2022-2023學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市廣陵區(qū)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市廣陵區(qū)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．的值為（

）A．12 B．30 C．26 D．24【答案】B【分析】根據(jù)排列數(shù)的計(jì)算公式求解即可.【詳解】.故選：B2．二項(xiàng)式的展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（

）A． B．56 C． D．28【答案】D【分析】二項(xiàng)式展開式的第k+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，進(jìn)而得到答案.【詳解】二項(xiàng)式展開式第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為.故選：D.3．已知，，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出向量與的夾角的余弦值，即可求出與的夾角.【詳解】，所以，∴，∴，∴，又∵，∴與的夾角為.故選：B.4．6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（

）A．120種 B．90種C．60種 D．30種【答案】C【分析】分別安排各場館的志愿者，利用組合計(jì)數(shù)和乘法計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】首先從名同學(xué)中選名去甲場館，方法數(shù)有；然后從其余名同學(xué)中選名去乙場館，方法數(shù)有；最后剩下的名同學(xué)去丙場館.故不同的安排方法共有種.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查分步計(jì)數(shù)原理和組合數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.5．從中任取個(gè)不同的數(shù)，事件“取到的個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件“取到兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得和的值，然后利用條件概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求的概率.【詳解】依題意,,故.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查條件概型的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6．被7除的余數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)，按照二項(xiàng)式定理展開，可得它除以7的余數(shù)．【詳解】因?yàn)?，顯然，除了最后一項(xiàng)外，其余的各項(xiàng)都能被7整除，故它除以7的余數(shù)為.故選：B7．如圖，在棱長為2的正方體中，E為的中點(diǎn)，則直線與平面BDE所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，，，分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求平面BDE的一個(gè)法向量，進(jìn)而可求直線與平面BDE所成角.【詳解】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，，，分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，，，所以，，，設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量，則，即，令，則，，所以平面BDE的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面BDE所成角為，所以．故選：D.8．的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為（

）A． B．60 C． D．30【答案】A【分析】將轉(zhuǎn)化為，根據(jù)二項(xiàng)式定理求出含的項(xiàng)，即可得出答案，【詳解】的展開式中含的項(xiàng)為，的展開式中含的項(xiàng)為，的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為.故選：A.二、多選題9．二項(xiàng)式的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為（

）A．第六項(xiàng) B．第七項(xiàng) C．第八項(xiàng) D．第九項(xiàng)【答案】BC【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】由題得二項(xiàng)式的展開式共有14項(xiàng)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，該兩項(xiàng)為第七項(xiàng)和第八項(xiàng)，故選：BC.10．將高二（1）班的四個(gè)同學(xué)分到語文、數(shù)學(xué)、英語三個(gè)興趣小組，每個(gè)興趣小組至少有一名同學(xué)的分配方法有多少種？下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．18【答案】BC【分析】根據(jù)題意，有2種解法，解法1，先將4人分三組，再將分好的三組全排列，由分布計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得B正確；解法2，在3個(gè)小組中選出1個(gè)，安排2個(gè)同學(xué)，再將剩下的2人全排列，對(duì)應(yīng)剩下的2個(gè)興趣小組，由分布計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得C正確；即可得答案；【詳解】解：根據(jù)題意，解法1，先將4人三組，有C42種分組方法，再將分好的三組全排列，對(duì)應(yīng)三個(gè)興趣小組，有A33種情況，則有C42A33種分配方法，B正確；解法2，在3個(gè)小組中選出1個(gè)，安排2個(gè)同學(xué)，有C31C42種情況，再將剩下的2人全排列，對(duì)應(yīng)剩下的2個(gè)興趣小組，有A22種情況，則有C31C42A22種分配方法，C正確；故選：BC.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，分組分配問題，可以先分組后分配，也可以直接分配，解題的關(guān)鍵是分析思路，做到不重不漏，屬于基礎(chǔ)題.11．設(shè)，則下列說法正確的是（

）A． B．C．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng) D．【答案】BD【分析】對(duì)于A，令，從而即可判斷；對(duì)于B，令，結(jié)合A的結(jié)論，即可判斷；對(duì)于C，由二次項(xiàng)的展開式中系數(shù)的特征即可判斷；對(duì)于D，利用二次項(xiàng)的展開式公式求出即可判斷.【詳解】解：對(duì)于A，令得，故A不正確；對(duì)于B，令得，而由A知：，因此，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)榈恼归_式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)榈恼归_式中，，所以，，因此，，所以，故D正確．故選：BD.12．如圖，正方體的棱長為2，分別為的中點(diǎn)．則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與平面垂直B．直線與平面平行C．三棱錐的體積為D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】BCD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用向量的數(shù)量積的計(jì)算，可判斷A,B；根據(jù)等體積法可求得三棱錐的體積，可判斷C；利用空間距離的向量計(jì)算公式，可判斷D.【詳解】如圖，以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA為x軸，以DC為y軸，以為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,對(duì)于A,,設(shè)平面AEF的法向量為，則，可取，而，與不平行，故直線與平面不垂直，故A錯(cuò)；對(duì)于B，,平面AEF的法向量為,,不在平面內(nèi),故直線與平面平行，故B正確；對(duì)于C，,故C正確；對(duì)于D，,平面AEF的法向量為,,故點(diǎn)到平面的距離為，故D正確，故選：BCD三、填空題13．已知，，若與共線，則_________.【答案】/【分析】由向量共線的坐標(biāo)表示得出的值.【詳解】因?yàn)榕c共線，所以，所以，，則.故答案為：14．從位女生，位男生中選人參加科技比賽，且至少有位女生入選，則不同的選法共有_____________種．（用數(shù)字填寫答案）【答案】【分析】方法一：反面考慮，先求出所選的人中沒有女生的選法種數(shù)，再根據(jù)從人中任選人的選法種數(shù)減去沒有女生的選法種數(shù)，即可解出.【詳解】［方法一］：反面考慮沒有女生入選有種選法，從名學(xué)生中任意選人有種選法，故至少有位女生入選，則不同的選法共有種．故答案為：.［方法二］：正面考慮若有1位女生入選，則另2位是男生，于是選法有種；若有2位女生入選，則另有1位是男生，于是選法有種，則不同的選法共有種．故答案為：.【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)“正難則反”，先考慮“至少有位女生入選”的反面種數(shù)，再利用沒有限制的選法種數(shù)減去反面種數(shù)即可求出，對(duì)于正面分類較多的問題是不錯(cuò)的方法；方法二：正面分類較少，直接根據(jù)女生的人數(shù)分類討論求出．15．已知的展開式中的系數(shù)為5，則______．【答案】【分析】根據(jù)產(chǎn)生的兩種可能分別得到其系數(shù)的等式解出．【詳解】因?yàn)榈恼归_式中的系數(shù)為5，則，即，解得；故答案為：．四、雙空題16．甲箱中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出1個(gè)球放入乙箱中，分別以表示由甲箱中取出的是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則___________，___________.【答案】【分析】根據(jù)題意求出，根據(jù)條件概率計(jì)算方法可計(jì)算；根據(jù)即可求﹒【詳解】由題可知，，，，若從甲箱選中一個(gè)紅球放到乙箱中，則此時(shí)乙箱中有11個(gè)球，且其中5個(gè)是紅球，故；同理，，，∴.故答案為：；﹒五、解答題17．（1）計(jì)算：；（2）已知，（m>1）；求的值.【答案】（1）325；（2）126.【分析】（1）根據(jù)排列數(shù)的計(jì)算公式即可得解；（2）根據(jù)結(jié)合題意可得，利用化簡整理，再代入組合數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算.【詳解】（1）∵，則∴（2）∵，則或，解得或（舍去）∵，則.18．在①前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，②二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，這兩個(gè)條件中任選—個(gè)，補(bǔ)充在問題中，并進(jìn)行解答.問題：在的展開式中，___________，求n的值及展開式中的常數(shù)項(xiàng).【答案】答案見解析【分析】寫出展開式通項(xiàng)公式，選條件①，得前三項(xiàng)系數(shù)，由它們成等差數(shù)列得值，由通項(xiàng)公式得常數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，得常數(shù)項(xiàng)；選條件②，由二項(xiàng)式指數(shù)性質(zhì)得值，由通項(xiàng)公式得常數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，得常數(shù)項(xiàng)．【詳解】解：因?yàn)槎?xiàng)式展開式的通項(xiàng)為選條件①，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，展開式前三項(xiàng)的系數(shù)分別為，，，由題設(shè)知解得或（舍去）當(dāng)時(shí)，所以時(shí)，為常數(shù)項(xiàng)選條件②，二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，所以，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，為常數(shù)項(xiàng).19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=2AD=4，且PC=.點(diǎn)E在PC上.(1)求證：平面BDE⊥平面PAC；(2)若E為PC的中點(diǎn)，求直線PC與平面AED所成的角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)題意可判斷出ABCD是正方形，從而可得，再根據(jù)，由線面垂直的判定定理可得平面PAC，然后由面面垂直的判定定理即可證出；（2）由、、兩兩垂直可建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出直線PC與平面AED所成的角的正弦值.【詳解】（1）因?yàn)镻A⊥底面ABCD，PA=2AD=4，PC=，所以，，即ABCD是正方形，所以，而PA⊥底面ABCD，所以，又，所以平面PAC，而平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC．（2）由題可知、、兩兩垂直，建系如圖，，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，，，，，1，，，2，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，即，取，0，，所以直線與平面所成的角的正弦值為．20．現(xiàn)有4名男生、3名女生站成一排照相．（用數(shù)字作答）(1)兩端是女生，有多少種不同的站法？(2)任意兩名女生不相鄰，有多少種不同的站法？(3)女生甲要在女生乙的右方(可以不相鄰)，有多少種不同的站法？【答案】(1)720；(2)1440；(3)2520；【分析】（1）先選2女生排兩端，再將其余學(xué)生全排列，即可得結(jié)果.（2）利用插空法，把3名女生插入到4名男生所形成的5個(gè)空中，即得結(jié)果.（3）將所有人作全排列，根據(jù)甲乙女生位置的對(duì)稱性，即可求結(jié)果.【詳解】（1）選2女生排兩端有種方法，再排其余學(xué)生有種方法，所以兩端是女生的不同站法有種.（2）先排4名男生有種方法，再將3名女生插入5個(gè)空隙中有種方法，所以任意兩名女生不相鄰的不同站法有種.（3）7名學(xué)生的全排列為，而甲乙的順序有2種，所以女生甲要在女生乙的右方的不同站法有種.21．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，△PAD為等邊三角形，平面平面ABCD，．(1)求點(diǎn)A到平面PBC的距離；(2)E為線段PC上一點(diǎn)，若直線AE與平面ABCD所成的角的正弦值為，求平面ADE與平面ABCD夾角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）取AD中點(diǎn)O，連接OB，OP.通過證明，可得，.后由等體積法可求得點(diǎn)A到平面PBC的距離；（2）由（1），如圖建立以O(shè)為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，由直線AE與平面ABCD所成的角的正弦值為，可得.求得平面ADE的法向量后，利用空間向量可得平面ADE與平面ABCD夾角的余弦值.【詳解】（1）取AD中點(diǎn)O，連接OB，OP.∵為等邊三角形，∴，OA=1，.又∵平面平面ABCD，平面平面ABCD=AD，平面PAD，∴平面ABC.又∵平面ABCD，∴.∵，∴，∴.又∵，平面POB，平面POB，，∴平面POB.又∵平面POB，∴.∴，設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h，則即，∴；（2）由（1），分別以O(shè)A，OB，OP為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，.設(shè)，則，.得，則.又平面ABC，則取平面ABCD的法向量.設(shè)AE與平面ABCD所成的角為，則，解得.則，.設(shè)平面ADE的法向量，則.令，則取平面ADE的法向量，又平面ABCD的法向量.故平面ADE與平面ABCD夾角的余弦值為.22．已知（且，）.（1）設(shè)，求中含項(xiàng)的系數(shù)；（2）化簡：；（3）證明：.【答案】（1）330；（2）；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)表達(dá)式可知系數(shù)為，將改寫成，利用組合數(shù)的性質(zhì)：整理得到結(jié)果；（2）通過對(duì)求導(dǎo)可