7.3正態(tài)分布（第3課時） 課件（共25張PPT）

高一數(shù)學(xué)（滬教版2020選修第二冊）

第7章

概率初步（續(xù)）

7.3正態(tài)分布（第3課時）學(xué)習(xí)目標1.通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機變量；2.通過具體實例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特點；3.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義；4.了解3σ原則,會求隨機變量在特殊區(qū)間內(nèi)的概率.３正態(tài)分布

現(xiàn)今的信息時代，各媒體都充斥著數(shù)據(jù)，因此正確地理解數(shù)據(jù)成為非常重要的事．正態(tài)分布已經(jīng)是生活中一個常用的詞了．例如，我們常提起學(xué)生的考試成績是不是正態(tài)分布，某個城市的家庭收入是不是正態(tài)分布，等等．那么，究竟什么是正態(tài)分布呢？平日所說的正態(tài)分布，大體上是指數(shù)據(jù)對稱地分布在某個中心值兩邊，且離中心值越遠，分布得越少

一包米的外包裝上標示的5000g，但實際上是有誤差的．假設(shè)包裝米的公司沒有故意偷工減料，計量員精確地檢測所有在售的該種米，把米包質(zhì)量的頻率分布直方圖畫出來，會是一個什么形狀呢？圖７-３-１中是一條峰值在５０００g左右的曲線，它具有一個單峰，粗略展示了一個正態(tài)分布的形狀．實際上，很多測量數(shù)據(jù)的分布都呈現(xiàn)出這樣的形狀．數(shù)學(xué)中的正態(tài)分布是指由下面的函數(shù)所表達的分布：其中有兩個參數(shù)：（１）μ是該分布的期望或均值；（２）σ２是該分布的方差，且總是假設(shè)σ＞０．這個函數(shù)的圖像如同鐘形，如圖７-３-２所示．該函數(shù)在數(shù)學(xué)上稱為正態(tài)密度函數(shù)，也稱為鐘形曲線．

為了理解“一個函數(shù)所表達的分布”，要說明兩點：第一，分布是指總數(shù)為１的量以某種方式分布在直線上；第二，該函數(shù)圖像與x軸所夾部分的面積等于１，但這個事實需要用到高等數(shù)學(xué)的知識才能證明

定義設(shè)X是一個取實數(shù)值的隨機變量．如果對任何給定的實數(shù)a與b（a＜b），x落在區(qū)間（a，b）上的概率p（a＜x＜b）等于三條直線：ｙ=０、ｘ＝ａ、ｘ＝ｂ與正態(tài)密度函數(shù)圖像ｙ＝所圍的區(qū)域面積（或者簡稱作此函數(shù)在該區(qū)間上的面積，如圖７-３-３所示），那么X服從正態(tài)分布（ｎｏｒｍａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ），或更準確地說，X服從參數(shù)為μ、σ２的正態(tài)分布，記為

當μ＝０、σ２＝１時，相應(yīng)的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記作X～N（0.1），其密度函數(shù)稱為標準正態(tài)分布的密度函數(shù)，簡記作Y＝φ（ｘ）．實際上，一般的正態(tài)分布的密度函數(shù)總是標準正態(tài)分布的密度函數(shù)的某種平移和伸縮變換，其形狀保持鐘形不變用Φ（ｘ）表示標準正態(tài)分布的密度函數(shù)y＝φ（ｘ）從－∞到ｘ的累計面積，如圖７-３-４所示，稱為標準正態(tài)分布函數(shù)．

這個函數(shù)沒有簡單的表達式，其函數(shù)值可通過近似計算得到．我們也可以通過某些型號的計算器來查它或者它的反函數(shù)的值，如

容易驗證y＝φ（ｘ）是一個偶函數(shù)，所以該函數(shù)在區(qū)間（－∞，－r）上的面積等于其在區(qū)間（r，＋∞）上的面積，如圖７-３-５所示．此外，由于y＝φ（r）與r軸所圍面積為１，因此y＝Φ（r）滿足

如果X～N（μ，σ２），那么將X平移再伸縮后將服從標準正態(tài)分布，即成立

這樣，正態(tài)分布X～N（μ，σ２）的密度函數(shù)的圖像是一條鐘形曲線，它關(guān)于直線x＝μ對稱，其最大值在x＝μ處達到．在x＝μ的左側(cè)，函數(shù)嚴格增，而在x＝μ的右側(cè)，函數(shù)嚴格減，從而它是一條單峰曲線．當區(qū)間（a，b）在X軸上平移時，顯然當μ處于該區(qū)間的中心時，概率p（a＜x＜b）即函數(shù)在區(qū)間（a，b）上的面積達到最大．因此，我們通常說正態(tài)分布集中在其期望μ的附近，即參數(shù)μ表示分布集中的位置．

另外一個參數(shù)σ描述的是分布的集中程度．從圖７-３-２中可以看出，密度函數(shù)的最大值在x＝μ處達到，其最大值為它與σ成反比．由于圖像與x軸之間的區(qū)域的總面積是一個固定值１，因此當σ變小時，最大值變大，鐘形變“高瘦”，分布向中心x＝μ處集中；反之，當σ變大時，最大值變小，鐘形變“矮胖”，分布向x＝μ的兩邊分散．

出于種種原因，在測量的過程中總有誤差存在．通常我們總假設(shè)誤差是一個服從正態(tài)分布的隨機變量．例５某公司生產(chǎn)的糖果每包標識質(zhì)量是５００g，但公司承認實際質(zhì)量存在誤差．已知每包糖果的實際質(zhì)量服從μ＝５００、σ２＝２．５２的正態(tài)分布．問：隨意買一包糖果，其質(zhì)量誤差超過５ｇ（即１％）的可能性有多大？（結(jié)果精確到０．１％）即誤差超過５g的可能性約是4.6％．

例６設(shè)X為任取的某袋有包裝誤差的產(chǎn)品的質(zhì)量，X～N（μ，σ２）．分別求｜X－μ｜＜σ，｜X－μ｜＜２σ及｜X－μ｜＜３σ的概率．（結(jié)果精確到０．１％）解令那么P（｜X－μ｜＜σ）＝P（｜Y｜＜１）．而P（｜Y｜＜１）是標準正態(tài)分布的密度函數(shù)在區(qū)間（－１，１）上的面積，它等于函數(shù)在區(qū)間（－∞，１）上的面積減去在區(qū)間（－∞，－１）上的面積．這樣，就有同樣，因此，隨意購買一袋該產(chǎn)品，約有６８．３％的可能性其質(zhì)量在μ左右σ的范圍內(nèi)；約有９５．４％的可能性其質(zhì)量在μ左右２σ的范圍內(nèi)；約有９９．７％的可能性其質(zhì)量在μ左右３σ的范圍內(nèi)，如圖７-３-６所示．這稱為正態(tài)分布的３σ（ｓｉｇｍａ）原則．課本練習(xí)練習(xí)７．３（３）

１．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（－２，σ２），且P（X≤－１）＝K．求P（X≤－３）的值．２．某校高中三年級１６００名學(xué)生參加了區(qū)第一次高考模擬統(tǒng)一考試，已知數(shù)學(xué)考試成績X服從正態(tài)分布N（100，σ２）（試卷滿分為１５０分）．統(tǒng)計結(jié)果顯示，數(shù)學(xué)考試成績在８０分到１２０分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的

，則此次統(tǒng)考中成績不低于１２０分的學(xué)生人數(shù)約為（）Ａ．８０；Ｂ．１００；Ｃ．１２０；Ｄ．２００．隨堂檢測1.下列函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是(

)答案:B

2、把一個正態(tài)曲線a沿著橫軸方向向右移動2個單位，得到新的一條曲線b。下列說法中不正確的是（）A.曲線b仍然是正態(tài)曲線；B.曲線a和曲線b的最高點的縱坐標相等;C.以曲線b為概率密度曲線的總體的期望比以曲線a為概率密度曲線的總體的期望大2;D.以曲線b為概率密度曲線的總體的方差比以曲線a為概率密度曲線的總體的方差大2.答案：D解析:∵ξ服從正態(tài)分布N(0,σ2),∴曲線的對稱軸是直線x=0.∵P(ξ<-1)=0.1,∴P(ξ>1)=0.1.∴ξ在區(qū)間(0,1)內(nèi)取值的概率為0.5-0.1=0.4,故選B.答案:B3.在某項測量中,測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(0,σ2).若ξ在(-∞,-1)內(nèi)取值的概率為0.1,則ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為(

)A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1解析:因為月收入服從正態(tài)分布N(500,202),所以μ=500,σ=20,μ-σ=480,μ+σ=520.所以月均收入在[480,520]范圍內(nèi)的概率為0.683.由圖像的對稱性可知,此縣農(nóng)民月均收入在500到520元間人數(shù)的百分比約為34.15%.答案:34.15%4.某縣農(nóng)民月均收入服從N(500,202)的正態(tài)分布,則此縣農(nóng)民月均收入在500元到520元間人數(shù)的百分比約為

.

解析:零件尺寸屬于區(qū)間[μ-2σ,μ+2σ],即零件尺寸在[1,5]內(nèi)取值的概率約為95.4%,故零件尺寸不屬于區(qū)間[1,5]內(nèi)的概率為1-95.4%=4.6%.答案:4.6%5.某種零件的尺寸ξ(單位:cm)服從正態(tài)分布N(3,12),則不屬于區(qū)間[1,5]這個尺寸范圍

的零件數(shù)約占總數(shù)的

.

６.

假設(shè)某地區(qū)高二學(xué)生的身高服從正態(tài)分布，且均值為170（單位：cm，下同），標準差為10.在該地區(qū)任意抽取一名高二學(xué)生，求這名學(xué)生的身高：（1）不高于170的概率；（2）在區(qū)間[160，180]內(nèi)的概率；（3）不高于180的概率.７.設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中,某班學(xué)生的分數(shù)X~N(110,202),且知試卷滿分150分,這個班的學(xué)生共54人,求這個班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(即90分及90分以上)的人數(shù)和130分以上的人數(shù).解:μ=110,σ=20,P(X≥90)=P(X-110≥-20)=P(X-μ≥-σ),∵P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)≈2P(X-μ<-σ)+0.683=1,∴P(X-μ<-σ)=0.158

5.∴P(X≥90)=1-P(X-μ<-σ)=1-0.158

5=0.841

5.∴54×0.841

5≈45(人),即及格人數(shù)約為45人.∵P(X>130)=P(X