2022-2023學年江蘇省揚州市江都區(qū)八校聯(lián)誼八年級（上）第一次月考數(shù)學試卷

2022-2023學年江蘇省揚州市江都區(qū)八校聯(lián)誼八年級（上）第一

次月考數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每題3分，共24分）

1.（3分）下列圖形中，是軸對稱圖形的是（）

2.（3分）如圖所示的兩個三角形全等,圖中的字母表示三角形的邊長，則N1的度數(shù)為（

)

3.（3分）如圖，已知NAC8=N￡>8C,若要使AABCwADC8,則添加的一個條件不能是（

A.ZA=ZDB.ZABC=ZDCBC.AB=DCD.AC=DB

4.（3分）如圖，在長方形紙片中，AD//BC,將長方形紙片沿瓦）折疊，點A落在

點E處，DE交邊BC于點、F,若NA￡）B=20。，則NWP等于（）

A.30°B.60°C.50°D.40°

5.（3分）如圖，若記北京為A地，莫斯科為8地，雅典為C地，若想建立一個貨物中轉(zhuǎn)倉,

使其到A、3、C三地的距離相等，則中轉(zhuǎn)倉的位置應(yīng)選在（）

A.三邊垂直平分線的交點B.三邊中線的交點

C.三條角平分線的交點D.三邊上高的交點

6.（3分）如圖，AA8C的三邊A3,BC,C4的長分別為15,20,25,點。是AA8C三條

角平分線的交點，則氏“等于（）

7.（3分）如圖，AABC中，AB=AC,BC=3,SMBC=6.45_L3C于點￡>,EF是AB

的垂直平分線，交AB于點E,交AC于點尸，在所上確定一點P,使P8+PD最小，則

這個最小值為（）

A.3.5B.4C.4.5D.5

8.（3分）如圖，在A4BC中，。為的中點，若AC=3,AT>=4.則AB的長不可能是

)

二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

9.（3分）某電梯中一面鏡子正對樓層顯示屏，顯示屏中顯示的是電梯所在樓層號和電梯運

行方向.當電梯中鏡子如圖顯示時，電梯所在樓層號為—.

10.（3分）如圖，在方格紙中，以AB為一邊作△ABP,使之與AABC全等，在方格的格點

中找出符合條件的P點（不與點A,B,C重合），則點P有個.

II.（3分）如圖，在△4BC中，NB=65°,NC=28°,分別以點A和點C為圓心，大于

L1C畫弧，兩弧相交于點M,N,作直線MN,連接A。，則的度數(shù)為.

2

A

N

B/DC

12.（3分）如圖，是一個3x3的正方形網(wǎng)格，則Nl+N2+N3+N4=

13.（3分）要使如圖錢接的六邊形框架形狀穩(wěn)定，至少需要添加條對角線.

14.（3分）如圖，點A在DE上，AC=EC,AB=3,3c=4,Z1=Z2=Z3,則小的

長度為—.

15.（3分）如圖，AB1.CD,且AB=C￡）,E,尸是A￡>上兩點，CFA.AD,BEA.AD.若

16.（3分）如圖，已知SAABC=24〃/,平分/BAC,且A￡>J_8O于點D,則S^ADC.m2.

17.（3分）如圖，AB=14,AC=6,ACVAB,BDVAB,垂足分別為A、8.點P從

點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿AB向點8運動；點。從點3出發(fā)，以每秒。個單位的

速度沿射線次）方向運動.點P、點Q同時出發(fā)，當以尸、B、。為頂點的三角形與AC4P

全等時，a的值為—.

18.（3分）如圖，在四邊形ABGD中，ZBW=130°,NB=ND=90。，點E,尸分別是

線段3C,AC上的動點.當AAEF的周長最小時，則NE4/的度數(shù)為.

D

三.解答題(本大題共96分):

19.(6分)某地有兩所大學和兩條相交的公路，如圖所示(點N表示大學，OA,OB

表示公路)現(xiàn)計劃在N4O3的內(nèi)部修建一座物資倉庫到兩所大學的距離相等，到兩條公路

的距離也相等.請你用尺規(guī)確定倉庫所在的位置.

3、C都在小正方形的頂點上，利用網(wǎng)格線按下列要

求畫圖.

(1)畫△A&G，使它與A/WC關(guān)于直線/成軸對稱;

(2)在直線/上找一點P,使點P到點A、3的距離之和最短;

(3)在直線/上找一點。，使點。到邊AC、3C的距離相等.

21.（8分）如圖，已知=AD^AE,Z1=N2,求證：BD=CE.

17\2

E

22.(10分)如圖，AD,班'相交于點O,ABHDF,AB=DF，點E與點C在班'上,

且8E=C1尸.

(1)求證：AABC=ADFE；

(2)求證：點O為5尸的中點.

一

D

23.(10分)如圖，DELATE,。尸_LAC于F,若BD=CD,BE=CF.

(1)求證：">平分N8AC.

(2)寫出43+AC與短之間的等量關(guān)系，并說明理由.

pc

24.(10分)如圖，已知RtAABC^RtAADE,ZABC=ZADE=90°,3c與。E相交于點尸，

連接AF.

(1)求證：DF=BF；

(2)連接CE,求證直線AT是線段CE的垂直平分線.

c/^\￡

25.（10分）如圖，已知點C是線段AB上一點，ZDCE=ZA=ZB,CD=CE.猜想AB、

A。、BE之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

26.(10分)如圖，AABC和AEBZ)中，ZABC=ZDBE=90°,AB=CB,BE=BD,連接

AE,CD,AE與8交于點AE與BC交于點、N.

(1)求證：AE=CD-.

(2)求證：AE±CD

27.（12分）在七年級下冊“證明”的一章的學習中，我們曾做過如下的實驗：

畫NAO8=90。，并畫NAO8的平分線OC.把三角尺的直角頂點落在OC的任意一點尸上，

使三角尺的兩條直角邊分別與。4、OB相交于點E、F.

（1）若PF_L03（如圖①），PE與P尸相等嗎？請說明理由；

（2）把三角尺繞點P旋轉(zhuǎn)（如圖②），PE與PF相等嗎?請說明理由；

（3）探究：畫NAO8=50。，并畫NAO8的平分線OC,在OC上任取一點P,作

ZEPF=130°.NEPF的兩邊分別與。4、08相交于E、尸兩點（如圖③），PE與P尸相

等嗎？請說明理由.

③

①②

28.（12分）如圖1,在正方形45C￡）中，E、尸分別是BC,C￡＞上的點，且ZE4P=45度.則

有結(jié)論￡F=5E+FD成立；

（1）如圖2,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、F分別是BC,CDh

的點，且NE4尸是NfiAO的一半，那么結(jié)論EF=3E+FD是否仍然成立？若成立，請證明；

不成立，請說明理由.

（2）若將（1）中的條件改為：如圖3,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+"=180。，

延長8C到點E,延長8到點E,使得NE4F仍然是44￡＞的一半，則結(jié)論￡F=BE+陽

是否仍然成立？若成立，請證明；不成立，請寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明.

2022-2023學年江蘇省揚州市江都區(qū)八校聯(lián)誼八年級（上）第一

次月考數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共8小題，每題3分，共24分）

1.（3分）下列圖形中，是軸對稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相

重合，這個圖形叫做軸對稱圖形進行分析即可.

【解答】解：A.不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

B.不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

C.不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

D.是軸對稱圖形，故本選項符合題意；

故選：D.

2.（3分）如圖所示的兩個三角形全等，圖中的字母表示三角形的邊長，則N1的度數(shù)為（

）

A.82°B.78°C.68°D.62°

【分析】根據(jù)題意和圖形，可知N1是邊。和c的夾角，由第一個三角形可以得到Z1的度數(shù),

本題得以解決.

【解答】解：?.?圖中的兩個三角形全等，

/.Zl=180°-40°-62°=78°,

故選：B.

3.（3分）如圖，已知NACB=N/）BC,若要使AABC=ADC3,則添加的一個條件不能是（

）

A.ZA=ZDB.ZABC=NDCBC.AB=DCD.AC=DB

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理逐個判斷即可.

【解答】解：A.ZA=ZD,ZACB=ZDBC,BC=C3,符合全等三角形的判定定理A4S,

能推出AASC三ADC8,故本選項不符合題意；

B.ZACB=NDBC,BC=CB,ZABC=ZDCB,符合全等三角形的判定定理ASA,能推

出=故本選項不符合題意；

C.AB=DC,BC=CB,ZACB=ZDBC,不符合全等三角形的判定定理，不能推出

AABCmADCB,故本選項符合題意；

D.AC=DB,ZACB=^DBC,BC=CB,符合全等三角形的判定定理SAS,能推出

故本選項不符合題意；

故選：C.

4.（3分）如圖，在長方形紙片ABC。中，AD//BC,將長方形紙片沿8。折疊，點A落在

點E處，DE交邊BC于點、F,若NAT>8=20。，則NDfC等于（）

A.30°B.60°C.50°D.40°

【分析】由折疊的性質(zhì)求出/4DF,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得

【解答】解：由折疊的性質(zhì)得NAZ）8=NEDB,

：.ZADF=2ZADB,

vZA￡>B=20°,

.-.ZADF=2x20°=40°,

-,-AD//BC,

.■.^DFC=ZADF=4O°,

故選：D.

5.（3分）如圖，若記北京為A地，莫斯科為8地，雅典為C地，若想建立一個貨物中轉(zhuǎn)倉,

使其到A、3、C三地的距離相等，則中轉(zhuǎn)倉的位置應(yīng)選在（）

A.三邊垂直平分線的交點B.三邊中線的交點

C.三條角平分線的交點D.三邊上高的交點

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：?.?中轉(zhuǎn)倉到A、5兩地的距離相等，

中轉(zhuǎn)倉的位置應(yīng)選在邊AB的垂直平分線上，

同理，中轉(zhuǎn)倉的位置應(yīng)選在邊AC、8c的垂直平分線上，

?.?中轉(zhuǎn)倉到A、B、C三地的距離相等，

中轉(zhuǎn)倉的位置應(yīng)選在三邊垂直平分線的交點上，

故選：A.

6.（3分）如圖，AABC的三邊43,BC,C4的長分別為15,20,25,點O是AABC三條

角平分線的交點，則5AB等于（）

【分析】過。點作。。_LAB于。，OE_LBC于E,OP_LC4于尸，如圖，利用角平分線的

性質(zhì)得到OD=OE=OF,然后根據(jù)三角形面積公式得到SMRO:Sw。：Sg。=AB:BC:AC.

【解答】解：過。點作于。，OE_L8C于E,。尸_1。\于F，如圖，

?.?點O是AABC三條角平分線的交點，

:.OD=OE=OF,

.-.SMBO:SA/ICO:SACAO=(~AB-OD):(^OEBC):^OF-AC)=AB:BC:AC=15:20:25=3:4:5

故選：D.

B

7.（3分）如圖，A48C中，AB=AC,BC=3,=6,8c于點￡）,EF是AB

的垂直平分線，交AB于點E,交AC于點尸，在EF上確定一點P,使PB+PD最小,則

這個最小值為（）

A.3.5B.4C.4.5D.5

【分析】由垂直平分線的性質(zhì)知=則P3+「￡>=”+P￡>,從而PB+PD最小值為

4）的長，利用面積即可求出A。的長.

【解答】解：:EE是的垂直平分線，

:.AP=BP,

:.PB+PD=AP+PD,

即點P在AD上時，P8+PD最小值為4）的長，

?;BC=3,S^BC=6,

—x3xAZ>=6,

2

??.AD=4,

.?.P3+電）最小值為4,

故選：B.

8.（3分）如圖，在AABC中，。為3c的中點，若AC=3,AD=4.則他的長不可能是

B

D

A.5B.7C.8D.9

【分析】延長4）至“，使4）=DH=4,連接由“SAS”可證AAZX;二MOB,可

得AC=3”=3,由三角形的三邊關(guān)系可求解.

【解答】解：如圖，延長4）至“，使">=。〃=4,連接8”，

H

則A/7=8,

?.?。為8C的中點，

:.BD=CD,

在AAPC和MD8中,

AD=DH

<ZADC=NHDB,

CD=BD

:.AADC=^HDB(SAS)f

:.AC=BH=3,

在AABH中，AH-BH<AB<AH+BH,

.\5<AB<1\,

「?AB的長不可能是5,

故選：A.

二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

9.（3分）某電梯中一面鏡子正對樓層顯示屏，顯示屏中顯示的是電梯所在樓層號和電梯運

行方向.當電梯中鏡子如圖顯示時，電梯所在樓層號為15.

【分析】利用鏡面對稱的性質(zhì)求解.鏡面對稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好

順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱.

【解答】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，將數(shù)字21上下顛倒，可得電梯所在樓層號為15.

故答案為：15.

10.（3分）如圖，在方格紙中，以AB為一邊作aABP,使之與△ABC全等，在方格的格點

中找出符合條件的尸點（不與點A,B,C重合），則點尸有3個.

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理找出各個點即可.

△ABP與AABC全等，共有為、尸2、P33個點,

故答案為：3.

11.（3分）如圖，在△ABC中，NB=65°,ZC=28°,分別以點A和點C為圓心，大于

Lc畫弧，兩弧相交于點M,N,作直線MN,連接A￡>,則NBA。的度數(shù)為59°

2

M

【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NB4C的度數(shù)，再由線段垂直平分的性質(zhì)得出/

C-ZC4D,即可得出答案.

【解答】解：???/B=65°,ZC=28°,

AZB/1C=180°-65°-28°=87°,

,:MN為線段AC的垂直平分線,

.,./C=/C">=28°,

：.ZBAD=ZBAC-ZCAD=S10-28°=59°,

故答案為：59。.

12.（3分）如圖，是一個3*3的正方形網(wǎng)格，則Nl+N2+N3+N4=_180。

【分析】仔細分析圖中角度，可得出，Zl+Z4=90°,Z2+Z3=90°,進而得出答案.

【解答】解：和N4所在的三角形全等,

.-.Zl+Z4=90o,

Z2和Z3所在的三角形全等,

，N2+Z3=90°,

.?.Z1+N2+Z3十N4=180°.

故答案為：180。.

13.（3分）要使如圖銳接的六邊形框架形狀穩(wěn)定，至少需要添加3條對角線.

【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性，只要使六邊形框架變成三角形的組合體即可.

【解答】解：根據(jù)三角形的穩(wěn)定性，得要使框架穩(wěn)固且不活動，至少還需要添3根木條.

故應(yīng)填：3.

14.（3分）如圖，點A在DE上，AC=EC,AB=3,BC=4,Z1=Z2=Z3,則OE的

長度為3.

［分析］先利用三角形內(nèi)角和，由Nl=N2得到=NO,再由N2=N3得到ZACB=ZECD,

于是利用“A4S”可證明AACB=AE8,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出答案.

【解答】解：如圖，/歸與DC相交于點尸，

?.?Z1=Z2,ZAFD=ZBFC,

：.ZB=ZD,

?.?N2=N3,

Z2+ZACD=Z3+ZACD,

即ZACB=ZECD,

在AAC3和AEC。中，

'NB=ND

<NACB=NECD,

AC=EC

/.MCB=AECD(A4S),

：.AB=ED.

?.?AB=3,

..DE=3.

故答案為：3.

15.(3分)如圖，ABVCD,且AB=CE>,E,尸是AD上兩點，CF_LAZ),BE±AD.若

Cb=8,BE=6,AD=10,則EF的長為4.

【分析】證AAB石合AC。/7,可得/=6,AE=CF=8,可求石尸的長.

【解答】解：\ABLCD,CFLAD,BELAD,

.,.NC+NO=90。，ZA+NO=90。，ZAEB=NCFD=90。,

/.ZA=ZC,

在AABE和ACD廠中，

ZA=ZC

<4AEB=NCFD,

AB=CD

:.^ABE=\CDF{AAS),

:.BE=DF=6,AE=CF=8,

AF=AD-DF=10-6=4,

.\EF=AE-AF=8-4=4,

故答案為:4.

16.(3分)如圖，已知S&A8C=24,T?,AO平分乙BAG且于點。，則S、oc12

D

BC

【分析】延長80交AC于點E,則可知AABE為等腰三角形，則SAABO=SAAOE，SABDC

=SACDE，可得出SAADC=AA/IBC.

2

【解答】解：如圖，延長8。交AC于點E,

二ZBAD^ZEAD,NADB=ZADE,

在△4BD和△4￡：￡)中，

rZBAD=ZEAD

-AD=AD，

ZBDA=ZEDA

A/\ABD^^AED(ASA),

：.BD=DE,

S^ABD=S&ADE>S&BDC=SACDE，

S^ABD+S^BDC=S^ADE+S^CDE—S^DC^

,?SA74DC=--5AABC=—24=12(tn~)>

22

故答案為：12；

17.(3分)如圖，43=14,AC=6,AC±AB,BDVAB,垂足分別為A、3.點P從

點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿反向點8運動；點。從點8出發(fā)，以每秒〃個單位的

速度沿射線瓦>方向運動.點尸、點。同時出發(fā)，當以P、B、。為頂點的三角形與ACAP

全等時，。的值為2或U.

7—

【分析】根據(jù)題意，可以分兩種情況討論，第一種△C4PNAPBQ,第二種△C4PN4Q8P,

然后分別求出相應(yīng)的。的值即可.

【解答】解：當ACAP二AP3Q時，則AC=P8,AP=BQ,

???AC=6,AB=14,

:.PB=6,AP=AB-AP=\4-6=8f

BQ=8,

「.8+a=8+2,

解得a=2；

當尸時，則AC=8Q,AP=BP,.

?.?AC=6,AB=14,

/.BQ=6,AP=BP=7,

6+a=7+2，

解得”=2;

7

由上可得“的值是2或經(jīng)，

7

故答案為：2或口.

7

18.（3分）如圖，在四邊形ABC。中，ZBAD=\30°,NB=ZD=90。，點E,F分別是

線段3C,DC上的動點.當AAER的周長最小時，則N￡A尸的度數(shù)為_80。_.

【分析】據(jù)要使A4EF的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出

A關(guān)于8C和8的對稱點4',A",即可得出N/VTE+NA”=NH4A=50°,進而得出

ZAEF+NAFE=2(NAAE+NA"),即可得出答案.

【解答】解：作A關(guān)于3c和CO的對稱點4,A!',連接AA”,交BC于E,交CD于F,

則AA”即為AAEE的周長最小值.作八4延長線47,

-.?ZZMB=130°,

:.ZHAA,=50°,

ZAAE+ZA"=ZHAA:=50°,

-.?ZE^A=ZEAA!,ZFAD-ZA',

ZEAA+ZA"AF=50°,

.-.ZE4F=130°-50o=80°,

故答案為：80°.

A"

三.解答題（本大題共96分）：

19.（6分）某地有兩所大學和兩條相交的公路，如圖所示（點〃，N表示大學，OA,OB

表示公路）現(xiàn)計劃在NAO3的內(nèi)部修建一座物資倉庫到兩所大學的距離相等，到兩條公路

的距離也相等.請你用尺規(guī)確定倉庫所在的位置.

【分析】作NAO8的角平分線OC，連接MN作線段的垂直平分線￡F,EF交OC于

點尸，點尸即為所求.

【解答】解：如圖，點P即為所求.

20.(8分)如圖，AABC的頂點力、B、C都在小正方形的頂點上，利用網(wǎng)格線按下列要

求畫圖.

(1)畫△A4G，使它與AABC關(guān)于直線/成軸對稱;

(2)在直線/上找一點P,使點P到點A、3的距離之和最短;

(3)在直線/上找一點。，使點Q到邊AC、3C的距離相等.

【分析】(1)分別作出A,B,。的對應(yīng)點A，4，q即可.

(2)連接48交直線/于點P,點P即為所求作.

(3)NACB的角平分線與直線/的交點。即為所求作.

【解答】解：(1)如圖，△AAG即為所求作.

(2)如圖，點尸即為所求作.

（3）如圖，點Q即為所求作.

21.（8分）如圖，已知AB=AC,AD=AE,Z1=N2,求證：BD=CE.

【分析】先由N1=N2得到NSWuNCAE,然后根據(jù)“SAS”可判斷三△C4E,再

根據(jù)全等的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：,」N1=N2,

.-.Z1+ZCAD=Z2+ACAD,

:.ZBAD=ZCAE,

在ASM）和AC4E中

AB=AC

<NBAD=NCAE,

AD=AE

:.ABAD=ACAE（SAS）,

：.BD=CE.

22.（10分）如圖，AD,即相交于點O,AB!IDF,AB=DF,點E與點C在BF上,

S.BE=CF.

（1）求證：MBC=A￡>FE；

（2）求證：點O為防的中點.

【分析】（1）由“SAS”可證AABC=△￡>￡￡；

（2）由“A4S”可證A4CO三ADEO,可得EO=CO,可得結(jié)論.

【解答】證明：（1）-.-AB//DF,

/.ZB=ZF,

?.?BE=CF,

BC=EF,

在AA8C和AD在中，

AB=DF

<NB=NF,

BC=EF

「.AABCMAD匹￡(SAS)；

(2)三NDFE,

AC=DE,ZACB=/DEF,

在AACO和A￡陀O中，

NAC8=NDEF

<ZAOC=/DOE,

AC=DE

:.\ACO^\DEO{AAS),

/.EO=CO,

???點o為防的中點.

23.(10分)如圖，。石_LA3于E,。產(chǎn)_L4c于尸，若BD=CD,BE=CF.

(1)求證：AD平分NBAC.

(2)寫出AB+AC與AE之間的等量關(guān)系，并說明理由.

【分析】(1)根據(jù)相“HL”定理得出ABDE=bCDF,故可得出DE=DF,所以AD平分ABACx

(2)由(1)中MDE^ACDE可知BE=CF,AD平分NA4C,故可得出AAE。二AAm,

所以AE=AF,故AB+AC=AE—3E+AF+CF=AE+AE=2AE.

【解答】證明：(1)?.?r>￡_LAB于石，。尸_LAC于/，

/.ZE，=ZDFC=90°,

.?.MDE與ACDE均為直角三角形,

???在RtABDE與RlACDF中《一,

[BE=CF

..RtABDE=RlACDF,

:.DE=DF,

.?.4)平分NBAC；

(2)AB+AC=2AE.

理由：?.?BE=CF,AD平分NE4C,

：.ZEAD=ZCAD,

???ZE=ZAFD=90。，

:.ZADE=ZADF,

在AAED與A4尸□中，

ZEAD=ZCAD

,:<AD=AD9

ZADE=ZADF

/.AAED=AAFD,

:.AE=AF,

.\AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE=2AE.

24.(10分)如圖，已知RtAABCwRtAADE,ZABC=ZADE=90°,BC與。E相交于點F,

連接AF.

(1)求證：DF=BF；

(2)連接CE,求證直線轉(zhuǎn)是線段CK的垂直平分線.

【分析】(1)依據(jù)RtAABC三RtAADE,可得再根據(jù)NABC=NA￡>E=90°,AF^AF,

即可得至ljRtAADF=RtAABF(HL),進而得出DF=BF；

(2)根據(jù)RtAABC三RtAADE,即可得到AC=AE,FC=FE,即可得到點力和點E在CE

的中垂線上，進而得出AF是CE的中垂線.

【解答】證明：（1）-.-RtAABC^RtAADE,

:,AB=AD,

在RtAADF與RtAABF中,

JA8=AO

\AF=AFf

RtAADF二RtAABF(HL),

：,DF=BF；

(2)連接CE,vRtAABC=RtAADE,

:.BC=DE,AC=AE,

???DF=BF,

:.FC=FE,

.?.點A和點F在CE的中垂線上，

「.AF是CE的中垂線.

25.（10分）如圖，已知點C是線段A8上一點，NDCE=NA=NB,CD=CE.猜想A8、

AD.BE之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

【分析】證明△ACOg/XBEC(AAS),得AO=8C,AC=BE,即可得出結(jié)論.

【解答】解：AB=AD+BE,理由如下：

9：ZDCE=ZA,

：.ZD+ZACD=ZACD-^ZBCE,

；?/D=NBCE,

在△ACO和△BEC中,

<ZA=ZB

<ZD=ZBCE>

CD=EC

A/\ACD^/\BEC(A45),

：.AD=BC,AC=BE,

：.AC+BC=AD+BE,

即AB=AD+BE.

26.(10分)如圖，AABC和AEB￡)中，ZABC=ZDBE=90°,AB=CB,BE=BD,連接

AE,CD,AE與8交于點M,AE與BC交于點、N.

(1)求證：AE=CD；

【分析】(1)欲證明AE=CD,只要證明=

(2)由AABE三似力。，推出NBAE=ZBC￡>,由小MC=l耶-ZBCD-/CNM,

ZABC=180°-ZBAE-ZANB,又NCNM=AANB,ZABC=90°,可得Z/WC=90°.

【解答】證明：(1)■：ZABC=ADBE,

ZABC+NCBE=ZDBE+NCBE,

即ZABE=NCBD,

在AABE和△C8D中，

AB=CB

"ZABE=NCBD,

BE=BD

:.^ABE^\CBD{SAS),

AE=CD.

(2)?.△ABE=ACBD,

:"BAE=/BCD,

-.?ZNMC=\SO°-ZBCD-ZCNM,ZABC=\S00-ZBAE-ZANB,

又NCNM=ZANB,

■.■ZABC=90°,

.-.ZNMC=90°,

:.AEA.CD.

27.（12分）在七年級下冊“證明”的一章的學習中，我們曾做過如下的實驗：

畫NAOB=90。，并畫NAOB的平分線OC.把三角尺的直角頂點落在OC的任意一點P上，

使三角尺的兩條直角邊分別與04、08相交于點E、F.

（1）若PEJ_Q4,PFJ_OB（如圖①），PE與PF相等嗎？請說明理由；

（2）把三角尺繞點。旋轉(zhuǎn)（如圖②），PE與PF相等嗎？請說明理由；

（3）探究：畫乙408=50。，并畫N4Q8的平分線OC,在OC上任取一點P,作

ZEPF=130°.NEPF的兩邊分別與。4、08相交于E、F兩點（如圖③），PE與P尸相

等嗎？請說明理由.

【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)可證明PE=PF；

（2）PE=PF,分兩種情況，當PE_L04時，證明=小'O,可得PE=PF；當PE

與。4不垂直時，作尸/0_1_。4于點M,PNLOB于■點、N,先證明APQM三APQV得

PM=PN,再證明APMEMAPNF,可得PE=PF；

（3）在OF上取一點G,使OG=OE,連接PG,先證明APOG=APOE,可得NOGP=NOEP,

PG=PE,再由同角的補角相等證明NPGF=NPFG,則PG=PF,得PE=PF.

【解答】解：（1）?.?OC平分/4。3,PEVOA,PF1OB,

:.PE=PF；

（2）PE=PF,理由如下：

當PE_L04時，如圖①，

???NAO8=90。，OC平分NAO8,

ZPOE=ZPOF=45°f

???ZPEO=NEPF=NEOF=90。,且“石0+/￡/*+40/+//^0=360。，

:,ZPFO=90°，

，ZPEO=ZPFO,

,；OP=OP,

:.^EO^\PFO{AAS),

:.PE=PF;

當PE與OA不垂直時，如圖②，作尸M_LOA于點M,PN工OB于點、N,

-.?AOMP=ZONP=90°,/POM=4PON=45°,OP=OP,

\POM=APON(AAS),

:.PM=PN,

???4OMP=4ONP=ZMON=師，且4OMP+4ONP+ZMON+ZMPN=30f,

:.ZMPN=90°,

VZEPF=9O°,

ZMPE=ZNPF=900-ZEPN,

?.?/PME=4PNF=，)。,

:ZME="NF(ASA),

:.PE=PF,

綜上所述，PE=PF.

(3)PE=PF,理由如下:

如圖③，在OF上取一點G,使OG=OE,連接尸G,

③

???oc平分NAO8,