向量與線性方程組

向量與線性方程組第一頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二向量的定義及線性運(yùn)算第二頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二●向量與線性方程組引例一個(gè)方程對(duì)應(yīng)一組數(shù)矩陣的一行對(duì)應(yīng)一組數(shù)線性方程組可對(duì)應(yīng)一組數(shù)組；矩陣也可對(duì)應(yīng)一組數(shù)組。●向量的定義由n個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組稱(chēng)為一個(gè)n維行向量，記作，其中稱(chēng)為向量的第i個(gè)分量（或坐標(biāo)）。如果將有序數(shù)組寫(xiě)成一列的形式，則稱(chēng)向量為列向量。實(shí)際上，行向量即為一個(gè)行矩陣，列向量即為一個(gè)列矩陣。第三頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二●幾個(gè)概念1、同維向量：分量個(gè)數(shù)相等的向量稱(chēng)為同維向量。2、相等向量：如果向量與是同維向量，而且對(duì)應(yīng)的分量相等，則稱(chēng)向量與相等。3、零向量：分量都是0的向量稱(chēng)為零向量，記作O。4、負(fù)向量：稱(chēng)向量為向量的負(fù)向量，記作。5、向量組：如果n個(gè)向量是同維向量，則稱(chēng)為向量組第四頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二●向量的線性運(yùn)算1、向量的加減法，稱(chēng)向量設(shè)，則稱(chēng)向量為向量與向量的和向量，記作為向量與向量的差向量，記作。2、數(shù)乘向量向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算稱(chēng)為向量的線性運(yùn)算。設(shè)向量則稱(chēng)向量為數(shù)與向量的數(shù)稱(chēng)向量，記作第五頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二●向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律交換律結(jié)合律分配律第六頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二例1解

練習(xí)：已知，求解

第七頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二（1）則方程組有向量形式

●線性方程組的向量表達(dá)式若記線性方程組即為系數(shù)矩陣的第列第八頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二向量的線性關(guān)系第九頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二●向量的線性關(guān)系解設(shè)則所以線性組合的概念：設(shè)有同維向量，如果存在一組數(shù)，使得成立，則稱(chēng)向量可由向量組線性表示，或稱(chēng)向量是向量組的線性組合。例2設(shè)判斷向量能否由向量組線性表示？如果可以，求出表達(dá)式。小結(jié)：可由向量組線性表示線性方程組有解第十頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二●線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的概念●顯然：含有零向量的向量組是線性相關(guān)的。因?yàn)樵O(shè)有向量組，如果存在一組不全為零的數(shù)，使得成立，則稱(chēng)向量組線性相關(guān)，否則，稱(chēng)向量組線性無(wú)關(guān)。即當(dāng)且僅當(dāng)

全為零時(shí)，才成立，則稱(chēng)向量組

線性無(wú)關(guān)。●兩個(gè)向量線性相關(guān)的充要條件是對(duì)應(yīng)分量成比例。第十一頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二證明例3證明下列向量組線性無(wú)關(guān)。設(shè)則所以所以向量組線性無(wú)關(guān)。稱(chēng)向量組為n維向量空間的單位坐標(biāo)向量組。任何一個(gè)n維向量都可由向量組線性表示，第十二頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二例4討論向量組的線性相關(guān)性解設(shè)則利用矩陣的初等變換，可求得注：有無(wú)窮多組解可見(jiàn)，向量組線性相關(guān)齊次線性方程組有非零解所以向量組線性相關(guān)。第十三頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二練習(xí)判斷向量組的線性相關(guān)性解設(shè)則有因?yàn)槭欠匠探M的一組非零解所以線性相關(guān)第十四頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二證明例5已知向量組線性無(wú)關(guān)，證明：向量組線性無(wú)關(guān)。設(shè)則因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)所以有解得所以向量組線性無(wú)關(guān)。第十五頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二例6設(shè)線性無(wú)關(guān)，又，試證明線性相關(guān)證明設(shè)則有因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)所以有由于所以不全為零所以線性相關(guān)事實(shí)上，可取第十六頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二證明因?yàn)橄蛄拷M線性相關(guān)所以存在一組不全為零的數(shù)，使得則否則，若則由線性無(wú)關(guān)，可推得于是向量組線性無(wú)關(guān)這與已知矛盾，所以定理若向量組線性無(wú)關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則向量可由向量組線性表示，而且表示方法惟一。第十七頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二于是假設(shè)另有表達(dá)式則可得由于線性無(wú)關(guān)，所以且表示方法唯一所以可由向量組線性表示，所以可由向量組線性表示。第十八頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二定理向量組線性相關(guān)的充分必要條件是該向量組中至少有一個(gè)向量可由其余的向量組線性表示。證明因?yàn)橄蛄拷M線性相關(guān)所以存在不全為零的數(shù)使得不妨設(shè)于是有反過(guò)來(lái)，若有可由線性表示則有所以線性相關(guān)第十九頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二例7設(shè)試問(wèn)為何值時(shí)，可由線性表示，且表示方法唯一？解設(shè)則有（*）因?yàn)榭捎删€性表示，且表示方法唯一所以，方程組（*）只有唯一的一組解所以有解得第二十頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二小結(jié)：齊次線性方程組有非零解齊次線性方程組只有零解線性相關(guān)向量組（1）向量組線性無(wú)關(guān)（2）(3)向量可由向量組線性表示線性方程組有解第二十一頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二●向量組的線性相關(guān)性的幾個(gè)性質(zhì)定理1、單個(gè)非零向量是線性無(wú)關(guān)的。2、兩個(gè)向量線性相關(guān)的充分必要條件是對(duì)應(yīng)分量成比例。3、增加向量，不改變向量組線性相關(guān)；減少向量，不改變向量組線性無(wú)關(guān)。即部分相關(guān)，則整體相關(guān)；整體無(wú)關(guān)，則部分無(wú)關(guān)。4、增加分量，不改變向量組線性無(wú)關(guān)；減少分量，不改變向量組線性相關(guān)。即低維無(wú)關(guān)，則高維無(wú)關(guān)；高維相關(guān)，則低維相關(guān)。5、n+1個(gè)n維的向量構(gòu)成的向量組是線性相關(guān)的。個(gè)數(shù)大于維數(shù)的向量組是線性相關(guān)的。第二十二頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二向量組與矩陣的秩第二十三頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二●矩陣的K階子式的概念從矩陣A中任取K行K列，其交叉位置上的元素保持相對(duì)位置不變，而構(gòu)成的K階行列式，稱(chēng)之為矩陣A的一個(gè)K階子式。如則矩陣A共有個(gè)二階子式。它們是：第二十四頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二●矩陣的秩的概念矩陣A中所有不為零的子式的最高階數(shù)，稱(chēng)為矩陣A的秩，記作R(A)或r(A)。顯然，如果R(A)=r，則A中至少有一個(gè)r階子式不等于零，所有高于r階的子式都為零。例如因?yàn)樗匀绻鸄為mχn矩陣，則R(A)≤min(m,n)。特別當(dāng)R(A)=m時(shí)，稱(chēng)矩陣A為行滿(mǎn)秩；當(dāng)R(A)=n時(shí)，稱(chēng)矩陣A為列滿(mǎn)秩；當(dāng)R(A)=m=n時(shí)，稱(chēng)矩陣A為滿(mǎn)秩矩陣。第二十五頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二定理推論

任意m個(gè)n維的向量線性相關(guān)m*n矩陣A的m個(gè)行向量線性相關(guān)的重要條件是R(A)<m定理

矩陣A的秩為的充要條件是A中存在r個(gè)行向量線性無(wú)關(guān)，且任意r+1個(gè)行向量(如果存在）線性相關(guān)n個(gè)n維的向量線性無(wú)關(guān)的充要條件是他們組成的矩陣的行列式不等于零推論m個(gè)n維向量線性相關(guān)的充要條件是由他們組成的m*n矩陣的秩為m(m≤n)推論第二十六頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二行階梯矩陣，行最簡(jiǎn)單矩陣

設(shè)A為m*n的矩陣，若A為行階梯，滿(mǎn)足下列三個(gè)條件（1）a11,a22，…，ann以下的元素全為零

(2)每一行的每一個(gè)非零元前面的零元個(gè)數(shù)大與前一行的這種零元的個(gè)數(shù)（3）如果某一行的元全為零，則以下額所有行的元全為零

非零行的每一個(gè)零元為1，且這些非零元1所在的列的其他元素都為零的行階梯矩陣稱(chēng)為行最簡(jiǎn)單矩陣。第二十七頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二行階梯矩陣的秩等于非零行的個(gè)數(shù)，行最簡(jiǎn)單行矩陣的秩等與1的個(gè)數(shù)第二十八頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二●利用矩陣的初等變換求矩陣的秩矩陣的初等變換不改變行列式是否為零的性質(zhì)。所以有：定理：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。例求矩陣的秩解將矩陣作初等變換所以R(A)=3行階梯形

第二十九頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二●課堂練習(xí)：利用矩陣的初等變換求下列矩陣的秩答案：?jiǎn)栴}：矩陣B中是否所有的三階子式都不為零？第三十頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二●向量組的極大無(wú)關(guān)組如果向量組的部分組滿(mǎn)足（1）線性無(wú)關(guān)；（2）任意增加一個(gè)向量（如果存在的話），向量組線性相關(guān)。則稱(chēng)向量組為向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，簡(jiǎn)稱(chēng)為極大無(wú)關(guān)組。例如：向量組線性相關(guān)，線性無(wú)關(guān)。向量組是向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。向量組也是向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組?？梢?jiàn)，一個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組可以不是惟一的。第三十一頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二●向量組的秩向量組的極大無(wú)關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)，稱(chēng)為向量組的秩。記作例如：向量組的秩為2。如果向量組的秩小于向量組所含向量的個(gè)數(shù)，即，則向量組線性相關(guān)。矩陣A的秩=矩陣A的行向量組的秩=矩陣A的列向量組的秩可利用矩陣的初等變換判斷向量組的線性相關(guān)性、求向量組的秩及極大無(wú)關(guān)組。如果向量組的秩等于向量組所含向量的個(gè)數(shù)，即，則向量組線性無(wú)關(guān)。第三十二頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二例1

判別下列向量組的線性相關(guān)性解令因?yàn)樗跃€性相關(guān)。第三十三頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二例2

判別下列向量組的線性相關(guān)性解：令因?yàn)樗跃€性無(wú)關(guān)。第三十四頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二●向量組的等價(jià)關(guān)系

如果向量組A：中的每一個(gè)向量可由向量組B：線性表示，同時(shí)，向量組B中的每一個(gè)向量可由向量組A線性表示，則稱(chēng)向量組A與向量組B等價(jià)。定理：等價(jià)向量組的秩相等。一個(gè)向量組和它的任意一個(gè)極大無(wú)關(guān)組是等價(jià)的。等價(jià)向量組的性質(zhì)（1）反身性：向量組A與自身等價(jià)；（2）對(duì)稱(chēng)性：如果向量組A與B等價(jià)，則向量組B與A等價(jià)；（3）傳遞性：如果A與B等價(jià)，B與C等價(jià)，則A與C等價(jià)。若矩陣A矩陣B，則矩陣A的行向量組與矩陣B的行向量組等價(jià)；行初等變換

若矩陣A矩陣B，則矩陣A的列向量組與矩陣B的列向量組等價(jià)；列初等變換

第三十五頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二例3

求下列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組解法1：作矩陣記作第三十六頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期二例3