概率論與數(shù)理統(tǒng)計32-離散型隨機變量及其分布律課件

2.2離散型隨機變量及其分布律二、兩點分布三、二項分布四、泊松分布五、幾何分布一、離散型隨機變量的分布律定義如果一個隨機變量僅可能取得有限個或可列個數(shù)值，并且所有的數(shù)可按一定的順序排列，則稱該隨機變量為離散型隨機變量.設(shè)離散型隨機變量X其可能的取值為稱為離散型隨機變量X的概率分布或概率函數(shù)，也稱為分布列或分布律一、離散型隨機變量的分布律表格形式分布列的性質(zhì)：用這兩條性質(zhì)判斷一個函數(shù)是否是分布律概率直方圖另外還可用圖形來表示分布律：線條圖、概率直方圖.0.20.40.60120.0750.3250.6線條圖0.20.40.6012PXPX0.0750.3250.6

012

X例袋中有1個白球和4個黑球，每次不放回地從中任取一個球，直至取得白球為止，求取球次數(shù)的概率分布.解設(shè)X為取到白球時的取球次數(shù)因此,所求的概率分布為123450.20.20.20.20.2解:

依據(jù)分布律的性質(zhì)P(X=k)≥0,

c≥0,從中解得即例設(shè)隨機變量X的分布律為：k=0,1,2,…,試確定常數(shù)c.定義若一個隨機變量只有兩個可能的取值,其分布為且特別地,點分布,即參數(shù)為的兩則稱服從處的兩點分布.參數(shù)為若服從處則稱服從參數(shù)為的分布.二、兩點分布

兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有兩種可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點分布.說明例200

件產(chǎn)品中,有196件是正品,則服從參數(shù)為0.98的兩點分布.于是,4件是次品,今從中隨機地抽取一件,若規(guī)定復(fù)習(xí)：伯努利模型如果一個試驗在給定的條件下獨立重復(fù)n次,且滿足:(1)每次試驗只有兩個可能的結(jié)果:且則稱這樣的試驗為n重伯努利(Bernoulli)試驗(2)每次試驗中事件發(fā)生的概率相等,

定理(伯努利定理)設(shè)在一次試驗中，事件發(fā)生的概率為則在重貝努利試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為三、二項分布定義

若隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,,n,其概率分布為…

性質(zhì)(1)(2)特別地，當(dāng)n=1時即P{X=0}=1-p,P{X=1}=p(0-1)分布二項分布的圖形二項分布中最可能出現(xiàn)次數(shù)則稱為最可能出現(xiàn)的次數(shù)例

一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中只有一個答案是正確．某學(xué)生靠猜測至少能答對4道題的概率是多少？解

則解：將每次射擊看成一次試驗,設(shè)擊中的次數(shù)為X,則X~B(400,0.02),某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.02，獨立射擊400次，求至少擊中兩次的概率。所求概率為泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個數(shù)的情況時,他們做了2608次觀察(每次時間為7.5秒)發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時間內(nèi),其放射的粒子數(shù)X服從泊松分布.電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)地震火山爆發(fā)特大洪水

在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計、保險科學(xué)及公用事業(yè)的排隊等問題中

,泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.隨機變量X所有可能取值為0,1,2,…,取各個值的概率稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記為X~P().(1)P{X=k}0.四、泊松(Poisson)分布性質(zhì)例一輸電網(wǎng)一年中意外輸電中斷的次數(shù)服從參數(shù)為6的Poisson分布，問一年中不多于兩次意外斷電的概率.解設(shè)一年中的意外斷電次數(shù)為X所以,一年中不多于兩次斷電的概率為=0.06197查表(累積概率)二項分布的泊松逼近對二項分布當(dāng)試驗次數(shù)很大時，計算其概率很麻煩.例如，要計算n=5000泊松定理在重伯努利實驗中，事件在每次試驗中發(fā)生的概率為若當(dāng)時，為常數(shù)),則有證明:例

一家商店采用科學(xué)管理,由該商店過去的銷售記錄知道,某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)的泊松分布來描述,為了以95%以上的把握保證不脫銷,問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)該種商品多少件?解設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為已知服從參數(shù)的泊松分布.設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)該種商品件,求滿足的最小的即查泊松分布表,得于是得件.例

設(shè)一只昆蟲所生蟲卵數(shù)為隨機變量

X,已知X~P()，且每個蟲卵發(fā)育成幼蟲的概率為p。設(shè)各個蟲卵是否能發(fā)育成幼蟲是相互獨立的，求一昆蟲所生的蟲卵發(fā)育成幼蟲數(shù)Y

的概率分布。

解一只昆蟲X

個蟲卵Y個幼蟲已知對k用全概率公式得：保險公司為了估計企業(yè)的利潤，需要計算投保人在一年內(nèi)死亡若干人的概率。設(shè)某保險公司的某人壽保險險種有1000人投保,每個人一年內(nèi)死亡的概率為0.005個，試求在未來一年中在這些投保人中死亡人數(shù)不超過10人的概率．對每個人而言，在未來一年是否死亡相當(dāng)于做一次伯努利試驗，1000人就是做1000重伯努利試驗，因此X~B(1000,0.005)，解由泊松定理考慮可列重伯努利試驗，事件A發(fā)生稱為“成功”，①②k-1k稱隨機變量X

服從參數(shù)為

p

的幾何分布。且記為五、幾何分布定理幾何分布的無記憶性設(shè)隨機變量X

服從參數(shù)為p

的幾何分布，則對任何正整數(shù)m、n，有P(X>m+n

|X>m

)=P(X>n

)。證明∵隨機變量

X

服從參數(shù)為p

的幾何分布：P(X=k)=pqk

1

，k=1，2，…（0<p<1，q=1p

）∴對任何正整數(shù)m、n，有反之，具有無記憶性的離散分布一定是幾何分布P29充分性證明交例