵∠3=∠4(已知)∴CD∥AB(內(nèi)錯角相等,兩直線平行) (2)∵∠DBE=∠CAB(已知)∴AC∥BD(同位角相等,兩直線平行) (3)∵∠ADF+∠5=180°(已知)【分析】(1)由∠3=∠4根據(jù)平行線的判定推出CD∥AB; (2)由∠DBE=∠CAB,根據(jù)同位角相等,兩直線平行得出答案; (3)根據(jù)同旁內(nèi)角互補,兩直線平行即可得到答案.【解答】解:(1)∵∠3=∠4(已知),∴CD∥AB(內(nèi)錯角相等,兩直線平行), (2)∵∠DBE=∠CAB(已知),D (3)∵∠ADF+∠5=180°(已知),F(xiàn)角相等,兩直線平行,(3)∠5,同旁內(nèi)角互補,兩直線平行.旁內(nèi)角和利用平行線的判定進(jìn). (1)若∠AOC=68°,∠DOF=90°,求∠EOF的度數(shù). (2)若OF平分∠COE,∠BOF=30°,求∠AOC的度數(shù). (2)設(shè)∠AOC=x,根據(jù)對頂角相等和角平分線的定義用x表示出∠BOE和∴∠BOD=∠AOC=68°,∵OE平分∠BOD,∴∠∴∠DOE=∠BOD=34°,∴∠EOF=∠DOF﹣∠DOE=56°; (2)設(shè)∠AOC=x,則∠BOD=x,∵OE平分∠BOD,∴∠BOE=∠DOE=x,∵OF平分∠COE,∴∠EOF=(180°﹣x),由題意得,(180°﹣x)﹣x=30°,解得,x=80°,∴∠AOC=80°.3.補角之和為180°以及角平分線的定義是解題的關(guān)鍵. (1)求證:CF∥AB. (2)求∠DFC的度數(shù).【分析】(1)首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠DCF=45°,再有∠BAC=45°,平行可判定出AB∥CF; (2)利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計算即可.∵CF平分∠DCE,∴∠∴∠DCF=∠ECF=∠DCE,∵∠DCE=90°,∴∠DCF=45°,∵∠BAC=45°,∴∠DCF=∠BAC,∴AB∥CF(內(nèi)錯角相等,兩直線平行); (2)解:∵∠D=30°,∠DCF=45°,∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°.解:因為∠1=35°,∠2=35°(已知),所以∠1=∠2.所以AC∥BD(同位角相等,兩直線平行).又因為AC⊥AE(已知),所以∠EAC=90°.(垂直的定義) 所以∠EAB=∠EAC+∠1=125°.同理可得,∠FBG=∠FBD+∠2=125°.所以∠EAB=∠FBG(等量代換).所以AE∥BF(同位角相等,兩直線平行).G【解答】解:因為∠1=35°,∠2=35°(已知),所以∠1=∠2.又因為AC⊥AE(已知),所以∠EAC=90°.(垂直的定義)所以∠EAB=∠EAC+∠1=125°.同理可得,∠FBG=∠FBD+∠2=125°..所以∠EAB=∠FBG(等量代換).30.已知如圖所示,∠B=∠C,點B、A、E在同一條直線上,∠EAC=∠B+∠C,且AD平分∠EAC,試說明AD∥BC的理由.EAC∠C=∠EAC,推出∠C=∠1,根據(jù)平行線的判定求出即可.∴∠∴∠1=∠EAC,∵∠EAC=∠B+∠C,∠B=∠C,∴∴∠C=∠EAC,∴∠C=∠1,和已知推出∠1=∠C,題目比較典型,難度不大.. (1)直接寫出圖中∠AOC的對頂角為∠BOD,∠BOE的鄰補角為∠ (2)若∠AOC=70°,且∠BOE:∠EOD=2:3,求∠AOE的度數(shù). BODBOE∠EOD=2:3求出∠BOE的度數(shù),然后利用互為鄰補角的兩個角的和等于180°即可求出∠【解答】解:(1)∠AOC的對頂角為∠BOD,∠BOE的鄰補角為∠AOE; (2)∵∠DOE=∠AOC=70°,∠DOE=∠BOE+∠EOD及∠BOE:∠EOD=2:,,∴得,,∴∴∠BOE=28°,∴∠AOE=180°﹣∠BOE=152°.互為鄰補角的兩個角的和等于180°求解. (1)當(dāng)△PMN所放位置如圖①所示時,則∠PFD與∠AEM的數(shù)量關(guān)系為.∠PFD+∠AEM=90°; (2)當(dāng)△PMN所放位置如圖②所示時,求證:∠PFD﹣∠AEM=90°; (2)由平行線的性質(zhì)得出∠PFD+∠1=180°,再由角的互余關(guān)系即可得出 (3)由角的互余關(guān)系求出∠PHE,再由平行線的性質(zhì)得出∠PFC的度數(shù),則PG∥CD,∴∠PFD=∠1,∠2=∠AEM,∵∠1+∠2=∠P=90°,∴∠PFD+∠AEM=∠1+∠2=90°,故答案為:∠PFD+∠AEM=90°; (2)證明:如圖②所示:∵AB∥CD,∴∠PFD+∠BHF=180°,∵∠P=90°,∴∠BHF+∠2=90°,.∵∠2=∠AEM,∴∠BHF=∠PHE=90°﹣∠AEM,∴∠PFD+90°﹣∠AEM=180°,∴∠PFD﹣∠AEM=90°; (3)如圖③所示:∵∠P=90°,∴∠PHE=90°﹣∠FEB=90°﹣15°=75°,∵AB∥CD,∴∠PFC=∠PHE=75°,∵∠PFC=∠N+∠DON,∴∠N=75°﹣30°=45°..因為∠1+∠2=180°,∠2+∠4=180°(已知)又因為∠2+∠3=180°(已知)∠3=∠6(對頂角相等) 所以∠2+∠6=180°,(等量代換) 所以a∥b.(同旁內(nèi)角互補,兩直線平行) 明a∥c,依據(jù)對頂角的性質(zhì)和等量代換可證明∠2+∠6=180°,最后依據(jù)【解答】解:因為∠1+∠2=180°,∠2+∠4=180°(已知),又因為∠2+∠3=180°(已知)∠3=∠6(對頂角相等)所以∠2+∠6=180°,(等量代換).相等,兩直線平行;對頂角相等;等量∴∠B+∠BEC=180°,∵∠B=100°,∴∠BEC=80°,∴∴∠FEC=∠BEC=40°,∴∠EDH=∠FEC=40°..MEN=46°,再EN∥AB得出∠GEN=∠FGB=90°,即可得出結(jié)果.則∠EMD+∠MEN=180°,∴∠MEN=180°﹣134°=46°,∵FE⊥AB,∴∠FGB=90°,∵AB∥CD,∴∠GEN=∠FGB=90°,∴∠GEM=90°+46°=136°.36.如圖,∠B和∠D的兩邊分別平行. (1)在圖1中,∠B和∠D的數(shù)量關(guān)系是∠B=∠D,在圖2中,∠B .和∠D的數(shù)量關(guān)系是∠B+∠D=180°; (2)用一句話歸納的命題為:如果兩個角的兩邊分別平行,則這兩個角 【分析】(1)在圖1中,首先根據(jù)AB∥CD,可得∠B=∠1;然后根據(jù)BE2+∠D=180°,即可判斷出∠B+∠D=180°. (2)首先判斷出用一句話歸納的命題為:如果兩個角的兩邊分別平行,則 (3)若兩個角的兩邊分別互相平行,其中一個角是另一個角的2倍,再根據(jù)這兩個角互補,求出這兩個角的度數(shù)各是多少即可.,∵AB∥CD,∴∠B=∠1,.∴∠1=∠D,∴∠B=∠D.∵AB∥CD,∴∠B=∠1,∴∠2+∠D=180°,又∵∠1=∠2,∴∠1+∠D=180°,∴∠B+∠D=180°. (2)用一句話歸納的命題為:∵AB∥CD,∴∠B=∠1,∴∠1=∠D,∴∠B=∠D. (3)如果兩個角的兩邊分別平行,則這兩個角相等或互補,4.180°÷(1+2)=180°÷3=60°,60°×2=120°,∴這兩個角的度數(shù)分別是60°、120°.故答案為:∠B=∠D;∠B+∠D=180°;如果兩個角的兩邊分別平行,則這同旁內(nèi)角互補.簡單說成:兩直線平行,同旁內(nèi)角互補.③定理3:兩條平 (1)如圖1,當(dāng)點E在線段BC上時,求證:∠BAE=∠BEA. ∠AED=60°.①求證:∠ABC=∠ADC;②求∠CED的度數(shù).【分析】(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠BAE=∠EAD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AEB=∠EAD,等量代換即可求解; (2)①先證明四邊形ABCD是平行四邊形,再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可.②根據(jù)∠ADE=3∠CDE,設(shè)∠CDE=x°,∠ADE=3x°,∠ADC=2x°,根【解答】(1)證明:∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠EAD,∴∠AEB=∠EAD,∴∠BAE=∠BEA; (2)①證明:∵AD∥BC,AB∥CD,∴∠ABC=∠ADC;②解:∵∠ADE=3∠CDE,設(shè)∠CDE=x°,∴∠ADE=3x°,∠ADC=2x°,∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°,∴∠DAB=180°﹣2x°,∵∠DAE=∠BAE=∠BEA=90°﹣x°,又∵AD∥BC,∴∠BED+∠ADE=180°,∵∠AED=60°,∴∠CDE=x°=15°,∠ADE=45°,.∴∠CED=180°﹣∠ADE=135°.∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的大小之間有怎樣的等量關(guān)系?請說明理由.【解答】解:∠2+∠4=∠1+∠3+∠5.∴∠1=∠ABF,∠FBC=∠BCG,∠GCD=∠CDH,∠HDE=∠5,∴∠2+∠4=∠1+∠3+∠5..∠F,∠G,∠D之間又會有何關(guān)系?GP∥DC;然后根據(jù)平行線的性質(zhì),可得∠B=∠1,∠2=∠3,∠4=∠5,∠6=∠D,據(jù)此判斷出∠B+∠F+∠D=∠E+∠G即可.∴∠B=∠1,∠2=∠3,∠4=∠5,∠6=∠D,∴∠B+∠3+∠4+∠D=∠1+∠2+∠5+∠6,∴∠B+∠F+∠D=∠E+∠G.直線. (1)如圖1,點E在直線BD上的左側(cè),直接寫出∠ABE,∠CDE和∠BED之間的數(shù)量關(guān)系是∠ABE+∠CDE=∠BED. (3)如圖3,點E在直線BD的右側(cè)BF,DF仍平分∠ABE,∠CDE,那么BFDBED的數(shù)量關(guān)系?請說明理由.【分析】(1)首先作EF∥AB,根據(jù)直線AB∥CD,可得EF∥CD,所以∠ABE=∠1,∠CDE=∠2,據(jù)此推得∠ABE+∠CDE=∠BED即可. ABE+∠CDE);然后由(1),可得∠BFD=∠ABF+∠CDF,∠BED=∠ABE+ED (3)首先過點E作EG∥CD,再根據(jù)AB∥CD,EG∥CD,推得AB∥CD∥EG,所以∠ABE+∠BEG=180°,∠CDE+∠DEG=180°,據(jù)此推得∠ABE+∠CDE+∠BED=360°;然后根據(jù)∠BFD=∠ABF+∠CDF,以及BF,DF分別平分∠ABE,∠CDE,推得2∠BFD+∠BED=360°即可.,∵直線AB∥CD,.∴∠ABE=∠1,∠CDE=∠2,∴∠ABE+∠CDE=∠1+∠2=∠BED,即∠ABE+∠CDE=∠BED. (2)如圖2,,∴∠ABF=∠ABE,∠CDF=∠CDE,∴∠ABF+∠CDF=∠ABE+∠CDE=(∠ABE+∠CDE)由(1),可得∠BFD=∠ABF+∠CDF=(∠ABE+∠CDE)∠BED=∠ABE+∠CDE, (3)如圖3,過點E作EG∥CD,,EG∴∠ABE+∠BEG=180°,∠CDE+∠DEG=180°,∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°,由(1)知,∠BFD=∠ABF+∠CDF,∴∠ABF=∠ABE,∠CDF=∠CDE,∴∠BFD=(∠ABE+∠CDE),.∴2∠BFD+∠BED=360°.故答故答案為:∠ABE+∠CDE=∠BED、∠BFD=∠BED.同旁內(nèi)角互補.簡單說成:兩直線平行,同旁內(nèi)角互補.③定理3:兩條平41.(1)如圖,直線a,b,c兩兩相交,∠3=2∠1,∠2=155°,求∠4 【分析】(1)根據(jù)鄰補角的和等于180°求出∠1的度數(shù),然后求出∠3,再 ∠DOE=30°,OF平分∠COE得到∠EOF=75°,求出∠BOF=45°,根據(jù)鄰補角的和等于180°求出∠AOF.解:(1)如圖,∵∠2=155°,∴∠1=180°﹣∠2=180°﹣155°=25°,∴∠3=2∠1=2×25°=50°,∵∠3=∠4,(對頂角相等)∴∠4=50°, (2)∵∠AOD:∠BOE=4:1,∴∠AOD=4∠BOE,∵OE平分∠BOD,∴∠D0E=∠EOB,∴∠AOD+∠DOE+∠BOE=180°,∴6∠BOE=180°,∴∠BOE=∠DOE=30°,∴∠COE=180°﹣30°=150°,∵OF平分∠COE,∴∠EOF=75°,∴∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=75°﹣30°=45°,∠AOF=180°﹣45°=135°.并熟記性質(zhì)與概念是解題的關(guān)鍵..∴∠CDA=90°,∠DAB=90°.(垂直定義)∴∠CDA=∠DAB.(等量代換)又∠1=∠2,從而∠CDA﹣∠1=∠DAB﹣∠2.(等式的性質(zhì)) 即∠3=∠4. 【分析】根據(jù)垂直定義得出∠CDA=∠DAB,求出∠3=∠4,根據(jù)平行線的∴∠CDA=90°,∠DAB=90°(垂直定義),∴∠CDA=∠DAB,∵∠1=∠2,∴∠CDA﹣∠1=∠DAB﹣∠2,∴∠3=∠4,故答案為:垂直定義,∠2,∠4,內(nèi)錯角相等,兩直線平行.. (1)說明:∠O=∠BEO+∠DFO. (2)如果將折一次改為折二次,如圖2,則∠BEO、∠O、∠P、∠PFC會 (3)若將折線繼續(xù)折下去,折三次,折四次…折n次,又會得到怎樣的結(jié)【分析】(1)過O作OM∥AB,根據(jù)平行線性質(zhì)推出∠BEO=∠MOE,∠ (2)過O作OM∥AB,PN∥AB,根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠BEO=∠EOM,∠PFC=∠NPF,∠MOP=∠NPO,代入求出即可; (3)根據(jù)(1)(2)總結(jié)出規(guī)律,即可得出當(dāng)折點是1,2,3,4,…,n時∠BEO+∠2+∠4+…=∠1+∠3+∠5+…+∠PFC.)證明:過O作OM∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥OM∥CD,∴∠BEO=∠MOE,∠DFO=∠MOF,∴∠BEO+∠DFO=∠EOM+∠FOM,即∠EOF=∠BEO+∠DFO. . (2)∠BEO、∠O、∠P、∠PFC會滿足的關(guān)系式是:∠BEO+∠P=∠O+∵AB∥CD,∴∠BEO=∠EOM,∠PFC=∠NPF,∠MOP=∠NPO,∴∠EOP﹣∠OPF=(∠EOM+∠MOP)﹣(∠OPN+∠NPF)=∠EOM﹣∠∠BEO﹣∠PFC=∠EOM﹣∠NPF,∴∠BEO﹣∠PFC=∠EOP﹣∠OPF,∴∠BEO+∠OPF=∠EOP+∠PFC. 則:∠BEO+∠2

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