2022-2023學(xué)年江蘇省無(wú)錫市高二下學(xué)期期中四校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省無(wú)錫市高二下學(xué)期期中四校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若，則（

）A．30 B．20 C．12 D．6【答案】A【分析】先由組合的運(yùn)算公式計(jì)算出的值，再代入中，由排列公式即可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】若故選：A.2．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)選項(xiàng)分別求導(dǎo)即可.【詳解】對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)正確．故選：D3．一機(jī)械制造加工廠(chǎng)的某條生產(chǎn)線(xiàn)在設(shè)備正常運(yùn)行的情況下，生產(chǎn)的零件尺寸z（單位：）服從正態(tài)分布，且，則（

）A．0.1 B．0.04 C．0.05 D．0.06【答案】D【分析】直接由正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性求解即可.【詳解】因?yàn)榱慵叽鐉服從正態(tài)分布，所以，所以．故選：D.4．已知函數(shù)與的部分圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接判斷.【詳解】由圖可知，與在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，.在區(qū)間上，的圖象比的圖象更陡峭，所以，.故選：B.5．學(xué)校有個(gè)優(yōu)秀學(xué)生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個(gè)年級(jí)至少個(gè)名額，則不同的分配方案種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用隔板法（插空法）可解決問(wèn)題.【詳解】問(wèn)題相當(dāng)于在8個(gè)物體產(chǎn)生的7個(gè)間隔中，插入2快隔板，則分配方案種數(shù)為：.故C正確.故選：C6．已知在7個(gè)電子元件中，有2個(gè)次品，5個(gè)合格品，每次任取一個(gè)測(cè)試，測(cè)試完后不再放回，直到2個(gè)次品都找到為止，則經(jīng)過(guò)3次測(cè)試恰好將2個(gè)次品全部找出的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】基本事件總數(shù)為從7個(gè)電子元件中選3個(gè)的排列數(shù)，經(jīng)過(guò)3次測(cè)試恰好將2個(gè)次品全部找出，則第3次是次品，前2次中有一次是次品．【詳解】從7個(gè)電子元件中選3個(gè)的排列數(shù)為，經(jīng)過(guò)3次測(cè)試恰好將2個(gè)次品全部找出，則第3次是次品，前2次中有一次是次品的排列數(shù)為，經(jīng)過(guò)3次測(cè)試恰好將2個(gè)次品全部找出為事件A，則．故選：B．7．在某地區(qū)進(jìn)行流行病調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100名某種疾病患者的年齡，發(fā)現(xiàn)該100名患者中有30名的年齡位于區(qū)間內(nèi).已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，年齡位于區(qū)間內(nèi)人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?現(xiàn)從該地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間內(nèi)，則此人患該疾病的概率為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)此人年齡位于區(qū)間為事件A，此人患病為事件B，則所求概率為，即可得答案.【詳解】設(shè)此人年齡位于區(qū)間為事件A，此人患病為事件B.則所求概率為.故選：C8．已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較即可.【詳解】∵冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，即，∵對(duì)數(shù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，即，綜上所述，，，的大小關(guān)系為.故選：D.二、多選題9．若（）的展開(kāi)式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則的可能取值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】ABC【分析】由題展開(kāi)式的第5項(xiàng)的二次項(xiàng)系數(shù)為：，據(jù)此分析各選項(xiàng)即可.【詳解】A選項(xiàng)，此時(shí)展開(kāi)式有8項(xiàng)，第4項(xiàng)二次項(xiàng)系數(shù)，第5項(xiàng)二次項(xiàng)系數(shù)最大且相等，故滿(mǎn)足題意，故A正確；B選項(xiàng)，此時(shí)展開(kāi)式有9項(xiàng)，第5項(xiàng)二次項(xiàng)系數(shù)最大，故滿(mǎn)足題意，故B正確；C選項(xiàng)，此時(shí)展開(kāi)式有10項(xiàng)，第5項(xiàng)二次項(xiàng)系數(shù)，第6項(xiàng)二次項(xiàng)系數(shù)最大且相等，故滿(mǎn)足題意，故C正確；D選項(xiàng)，此時(shí)展開(kāi)式有11項(xiàng)，第6項(xiàng)二次項(xiàng)系數(shù)最大，不合題意，故D錯(cuò)誤.故選：ABC10．已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示，且滿(mǎn)足，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】依題意根據(jù)分布列的性質(zhì)及期望公式求出，即可求出，再根據(jù)方差的性質(zhì)得到，再求出分布列，即可求出與；【詳解】依題意，解得，所以的分布列為：－102P則，則；所以的分布列為：02P則，，所以；故選：ACD.11．紅黃藍(lán)被稱(chēng)為三原色，選取任意幾種顏色調(diào)配，可以調(diào)配出其他顏色.已知同一種顏色混合顏色不變，等量的紅色加黃色調(diào)配出橙色；等量的紅色加藍(lán)色調(diào)配出紫色；等量的黃色加藍(lán)色調(diào)配出綠色.現(xiàn)有紅黃藍(lán)顏料各兩瓶，甲從六瓶中任取兩瓶顏料，乙再?gòu)挠嘞滤钠恐腥稳善款伭?，兩人分別進(jìn)行等量調(diào)配，表示事件“甲調(diào)配出紅色”；表示事件“甲調(diào)配出綠色”；表示事件“乙調(diào)配出紫色”；則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．事件與事件相互獨(dú)立【答案】AC【分析】對(duì)于A(yíng)，從六瓶中任取兩瓶顏料的方法數(shù)為，事件需要兩瓶顏料均為紅色，方法數(shù)為，求其概率即可；對(duì)于B，，事件需要兩瓶顏料均為紅色，C事件為一瓶紅色，一瓶藍(lán)色顏料，在條件下，C事件不可能發(fā)生；對(duì)于C，由事件需1瓶黃色和1瓶藍(lán)色，方法數(shù)為，求其概率即可；對(duì)于D，根據(jù)題意,若C事件發(fā)生，則甲有三種情況，分別為甲取兩瓶黃色；甲取1瓶黃色和1瓶紅色或藍(lán)色；甲取1瓶紅色，1瓶藍(lán)色，求出，驗(yàn)證與是否相等判斷選項(xiàng)D.【詳解】從六瓶中任取兩瓶顏料的方法數(shù)為.對(duì)于A(yíng)，表示事件“甲調(diào)配出紅色”，若調(diào)出紅色，需要兩瓶顏料均為紅色，方法數(shù)為，則，故A正確；對(duì)于B，事件需要兩瓶顏料均為紅色，C事件為一瓶紅色，一瓶藍(lán)色顏料，在條件下，C事件不可能發(fā)生，所以，故B正確；對(duì)于C，由事件需1瓶黃色和1瓶藍(lán)色,則，在條件下，還剩1瓶黃色和1瓶藍(lán)色,2瓶紅色，則C事件發(fā)生的概率，則，故C正確；對(duì)于D，根據(jù)題意,若C事件發(fā)生，則甲有三種情況，分別為甲取兩瓶黃色；甲取1瓶黃色和1瓶紅色或藍(lán)色；甲取1瓶紅色，1瓶藍(lán)色，則，，事件與事件不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12．若二次函數(shù)的圖象與曲線(xiàn)存在公切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)的可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】設(shè)公切線(xiàn)與的圖象相切于點(diǎn)，與的圖象相切于點(diǎn)，寫(xiě)出切線(xiàn)方程并聯(lián)立，得出，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求的取值范圍，即的取值范圍，再判斷各選項(xiàng).【詳解】由得；由得.設(shè)公切線(xiàn)與的圖象相切于點(diǎn)，與的圖象相切于點(diǎn)，所以，即，可得或，因?yàn)?，，則，即，，，令，，可得，由，得；由，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.因?yàn)椋?，，，即，，則，則AC正確.故選：AC.三、填空題13．已知的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____．【答案】【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)的展開(kāi)式通項(xiàng)，分別求出、中含項(xiàng)的系數(shù)，相加可得結(jié)果.【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，因?yàn)椋谥?，其展開(kāi)式通項(xiàng)為，由可得，此時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)為；在中，其展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，可得，此時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)為.綜上所述，展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.14．甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端且甲和乙不相鄰，則不同的排列方式有_____種.【答案】36【分析】利用特殊元素優(yōu)先安排以及插空法計(jì)算.【詳解】甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排一共由5個(gè)位置，假設(shè)五個(gè)位置按順序分別為一、二、三、四、五.因?yàn)榧撞徽驹趦啥饲壹缀鸵也幌噜?，所以?xún)?yōu)先安排甲.當(dāng)甲在安排在位置二時(shí)，乙安排在四、五位置，其它人可以隨意安排，即(種)；當(dāng)甲在安排在位置四時(shí)，同理有(種)；當(dāng)甲在安排在位置三時(shí)，乙安排在一、五位置，其它人可以隨意安排，即(種)；則共有(種).故答案為：36.15．已知函數(shù)，則在處的切線(xiàn)方程為_(kāi)______．【答案】【分析】直接求導(dǎo)得，代入則可解出，則得到函數(shù)方程，則求出切點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到直線(xiàn)方程.【詳解】，令，，解得，則，則，則在處的切線(xiàn)方程為，即.故答案為：.16．某工廠(chǎng)的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶(hù)之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)．設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．記件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為，則取最大值時(shí)，_______．【答案】/【分析】利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率可得出的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)法可求得函數(shù)取最大值對(duì)應(yīng)的值.【詳解】因?yàn)槊考a(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立，所以，件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取最大值.故答案為：.四、解答題17．一只口袋中裝有形狀、大小都相同的10個(gè)小球，其中有紅球1個(gè)，黑球4個(gè)，白球5個(gè)．(1)從中1次隨機(jī)摸出3個(gè)球，記白球的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的概率分布；(2)從袋子中任取兩個(gè)小球，若其中一個(gè)小球是黑球，求另一個(gè)小球也是黑球的概率.【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）求出的可能值，并求出各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列作答.（2）根據(jù)給定條件，利用條件概率公式計(jì)算作答.【詳解】（1）可能的取值為0，1，2，3，，，，，概率分布列為：0123（2）設(shè)“從袋子中任取兩個(gè)小球，其中一個(gè)小球是黑球”為事件，“另一個(gè)小球也是黑球”為事件，則，

由條件概率公式可得，所以從袋子中任取兩個(gè)小球，若其中一個(gè)小球是黑球，另一個(gè)小球也是黑球的概率為.18．用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．(1)在組成的五位數(shù)中，能被5整除的個(gè)數(shù)有多少？(2)在組成的五位數(shù)中，所有奇數(shù)的個(gè)數(shù)有多少?(3)在組成的五位數(shù)中，數(shù)字1和3相鄰的個(gè)數(shù)有多少?(4)在組成的五位數(shù)中，若從小到大排列，30421排第幾個(gè)?【答案】(1)24(2)36(3)36(4)第54個(gè)【分析】（1）能被5整除的數(shù)的個(gè)位數(shù)字為0，其它位置任意排.（2）先排個(gè)位數(shù)，從兩個(gè)奇數(shù)里選，然后排萬(wàn)位數(shù)，不能為零，剩下其它位置任意排，再按分步乘法計(jì)數(shù)原理得出結(jié)果.（3）把數(shù)字1和3捆綁在一起，1和3可以交換位置，又最高位不為0，先安排0，有3個(gè)位置，其余位置任意排；（4）計(jì)算出比30421小的五位數(shù)的情況，即可知道30421排第幾個(gè).【詳解】（1）能被5整除的數(shù)的個(gè)位數(shù)字為0，其它位置任意排，則有個(gè)；（2）在組成的五位數(shù)中，先排個(gè)位數(shù)，從兩個(gè)奇數(shù)里選，然后排萬(wàn)位數(shù)，不能為零，剩下其它位置任意排.所有奇數(shù)的個(gè)數(shù)有個(gè)；（3）在組成的五位數(shù)中，把數(shù)字1和3捆綁在一起，1和3可以交換位置，又最高位不為0，先安排0，有3個(gè)位置，其余位置任意排，則有個(gè)；（4）比30421小的五位數(shù)，若萬(wàn)位為1或2，其余位置任意排，即，若萬(wàn)位為3，比30421小的有5個(gè)，30124，30142，30214，30241，30412.從小到大排列，30421排第54個(gè).19．已知展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為512，且．（1）求的值；（2）求的值；（3）求被6整除的余數(shù)．【答案】(1)，（2）2，（3）5【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)式定理，由展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為512，可求出，再將代入中，變形可得，則為其展開(kāi)式中的系數(shù)，由二項(xiàng)式定理可得答案；（2）由（1）的結(jié)論，用賦值法，在中令，可求得的值，令，可得的值，從而可得答案；（3）根據(jù)題意，可得，變形可得，由二項(xiàng)式定理展開(kāi)式可得，進(jìn)而由整除的性質(zhì)分析可得答案【詳解】解：（1）因?yàn)檎归_(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為512，所以，解得，因?yàn)?，所以，?）在中，令，則，令，可得，所以（3），，因?yàn)椋ǎ┠鼙?整除，而，即被6整除余數(shù)為5，所以被6整除的余數(shù)為5【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：此題考查二項(xiàng)定理的運(yùn)用，易錯(cuò)點(diǎn)為在（3）中，對(duì)求余數(shù)，根據(jù)，即被6整除余數(shù)為5，考查計(jì)算能力，屬于中檔題20．設(shè)函數(shù)，其中實(shí)數(shù)滿(mǎn)足．(1)若且在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)若，求函數(shù)的極值.【答案】(1)(2)極大值為，極小值為【分析】（1）根據(jù)題意分析可得在上恒成立，利用參變分離結(jié)合恒成立問(wèn)題分析運(yùn)算；（2）由題意可得，代入求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性和極值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，可得，故，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立，可得，故，所以.（2）因?yàn)?，所以，所以，則，令，解得，，可得：x0—0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)的極大值為，極小值為21．水蜜桃是生活中常見(jiàn)的水果之一，適量食用可以增高人體血紅蛋白的含量，補(bǔ)充人體的維生素和膳食纖維，但水蜜桃的外皮較薄，往往小的劃痕都容易造成它的腐爛變質(zhì).某水果批發(fā)市場(chǎng)，在水蜜桃成熟以后進(jìn)行裝箱，每一箱10個(gè)．根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，該種水果每箱含有0，1，2個(gè)壞果的概率分別為，，．(1)現(xiàn)隨機(jī)取三箱該水蜜桃，求三箱水蜜桃中壞果總數(shù)恰有3個(gè)的概率；(2)現(xiàn)隨機(jī)打開(kāi)一箱該水蜜桃，并從中任取2個(gè)，設(shè)X為壞果的個(gè)數(shù)，求X的分布列及期望．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）由題可得三箱中，1箱2個(gè)壞果，1箱1個(gè)壞果；或者3箱各1個(gè)壞果.據(jù)此可得答案.（2）由題可得可取0，1，2，后由題意可得即可得分布列及期望.【詳解】（1）箱水蜜桃中壞果總數(shù)恰有3個(gè)壞果的情況有：有一箱有2個(gè)壞果，一箱有1個(gè)壞果，另外一箱沒(méi)有壞果，或者三箱各有一個(gè)壞果，三箱水果中壞果總數(shù)恰有3個(gè)壞果的概率為（2）由題意可知：可取0，1，2.時(shí)，有可能箱中無(wú)壞果，概率為；有1個(gè)壞果但沒(méi)抽中，概率為；有2個(gè)壞果但沒(méi)抽中，概率為.則；時(shí)，箱中有可能1個(gè)壞果且被抽中，概率為；兩個(gè)壞果但只被抽中1個(gè)，概率為，則；時(shí)，箱中有2個(gè)壞果且被抽中，則.綜上，得分布列如下：012期望為22．已知函數(shù)，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)，對(duì)a進(jìn)行討論，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可求出的單調(diào)性；（2）方法一：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，令，求導(dǎo)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)和零點(diǎn)存在定理，分析其單調(diào)性，根據(jù)隱零點(diǎn)的的關(guān)系求出最小值，轉(zhuǎn)化為，再次換元，令，求導(dǎo)分析單調(diào)性并得到最值，即可求出a；方法二：利用將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，換元后得到新的函數(shù)，求導(dǎo)分析其單調(diào)性，并對(duì)a進(jìn)行討論，即可求解；【詳解】（1）解：的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令解得，所以在上單調(diào)遞增；令解得，所以在上單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）已知