2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（含解析）

2022.2023學(xué)年湖北省襄陽(yáng)市高二9月聯(lián)考試卷

題號(hào)一二三四總分

得分

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一

項(xiàng))

1.已知向量;=(123),則;+2；=()

A.(-1,2,5)B.(-1,4,5)C.(1,2,5)D.(1,4,5)

2.已知點(diǎn)P(0,l,0),Q(—2,0,1),則直線PQ的一個(gè)方向向量可以為()

A.(-2-1-1)B.(1-2,1)C.(4,2-2)D.(4-2,2)

3.設(shè):，都是非零空間向量，則下列等式不一定正確的是()

(一)

Rabcacbc

C，?；)「=(；?)—

jabcbea

D.，+＞，+)=門2+(：+)-+：「

abacabcabc

4.已知空間中三點(diǎn)4(1,0,0),B(2,1,-1),C(0,-1,2),則點(diǎn)C到直線SB的距離為.()

A也B在C-D坦

c.3D-2-32

5.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是()

七，+”7"+5”+3T

A.be9abc

7~+5~+3T

abc

2+―++6-+2-+4~

abfabc9abc

2——~+=6-+4一+2~

D.abfabe9abc

6.如圖，在平行六面體43。。一力道1。1%中，E,F分別

在棱BBi和。上，且=記

t—Y_*-L7-*.1-1-,BE

EFAByADAA^若％+'+Z="則兩=()

7.空間直角坐標(biāo)系。一xyz中，有四個(gè)點(diǎn)，7(1,0,0),7(0,1,0),C(0,0,l),0(3,4,5),

則。到平面ABC的距離為()

A.3書

8.如圖，在正四棱柱ABCD-ZIBICI%中，4B=4,

是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱］上，且B

441=6,FBigEBBE~3BB'

nr"

若過點(diǎn)4E,F的平面與直線交于點(diǎn)G,則券=()

UU?

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.在空間直角坐標(biāo)系。孫z中，已知點(diǎn)4(—4,3,-6),則()

A.仍在x軸上的投影向量的坐標(biāo)為(一4,0,0)

B.匕在y軸上的投影向量的坐標(biāo)為(0,3,0)

C.1在2軸上的投影向量的坐標(biāo)為(0,0,6)

D,點(diǎn)4在坐標(biāo)平面。xy內(nèi)的射影的坐標(biāo)為(-4,3,0)

10.在《九章算術(shù)》中，四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐被稱為鱉膈在鱉腌P-ABC

中，P4JL底面ABC,則()

?旗?北=。可能成立；；。可能成立

AB.c-c=

一定成立.布.麗=可能成立

C.pA\=0D0

11.在空間直角坐標(biāo)系。盯z中，1(-1,0,0),2),C(0,0-2),貝女)

A=3

兒OCAB

B.點(diǎn)B到平面40C的距離是2

C.異面直線OC與4B所成角的余弦值為《

4

2

D.。8與平面40C所成角的正弦值為《

12.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-AiBiROi中，點(diǎn)段尸分別在

棱D%BBi上，且EF1&E.若AB=2,4D=1,AA1=3,

則的值可能為（）

A.

B.2

C.

D.

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.若向量加=（出2加5,3）,則NB4C=

14.在空間直角坐標(biāo)系。孫z中，2（1,3,m）,B（0,n,4）,C（—1,2,3）,若四邊形OZBC為

平行四邊形，則m+n=

15.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在棱長(zhǎng)為1的正方體48。。一48也1%的對(duì)角線上，記萬全=2.當(dāng)

乙4PC為銳角時(shí)，油勺取值范圍是.

16.正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立

體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面

體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界

上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、

正八面體、正十二面體、正二十面體.已知一個(gè)正八

面體4BCDEF的棱長(zhǎng)都是2（如圖），P,Q分別為棱

AB,AD的中點(diǎn)，則］￡=.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

如圖，在底面為矩形的四棱錐P-ABCC中，PEJ.底

面4BCC,E為棱AD上一點(diǎn)，且4E=2,

AB=DE=PE=3.以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，E0的方向?yàn)閥軸

的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

（1）寫出B,C,D,P四點(diǎn)的坐標(biāo);

【引"PC'BD

18.（本小題12.0分）

如圖，在四棱柱48。。-4/1的久中，四邊形

4BCC是正方形，44i=6,AB=4,設(shè)J=；,

->TT_-?

CB~b'CC、c-

（1）若CgJ■底面4BCD,試用］:,;表示出空間

的一個(gè)單位正交基底;（無需寫出過程）

（2）若。是名。的中點(diǎn)，且4c1CB=乙。仔。=%

求線段。。的長(zhǎng).

19.（本小題12.0分）

在棱長(zhǎng)為2的正四面體/BCD中，B；=M（?

->-?->TTTTTT->

（1）設(shè)力口―"力“一"力。一C用/〃c表示CD'

⑵若獷「，且4MCN=一“求，

20.體小題12.0分)

如圖，在正方體中，E,F分別為棱2B,

CD上一點(diǎn)，且45=。F=)3=1,點(diǎn)6在棱441上.

(1)試問嚏,和是否為定值?說明你的理由.

(2)若PG與平面QOE所成角的正弦值為誓,求G到底

面/BCD的距離.

21.(本小題12.0分)

如圖1,已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，D,E,F分別是力B,AC,BC邊的中點(diǎn),

將AADE沿DE折起，使點(diǎn)4到達(dá)如圖2所示的點(diǎn)P的位置，M為DP邊的中點(diǎn).

(1)證明:PC〃平面MEF.

(2)若平面PDEJ.平面BCED,求平面MEF與平面PDE夾角的余弦值.

22.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面力BCD為菱形，

△DCB=60°,AB1PB,E為棱CD的中點(diǎn)，且

PE1AD.

(1)證明：PEJL底面4BCD.

(2)若4B=2,求二面角4-PB—C的余弦值的取值范

圍.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

直接利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求解即可.

【解答】

解:向量;=（123）,

則;+2；=（1,2,3）+2（-1,0,1）=（-1,2,5）

故選A.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查空間向量中直線的方向向量，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

（-

解：々=（一2一1」），則直線PQ的方向向量為”“=2；1,一〃1）（；1*0）.所以（7符合題意.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查空間向量加減法，數(shù)量積的運(yùn)算律，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：若;，；不共線，貝,；）［#（；.?,；，故c不一定正確.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查空間距離的求法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

先求出向量;B，叱，然后求出向量的夾角的正弦值，進(jìn)而根據(jù)d=l皿卜$也<頷，叱〉求

解即可.

【解答】

解：由題意，可得;

cos」--0---_亞

AB,---J3xJS~3，

\AB\\AC\vV

TT

V(ABAC)G[0,兀]'

.T1

sm<->=_

AB'AC3,

所以點(diǎn)c到直線4B的距離

d=|"|-sin<->_皿

_

ACAB'AC3'

故選A.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查空間向量共面的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：因?yàn)?(2；+；)+3(；+；+?=7；+5；+3；,所以2；+；,；+；+；,7；+5；+3快

面.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查空間向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：設(shè)^-=A,因?yàn)閊=^+"++^=T—r+"

2

科以BBiEBBAADDFBB1ABADDDt

=—A"+7^=—"+一+(^―A)一,

AAtABAD<44ABAD/AAt

111-1

所以％=—1,y=1,2=2—兀因?yàn)椋?丁+2=2—/1=4，所以2=不

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查利用向量法求點(diǎn)到平面的距離，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

求出平面2BC的法向量，利用向量法能求出。到平面4BC的距離.

【解答】

解：???空間直角坐標(biāo)系。-xyz中，有四個(gè)點(diǎn)，

4(100),8(0,1,0),C(0,0,l),D(3,4,5),

?，?=(2,4,5)"=(-1,1,0)-=(-1,0,1)

AD7AB'AC'

設(shè)平面ZBC的法向量;=Q,y,z),

—%+y=0

則上"T+Z=0,取;=3)，

InAC

???D到平面ABC的距離為：

11114

故選c.

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查線線平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以〃，，，勿t的方向分別為％,y,z軸建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系,

則4(4,0,0),E(4,4,4),F(2,4,6),1=(-2。2).設(shè)G=?。⑷,則j=(-4,0,a)

因?yàn)槠矫鍮CQ%//平面4DD/1，EFu平面BCCFi，所以EF〃平面

因?yàn)槠矫?EFD平面所以EF〃4G.(-2,0,2)=4(—4,0,a),解

得a=4,故而-=丁

UU]J

9.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題考查空間直角坐標(biāo)系及點(diǎn)的坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：辦在工軸上的投影向量的坐標(biāo)為(-4,0,0),袖在y軸上的投影向量的坐標(biāo)為(0,3,0),“

在z軸上的投影向量的坐標(biāo)為(0,0,-6),點(diǎn)Z在坐標(biāo)平面。xy內(nèi)的射影的坐標(biāo)為(-4,3,0).

10.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本題考查利用空間向量判斷線面位置關(guān)系，線面垂直的判定與性質(zhì)，屬于中檔題.

【解答】

解：因?yàn)镻4J■底面4BC,所以四,￡=°一定成立，C正確.

若NBAC=90°,則不是直角三角形，A錯(cuò)誤.

若乙4cB=90°,則NPCB=90°,8正確.

若4BC=90°,則4PBe=90°,。正確.

11.【答案】BD

【解析】

【分析】

本題考查空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題.

【解答】

解：因?yàn)轸?(2,2,_2),=(0,0-2),所以".冊(cè)=4,A錯(cuò)誤.

在空間直角坐標(biāo)系。盯z中，結(jié)合4與C兩點(diǎn)的坐標(biāo)可知y軸與平面AOC垂直，所以

?*.-?

項(xiàng)=(0,1,0)為平面zoc的一個(gè)法向量，則點(diǎn)B到平面AOC的距離是彳早=2,B正確.

OD

因?yàn)閏°s<知，”>=/2=*所以異面直線°C與AB所成角的余弦值為￥，C錯(cuò)誤.

設(shè)。B與平面40C所成的角為仇^=(12-2),則sin0=|cos<西^>|=|,〃正確.

12.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：以點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn)，qoi,Ci%,re所在直線分別為4,y,z軸建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系c「xyz,

則為(2,1,0).設(shè)E(2,0,m),F(0,l,n),0<m<3,0<n<3,

則；E=(°Tm),￡=Timft).

因?yàn)镋F141E,所以A/EF=°，即T+m(兀一m)=0,化簡(jiǎn)得mn=l+m2.

當(dāng)m=0時(shí)，顯然不符合題意.

故n=[+mN2,當(dāng)且僅當(dāng)m=l時(shí)，等號(hào)成立.故/F的最小值為2.

13.【答案】90。（或今

【解析】

【分析】

本題考查空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解:因?yàn)樾『?3（館2+電5）-3=3但10-3=0,所以涓1,故加C=90°.

14.【答案】6

【解析】

【分析】

本題考查空間向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：”1=（13m），方=（1m一21），因?yàn)樗倪呅?。ABC為平行四邊形，所以附=重，所

以n-2=3,m=l,則m+n=6.

15.【答案】嗚）

【解析】

【分析】

本題考查了用空間向量求直線間的夾角，一元二次不等式的解法，屬于中檔題.

N4PC為銳角等價(jià)于COSNAPOO,等價(jià)于;1,也＞°，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可.

【解答】

解：由題設(shè)可知，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

則有4（1,0,0）,8（1,1,0）,C（0,l,0）,￡>i（0,0,l）

由D/（L1T）,得?。∕T）

所以P（；U,-；l+l）

所以"=（1一4，一九"D,

=(—A,1—A,A—1)

PC'

所以乙4PC為銳角等價(jià)于cos乙4PC>0,

則等價(jià)于％

即(1-2)(-；I)+(-2)(1)+(A-l)2=(A-1)(3A-1)>0,

1

vO<A<l,0<A<3

因此，兀的取值范圍是［0方,

故答案為嗚).

16.【答案】1

【解析】

【分析】

本題考查空間向量數(shù)量積的應(yīng)用，屬于較難題.一丫

由正八面體的結(jié)構(gòu)特征知3尸440,結(jié)合向量的線性運(yùn)算可得”=：”-”，

“="+”+—=-：”一，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算，注意4B14D,

FQFBBAAQ^ADAB

Vf,->=60。V-「>=60。

ABAC9ACAD,

【解答】

解：因?yàn)?=;-"，.=.+—+-=-；-,

CPZABACFQFBBAAQlADAB

所以+：,-+r.r=1

CPFQ￡ABAC'ADAB^ABADZACADACAB

17.【答案】解:(1)依題意可得8(3,—2,0),C(3,3,0),D(0,3,0),P(0,0,3).

(2)因?yàn)榧?(-350),；C=(33—3),

rehlcos<-一、一PC'BD_-9+15+0一再頁(yè)

所以PC，BD一國(guó)T3題肉一百

【解析】本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：⑴空間的一個(gè)單位正交基底為向蒜？

[注]本題第(1)問答案不唯一，所有答案可表示為｛±±±±春(這3個(gè)向量可以交換

順序).

⑵-=-+-=-

BtDB[CCDegCBCDabc-

由題意知匚1=4,|；|=4,|；|=6,；?；=(),

tt->-?7T71

==4x6cosy=12=4x6cos^=12.

acbe33

|.I2=C---")2="2+-^-1：-"+2"?"=68

B]Dabcabcabacbc'

【解析】本題考查空間基底的表示，空間向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)因?yàn)間M=；c，所以M是棱BC的中點(diǎn)，

所以48+.-24M,

則4c-24MAB~2bar

的-=一一一=__(2__一)=一一2?

雙CDADACcbaabc'

(2)因?yàn)楹D3，所以CNINAC~\DAC

在棱長(zhǎng)為2的正四面體4BCD中，ABAC-ABAD~ACAD~

所以-?T=K+J-(A"-J=|(2A-22+22-2)=2A-3=

AMCN/ABACADAC23

解得；

o

【解析】本題考查空間向量的線性運(yùn)算、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力,

屬于中檔題.

20.【答案】解：⑴以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，裝的方向?yàn)閤軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,

如圖所示,則E(3,l,0),8(3,3,0),F(0,2,0),

設(shè)G(3,0,m),0<m<3,

"=(0-2,0),-=(3,—2,m),

BEFG

則跖.心=4,所以刖.心為定值.

(2)由(1)知。(0,0,0),Q(0,3,3),

“=⑶1,0)二=(0,3,3)

DE'DC】'

設(shè)平面GDE的法向量為;=(x，y，z),

則;q=;￡=°,即｛守質(zhì)玄贄,

令X=l,得；=(1，_3,3)

閔葉|COS<"|9+3叫6師

口比FG?一睨一標(biāo)而三—F'

整理得瘍_427n+41=0,

解得m=1或m=41(舍去)，

故G到底面4BCD的距離為1.

【解析】本題考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算和點(diǎn)到面的距離，屬于中檔題.

21.【答案】(1)證明：連接DF,DC,設(shè)。。與EF交于點(diǎn)Q,連接MQ.

因?yàn)?。，E,F分別是4B,AC,BC邊的中點(diǎn)，

所以DE〃FC且DE=FC,

則四邊形DFCE為平行四邊形，所以Q為DC的中點(diǎn)，

因?yàn)镸為DP的中點(diǎn)，所以MQ〃PC,

又因?yàn)镻C。平面MEF,MQu平面MEF,所以PC〃平面MEF.

（2）解：取CE的中點(diǎn)0,連接。尸,0F,則P01DE,

因?yàn)槠矫鍼DEJ_平面BCEC,平面PDEn平面BCED=CE,

所以P01平面BCED,P0,0D,。尸兩兩垂直.

如圖所示，以。為原點(diǎn)，以公的方向?yàn)閤軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。孫z,

R

則。(1,0,0),E(-l,0,0),P(0,0,病，F(xiàn)(0,亞0),

設(shè)平面MEF的法向量為;=（x，y，z）,則:訃-=0

nEM'

X+y3y=0,

3后八

即2X+yZ=0,

令y=l,得;=(一啊1,3).

易知：=（0兒0）為平面PQE的一個(gè)法向量,

rhICOS<T

田IMmI"-13,

得平面MEF與平面PDE夾角的余弦值為唱.

【解析】本題考查線面平行的判定，空間面面夾角的向量求法，考查空間想象能力，屬

于中檔題.

22.【答案】（1）證明：如圖，連接BE,BD.

因?yàn)樗倪呅?BCD為菱形，乙DCB=69°,

所以△BCD為等邊三角形，則BE1DC.

因?yàn)?B//CD,ABLPB9所以CD1PB.

因?yàn)镻BnBE=B,所以DC1平面PEB,

又PEu平面PEB,所以DC1PE,

又DCn4D=D,所以PEI底面4BCD.

(2)解：設(shè)PE=t(t>0),以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EB,EC,EP所在的直線為x,y,z

軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P(O,O,t),4(&—2,0),B(我0,0),C(0,l,0),

；尸(°2°),>3),死=(-同，。).

=°，后

：=(物孫則，野=。,即「吟二獷°'

設(shè)平面P4B的法向量為

(mAB

_3

令X=圾貝!T=(我0,￡).

m

設(shè)平面PBC的法向量為;=(￡，y'，z'),

3

令￡=6,則;=（何3Q.

因?yàn)榘譭漏)，所以8s<；,；>=Ji-4^e(1,i).

由圖可知二面角4—PB—C為鈍角,

故二面角A—PB—C的余弦值的取值范圍為

【解析】本題考查線面垂直的判定，二面角的向量求法，考查空間想象能力與邏輯推理

能力，屬于難題.

2022-2023學(xué)年湖北省高三上學(xué)期9月聯(lián)考試卷

題號(hào)一二三四總分

得分

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一

項(xiàng))

23.已知集合”={0,1,2}4={%[0<%<2},則MUN=()

A.{0,1,2}B.{1}C.(0,2)D.[0,2]

24.已知角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)「(1,_3,貝用可以為()

A57rD2n0,5/r卜UTT

A?—D,-C?丁D?u

oJoo

25.已知4B為兩個(gè)隨機(jī)事件，P(Z),P(B)>0,則“4B相互獨(dú)立”是

“P(Z|B)=P(HE)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

26.已知函數(shù)f(x)=In(ax+2)的導(dǎo)函數(shù)是f'(x),且/⑵=一方則實(shí)數(shù)a的值為

3

A.:B.[C.3D.F

27.已知函數(shù)/(%)=2sin(3%+(p)(a)>0,0<

a

的部分圖象如圖，f(4)=/(上)=一]，則

85弓(久2—叼)]=()

￡

B.

4

C-I

D*

28.已知(瓶￥+1)"(716V,小67?)的展開式只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，設(shè)

2n

(mx+1)"=a。+arx+a2xH----Fanx,若％=8,則a2+a3+???+a,,=()

A.63B.64C.247D.255

29.給出下列命題，其中真命題為()

A.3aeR,ln(a2+1)<0

B.Va>2,a2>2。；

C.Va,0ER,sin(a-/?)=sina-sin/?

D.a>b是2a>2°的充要條件

30.已知函數(shù)/㈤=axlnx-x2+(3-a)x+l(a6R),若/'(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)”i，

x2(x1<x2),當(dāng)當(dāng)取得最小值時(shí)，實(shí)數(shù)a的值為()

xi

A.0B.1C.2D.3

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

31.某地為響應(yīng)“扶貧必扶智，扶智就扶知識(shí)、扶技術(shù)、扶方法”的號(hào)召，建立農(nóng)

業(yè)科技圖書館，供農(nóng)民免費(fèi)借閱，集了近5年的借閱數(shù)據(jù)如下表：

年份20162017201820192020

年份代碼X12345

年借閱量y（萬冊(cè)

4.95.15.55.75.8

）

根據(jù)上表，可得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為;=024X+；,則（）

A.a=4.68

B.借閱量4.9,5.1,5.5,5.7,5.8的上四分位數(shù)為5.7

C.y與％的線性相關(guān)系數(shù)r>0

D.2021年的借閱量一定不少于6.12萬冊(cè)

32.下列結(jié)論正確的有（）

A.若1皿2>1曲,則2悶>2.

B.若鬟>（，則2。<2。

C.若b>a>e,則或<邛

Qb

D.若0v2QVb<3—Q。則sina<sin^

33.已知函數(shù)/（%）=2sin（g+》，若將函數(shù)f。）的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到

原來的;，再向右平移看個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）的圖象，則（）

A.函數(shù)g(%)=2sin(2x—

B.函數(shù)f。)的周期為47r

C.函數(shù)g(x)在區(qū)間［兀4為7r上單調(diào)遞增

D.函數(shù)f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸是直線x=—g

34.已知奇函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且f(l—x)-/(1+x)+2x=0恒

成立，若f(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，貝立)

A.f(x)在［1,2］上單調(diào)遞減B.f(0)=0

C.f(2022)=2022D.1(2023)=1

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

35.設(shè)a>0,若a°=(9a)6。，則1%(3。)=.

36.某商場(chǎng)安排甲乙兩名員工，在門口為沒隨身攜帶口罩的顧客發(fā)放口罩.昨天,

兩人共領(lǐng)到編號(hào)1?10的10個(gè)口罩，每人5個(gè)，放在盒子里，自上而下依次發(fā)放,

且甲乙二人發(fā)放是隨機(jī)的.若10個(gè)口罩恰好發(fā)完，則不同的發(fā)放順序有種.

37.若函數(shù)/(X)=Inx和g(x)=/+ax(aeR)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P,則函數(shù)

y=g(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是

38.如圖，在扇形40B中，4408=90°,04=1,點(diǎn)C

為￡上的動(dòng)點(diǎn)且不與點(diǎn)4B重合，。。18。于。，

0E14C于點(diǎn)E,則四邊形。DCE面積的最大值

為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

39.(本小題10.0分)

在△ABC中，角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a=4,c=2,>4-C=y.

(1)求tanC的值；

(2)求△ABC的面積.

40.(本小題12.0分)

目前，教師職業(yè)越來越受青睞，考取教師資格證成為不少人的就業(yè)規(guī)劃之一.當(dāng)前,

中小學(xué)教師資格考試分筆試和面試兩部分.已知某市2021年共有10000名考生參加

「中小學(xué)教師資格考試的筆試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100人的筆試成績(jī)(滿分100分)作為

樣本，整理得到如下頻數(shù)分布表：

筆試成績(jī)

[40,50)[50.60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

X

人數(shù)51025302010

由頻數(shù)分布表可認(rèn)為該市全體考生的筆試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(〃Q2),其中，

〃近似為100名樣本考生筆試成績(jī)的平均值(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替

).

(1)若12,據(jù)此估計(jì)該市全體考生中筆試成績(jī)高于85的人數(shù)(結(jié)果四舍五入精確

到個(gè)位)；

(2)按照比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從筆試成績(jī)?yōu)椋?0,90)和［90,100］的考生中

隨機(jī)抽取了6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人，記成績(jī)不低于90分的人數(shù)為隨機(jī)變量

6求6的分布列和均值.

參考數(shù)據(jù):若XSN(“Q2),則+(7)x0.6827,

P(〃-2。<X<4-2。)?0.9545,

P(〃—3o4XW〃+3。)《0.9973.

41.(本小題12.0分)

已知數(shù)列｛4｝中,%=2,44+］=eN*).

(1)求證：數(shù)列｛“+3｝為等比數(shù)列；

915

(2)設(shè)九=d+尋記數(shù)列例｝的前n項(xiàng)和為S,”求使得3ez的正整數(shù)九的最小值.

42.(本小題12.0分)

在斜三棱柱4BC-4IBICI中，△ABC為等腰直角三角形，4B=AC,側(cè)面88也傳為

菱形，且4BIBC=60°,點(diǎn)E為棱為4的中點(diǎn)，EBX=EC,平面片"J.平面防止。

(1)證明：平面B/qci平面4BC;

(2)求平面4B1C與平面當(dāng)CE的夾角的余弦值.

43.(本小題12.0分)

設(shè)橢圓廠:/+%=l(a>b>0),七,七是橢圓廠的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)4(1,斗在橢圓「上,

點(diǎn)P(4,0)在橢圓下外，且叫=4_a

(1)求橢圓r的方程；

(2)若8(1,—導(dǎo)，點(diǎn)C為橢圓「上橫坐標(biāo)大于1的一點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線2與橢圓有且僅有

一個(gè)交點(diǎn)，并與直線P4PB交于M,N兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，記AOMN,APMN的

面積分別為Si，52,求SRSR+S；的最小值.

44.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=xln(x+1)+x-ex+1.

(1)討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

XnXn

-y41n(3+1)-

(2)記f(x)較大的零點(diǎn)為出，求證:e2+1<——-——<2e2-

XQ

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查集合運(yùn)算的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是知道并集的計(jì)算方法，屬于基礎(chǔ)題.

直接根據(jù)集合的并集運(yùn)算即可求解.

【解答】

解:???集合M={0,1,2},N={x\0<x<2},

MUN={x|0<x<2}=[0,2],

故選D

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了任意角的三角函數(shù)的定義.

【解答】

解：因?yàn)辄c(diǎn)pg"）在角。的終邊上，

所以％y=~l，。的終邊在第四象限，

則tan。=-=一§,

x3

n,,117T

則。

=Mo+2“7r,keZ.

故選o.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系與充要條件及其判斷，屬于基礎(chǔ)題。

【解答】

解：充分性證明：若4B相互獨(dú)立，則PQ4B)=P(4)P(B),

P⑷B)=。(靄⑻=P(A)=1-P(4)；P(同砂==P(3)=1-PG4)，故充分

性成立；

必要性證明：若P(才|B)=尸陋舊)，化簡(jiǎn)得P(4B)=P(4)P(B),故必要性也成立

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可.

【解答】

解：由函數(shù)/'(x)=ln(ax+2),可得f'(x)=菽不，且f'(2)=-|,

則實(shí)數(shù)a的值為-*

故選D

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查根據(jù)三角函數(shù)的部分圖像求解析式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì).

【解答】

解:由圖可知，/(O)=2sin<p=1,則sin<p=g,

Benn

乂0<cpv工,,**(p~~%,

由圖可知/'(J)=2sin+&)=0，所以^3+4=兀，所以3=§,

所以f(x)=2sin4+》，

因?yàn)閒g)=f(上)=一|，所以sin(?+》=sin(寸+看)=

令號(hào)+'=一5解得：x=~2'

???叼,叼關(guān)于x=-2對(duì)稱，則％1+*2=-4,貝產(chǎn)2=-4-々,

N.JI2n7T27rHnn3

則COS匕(久2_/)]=COS(一可一/1)=COSGy+/0=-SOT(g+/Q=“

6.【答案】c

【解析】

【分析】

本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用考查賦值法，屬于基礎(chǔ)題.

由題意得，n=8,ax=Cgm=8,m=l,再令x=l,令x=0,即可得到結(jié)果.

【解答】

解：由題意得，n=8,ax=Cgm=8,m=1,

Q2Q

???(x+1)=a04-axx+a2xH------FaQx,

令x=1,得a°+%+a2++…+。8=2?=256,

令x=0,得旬=1,■?-a2+a3+-+an=247.

故選C.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查全稱量詞命題和存在量詞命題的真假判斷，考查充要條件的判斷，屬于基

礎(chǔ)題.

利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷4利用當(dāng)a=4時(shí)不等式成立判斷B：利用當(dāng)a=*/?=[時(shí)，

不等式不成立判斷C；利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷D.

【解答】

解：對(duì)于選項(xiàng)4,ln(a2+l)21nl=0,所以該命題是假命題；

對(duì)于選項(xiàng)8,當(dāng)a=4時(shí)，。2=4?=16=2。=2：所以該命題是假命題；

對(duì)于選項(xiàng)C.當(dāng)a=時(shí)，左邊=：,右邊J—：,所以該命題是假命題；

對(duì)于選項(xiàng)D.a>b時(shí)2a>2b,2a>2b時(shí)a>b,

所以a>b是2a>2°的充要條件，所以該命題是真命題.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值與最值.

【解答】

解：f'(x)=alnx-2x+3,

由題意可知x“2是方程alnx—2x+3=0的兩根，所以

alnX]—2Xi+3=a\nx2-2x2+3=0.

產(chǎn)2\

2勺一32X2~32僅1一刀2)2打仁一1)

則Q=

X1

1nxi-\nx2一]

令無2>>0/=城則t>1'

——12xj—3

所以^---------

即“卡-2xgX]=3=九(力

X1

因?yàn)閠>l,所以九(t)在(1,+8)上單調(diào)遞增,

所以t取最小值時(shí)，h(t)取最小值,

,2x-3.31nr-(2x-3)

令尸(乃=而菽，0<X<1'/(叫=一2四1nx)2、

人，

令3(%)=3\nx-2x+3,。(x)=-3-2,

所以s(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，又3(1)=1>0,且XT0，S(0)T-8,

所以它乃=0在。1)內(nèi)存在唯一的根工o，則火和)=0.

Bp31nxo-2xo+3=O,即等！=3,

所以F(x)在(0,與)單調(diào)遞減，在g,l)上單調(diào)遞增，

所以尸COmin=於0)，所以九伯)=FQ1)，

所以九(t)取最小值，即尸(左1)取最小值時(shí)，a=*=3.

9.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本題主要考查回歸直線方程和相關(guān)系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意，對(duì)各選項(xiàng)逐項(xiàng)判斷即可得解.

【解答】

解：把五=3,9=5.4代入;=°24x+；,可得;=今68,所以月正確；

由百分位數(shù)的定義知，4.9,5.1,5.5,5.7,5.8的上四分位數(shù)為5.7,所以B正確；

因?yàn)?=°.24>0,所以x與y正相關(guān)，所以r>0,所以C正確；

把x=6代入;=024x+4.68得;=6.12,然而6.12萬冊(cè)是預(yù)測(cè)值，不是精確值，所以。

錯(cuò)誤.

10.【答案】AD

【解析】

【分析】

本題考查了不等式性質(zhì)，涉及指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：由Ina?>InM可得a?>即同>|b|,而y=2、是增函數(shù)，所以2間>2臼1成立,

故A正確；

由號(hào)〉可得自>亦故網(wǎng)>1可，所以2。<2壞成立,如a=l,b=-2,故8錯(cuò)

誤；

43

當(dāng)b=4,a=3時(shí)，滿足b>a>e,3=81>4=64,故d</不成立，故C錯(cuò)誤；

由0<2a<b<3-&2可知0<2a<匕<3,所以0<a<g<|<g,

而、=sinx在(0,今上單調(diào)遞增，所以sina<sing,故。正確.

11.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換，三角函數(shù)的周期性，單調(diào)性和對(duì)稱性.

【解答】

解：若將/(x)=2sin《+》的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的;，

得到函數(shù)=2sin(2x+》，再向右平移看個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)

g(x)=2sin[2(x-^)+g=2sin(2x-》.故A正確，

2n

最小正周期為：T=-=4n,故8正確，

2

當(dāng)xe［謂］時(shí)，與《2工一?蟾，g(為為單調(diào)遞增函數(shù)，故C正確，

當(dāng)x=—§時(shí)，2sin(%—5)=—1彳一2,故。錯(cuò)誤.

12.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)中的單調(diào)性問題，屬于較難題.

舉反例，當(dāng)/。)=》時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞增，可判斷4；根據(jù)函數(shù)的奇偶性易得f(0)=0,

可判斷選項(xiàng)B；將條件f(l—乃一/(1+x)+2%=0轉(zhuǎn)化為/(%+2)+/(x)-2(x+1)=0,

賦值x=0,2,…，即可判斷選項(xiàng)C；因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，所以函數(shù)/(X)為偶函數(shù),

因此有：口(盼+/'(x+2)=2,賦值x=l,3即可判斷D.

【解答】

解：當(dāng)f(x)=x時(shí)，滿足題目中的條件，但人為=%在7?上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤.

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，所以八一幻=-/("),取x=0得f(0)=0,故選項(xiàng)B正確；

因?yàn)?1+x)+2x=0在/?上恒成立，

將/'(1一x)—/(I+x)+2x=0中的%換成x+1,可得：/(-X)—/(x+2)+2(x+1)=0.

所以有f(x+2)+/(x)-2(x+1)=0.

取x=0得：f(2)+f(0)—2=0,所以f(2)=2.

取x=2得：f(4)+f(2)—6=0,所以f(4)=4.

…，所以所2022)=2022,故選項(xiàng)C正確；

由f(l一%)一/(1+；0+2%=0可得：一「(1一x)—f'(l+x)+2=0,即

f(l-x)+f(l+x)=2.

取x=0得：1(1)=1.

將/'(1一乃+f(l+x)=2中的x換成x+1,可得f'(-x)+f\x+2)=2.

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，所以函數(shù)「(盼為偶函數(shù)，因此有：f'(x)+f'(x+2)=2.

取x=l得：f'(l)+1(3)=2,可得1(3)=1；

取x=3得：f'(3)+「(5)=2,可得「(5)=1；…，所以［(2023)=1,故選項(xiàng)。正確.

故選BCD.

13.【答案】￡7

【解析】

【分析】

本題考查了指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：正實(shí)數(shù)a滿足a。=(9a)6。，

則alogaa=6aloga(9a),

??I=6(loga9+1),

55

??.晦9=一彳???10gfl3=一運(yùn)

57

則loga(3a)=1+logfl3-1-五=五

故答案為：

14.【答案】252

【解析】

【分析】

本題考查了排列組合的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

先將10個(gè)口罩均勻分成兩組，然后分給甲乙兩個(gè)人，自上而下依次發(fā)放，故順序固定,

注意甲乙兩個(gè)的5個(gè)口罩不一樣，所以需要進(jìn)行排列。

【解答】

解;先將10個(gè)口罩均勻分成兩組，然后分給甲乙兩個(gè)人，自上而下依次發(fā)放，故順序固

定，

c5

故共有Wx4：=252種，

故答案為252.

15.【答案】x-y-1=0

【解析】

【分析】

解：〃%)=111%的導(dǎo)數(shù)為廣。)=：,

g(x)=x2+ax的導(dǎo)數(shù)為g'(x)=2x+a,

設(shè)P(*o，yo),貝(llnxo=君+ax0①，

f'Qo)=9'(”0),即7=2x0+a,化簡(jiǎn)得

xo0

1=2%o+axQ②，

聯(lián)立①②消a得，In/=l-%o，

令<p(x)=lnx+x-1,<pr(x)=-4-1>0

可得S(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又“(I)=0

???(p(x)=lnx+x—1在(0,+8)上有唯一零點(diǎn)1,

???方程I"。=IT滴唯一解，即與=1,

則=f(l)=o,a=-1.

故P(l,0),切線的斜率為1,切線的方程為y=x-l.

故答案為：x—y—1=0

【解答】

本題考查了切線方程的求法，屬于中檔題。

16.【答案】[

【解析】

【分析】

本題考查了三角恒等變換，屬于中檔題.

【解答】

解：因?yàn)?OB=90°,OA=1,OD1BC,OE1AC,

所以4￡>OE=5記4cOD=a,0<a<p

則四邊形。CCE的面積為

111Inn

■jCD-OD+qCE-OE=下inacosa+聲inQ—a)cos(廠a)

111n

=/nacosa+?]SinG-2a)

sin2a+cos2a

二4

J2n

=ysin(2a+Q,

當(dāng)2a=%即戊=、時(shí)，四邊形OCCE的面積取到最大值

17.【答案】解：(1)由正弦定理知騙=￡=2,

又A—C—等,所以2sinC=sinA=sin(C+各=—1sinC+ycosC,

所以|sinC=ycosC,所以tanC=y.

cosc-sinc1-tan2c11

(2)由tanC=七知cos2c=—