2021年湖南省懷化市七甲坪鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2021年湖南省懷化市七甲坪鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此直線的斜率的取值范圍是A. B. C. D.

參考答案：A略2.若集合，，則“”是“”的（

）A．充分但不必要條件B．必要但不充分條件

C．充要條件D．既不充分又不必要條件參考答案：A3.已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（﹣1）=f（3）=1，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示．則不等式f（x）＜1的解集是(

) A．（﹣1，0） B．（﹣1，3） C．（0，3） D．（﹣∞，﹣1）（3，+∞）參考答案：B考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．解答： 解：由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，且當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得極小值f（0），∵f（﹣1）=f（3）=1，∴當(dāng)0≤x＜3時(shí)，f（x）＜1，當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，f（x）＜1，綜上不等式f（x）＜1的解為當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，即不等式的解集為（﹣1，3），故選：B點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的解法，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．4.若橢圓的弦中點(diǎn)，則此弦所在直線的斜率是（

）A2

B

C

D參考答案：D略5.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）

參考答案：B6.若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為（

）A．3

B．

C．1

D．參考答案：A7.在下列圖象中，二次函數(shù)y=ax2+bx與指數(shù)函數(shù)y=（）x的圖象只可能是（

）參考答案：A

8.已知集合，，則A∩B=（）A.{－3,－2,－1,0} B.{－1,0,1,2,3}C.{－3,－2} D.{－3,－2,－1,0,1,2,3}參考答案：B【分析】利用一元二次不等式的解法化簡(jiǎn)集合，再由交集的定義可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，∴．故選B．【點(diǎn)睛】研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究?jī)杉系年P(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實(shí)質(zhì)求滿足屬于集合且屬于集合的元素的集合.9.若，是第三象限的角,則=

A.

B.

C.

D．-2參考答案：D略10.在復(fù)平面內(nèi)，若所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在等差數(shù)列中,是其前項(xiàng)的和,且,,則數(shù)列的前項(xiàng)的和是__________?參考答案：12.曲線y=x﹣cosx在點(diǎn)（，）處的切線方程為．參考答案：2x﹣y﹣=0【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；直線與圓．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，再由點(diǎn)斜式方程即可得到所求切線方程．【解答】解：y=x﹣cosx的導(dǎo)數(shù)為y′=1+sinx，即有在點(diǎn)（，）處的切線斜率為k=1+sin=2，則曲線在點(diǎn)（，）處的切線方程為y﹣=2（x﹣），即為2x﹣y﹣=0．故答案為：2x﹣y﹣=0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義和運(yùn)用點(diǎn)斜式方程是解題的關(guān)鍵．13.若關(guān)于的方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

參考答案：14.（5分）（2015?浙江模擬）函數(shù)f（x）=sinx+cosx的單調(diào)增區(qū)間為，已知sinα=，且α∈（0，），則f（α﹣）=．參考答案：[2kπ﹣，2kπ+]，【考點(diǎn)】：正弦函數(shù)的圖象；函數(shù)的值．【專題】：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】：利用輔助角公式將三角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論．解：f（x）=sinx+cosx=sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得k∈Z，故函數(shù)的遞增區(qū)間為[2kπ﹣，2kπ+]，∵sinα=，且α∈（0，），∴cosα=，f（α）=sin（α+）=sin（α+）=[sinαsin+cosαcos]=，故答案為：[2kπ﹣，2kπ+]，．【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．15.已知，正實(shí)數(shù)滿足，且，若在區(qū)間上的最大值為2，則=_______。參考答案：略16.如圖，某房地產(chǎn)公司要在一塊矩形寬闊地面上開發(fā)物業(yè)，陰影部分是不能開發(fā)的古建筑群，且要求用在一條直線上的欄柵進(jìn)行隔離，古建筑群的邊界為曲線y=1﹣x2的一部分，欄柵與矩形區(qū)域邊界交于點(diǎn)M，N．則△MON面積的最小值為．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義；函數(shù)解析式的求解及常用方法．【專題】函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】設(shè)MN為曲線y=1﹣x2的切線，切點(diǎn)為（m，n），由拋物線的方程，求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得切線的方程，分別令x=0，y=0可得M，N的坐標(biāo)，求得△MNO的面積，再由導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間和極小值，也為最小值，即可得到所求值．【解答】解：設(shè)MN為曲線y=1﹣x2的切線，切點(diǎn)為（m，n），可得n=1﹣m2，y=1﹣x2的導(dǎo)數(shù)為y′=﹣x，即有直線MN的方程為y﹣（1﹣m2）=﹣m（x﹣m），令x=0，可得y=1+m2，再令y=0，可得x=（m＞0），即有△MON面積為S=（1+m2）?=，由S′=（﹣+48m2+24）=0，解得m=，當(dāng)m＞時(shí)，S′＞0，函數(shù)S遞增；當(dāng)0＜m＜時(shí)，S′＜0，函數(shù)S遞減．即有m=處取得最小值，且為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的面積的最值的求法，注意運(yùn)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線方程，再由單調(diào)性求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．17.設(shè)曲線與軸、軸、直線圍成的封閉圖形的面積為，若在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：k≥0三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題12分）已知遞增的等比數(shù)列滿足：，且是的等差中項(xiàng)。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，，求。參考答案：（1）設(shè)等比數(shù)列首項(xiàng)為，公比為。由已知得………………1分代入可得?！?分于是。故，解得或?！?分又?jǐn)?shù)列為遞增數(shù)列，故，∴…………6分（2）∵…………7分∴…………9分兩式相減得…………10分∴………………12分19.已知函數(shù)（1）求證：函數(shù)在點(diǎn)處的切線橫過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若在區(qū)間上恒成立，求a的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，求證：在區(qū)間上，滿足恒成立的函數(shù)有無窮多個(gè)。參考答案：(1)因?yàn)?/p>

，所以在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以在點(diǎn)處的切線方程為

，……2分

整理得，所以切線恒過定點(diǎn)

．

………4分(2)令<0，對(duì)恒成立，

因?yàn)?/p>

（*）

……………………6分

令，得極值點(diǎn)，，

①當(dāng)時(shí)，有，即時(shí)，在（，+∞）上有，

此時(shí)在區(qū)間上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有∈，不合題意；

②當(dāng)時(shí)，有，同理可知，在區(qū)間上，有∈，也不合題意；

……8分

③當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)在區(qū)間上恒有，

從而在區(qū)間上是減函數(shù)；

要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，所以．

綜上可知的范圍是．

……………12分

(3)當(dāng)時(shí)，

記．

因?yàn)?，所以在上為增函?shù)，

所以，

…………14分

設(shè),則,所以在區(qū)間上，滿足恒成立的函數(shù)有無窮多個(gè)．

………16分略20.（本題滿分13分）今年夏季酷暑難熬，某品牌飲料抓住這一時(shí)機(jī)舉行夏季促銷活動(dòng)，若瓶蓋中印有“中獎(jiǎng)2元”字樣，則可以兌換2元現(xiàn)金，如果這種飲料每瓶成本為2元，投入市場(chǎng)按每瓶3元銷售，“中獎(jiǎng)2元”綜合中獎(jiǎng)率為10℅.

（1）求甲夠買飲料3瓶，至少有2瓶中獎(jiǎng)的概率；（2）若該廠生產(chǎn)這種飲料20萬瓶，假設(shè)全部售出，則盈利的期望值是多少？參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)甲購(gòu)買該飲料3瓶，至少有2瓶中獎(jiǎng)的概率為，則.……6分（Ⅱ）設(shè)售出一瓶這種飲料盈利為,則,且,－11P0.10.9故的分布列為：

故20萬瓶的盈利期望值為:(萬元)………………13分略21.（本題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.??（1）證明：為等比數(shù)列；??（2）證明：求數(shù)列的通項(xiàng)公式；??（3）確定與的大小關(guān)系，并加以證明.參考答案：解：（1）得，相減得，

…………

2分即，故。故數(shù)列為首項(xiàng)是、公比為的等比數(shù)列。

…………

4分?????（2）得，，，故，所以。

…………

8分?????（3），，即比較與的大小關(guān)系，，即比較與的大小。

…………

10分當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，。

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，。故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，。

…………

12分（也可用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立；設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即，則當(dāng)時(shí)，，即時(shí)結(jié)論也成立。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)，不等式成立。）…………

12分略22.如圖所示的幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD為菱形，，，且平面BED⊥平面ABCD