高考全國乙卷：《理科數(shù)學(xué)》2022年考試真題與答案解析

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高考全國乙卷：2022年《理科數(shù)學(xué)》考試真題與答案解析一、選擇題本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)全集，集合M滿足，則（）A．B．C．D．[答案]A2．已知，且，其中a，b為實(shí)數(shù)，則（）A．B．C．D．[答案]A3．已知向量滿足，則（）A．B．C．1D．2[答案]C4．嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（）A．B．C．D．[答案]D5．設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（）A．2B．C．3D．[答案]B6．執(zhí)行下邊的程序框圖，輸出的（）A．3B．4C．5D．6[答案]B7．在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（）A．平面平面B．平面平面C．平面平面D．平面平面[答案]A8．已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（）A．14B．12C．6D．3[答案]D9．已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）A．B．C．D．[答案]C10．某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（）A．p與該棋手和甲、乙、丙的此賽次序無關(guān)B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大[答案]C11．雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（）A．B．C．D．[答案]C12．已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，，則（）A．B．C．D．[答案]D

二、填空題本題共4小題，每小題5分，共20分．13．從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為_______．[答案]314．過四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為_______．[答案](x-2)2+(y-3)或(x-4315．記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為_______．[答案]316．己知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是_______．[答案](三、解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17﹣21題為必考題，每題12分，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，每題10分，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分．17．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）證明：；（2）若，求的周長．[答案]（1）證明過程如下：已知sinC·sin(A﹣B)=sinB·sin(C﹣A)化簡得：SinC·SinA·cosB﹣SinC·cosA·sinB=SinB·SinC·cosA﹣SinB·cosC·sinA由正弦定理可得：ac·cosB﹣bc·cosA=bc·cosA﹣ab·cosC即ac·cosB=2bc·cosA﹣ab·cosC由余弦定理可得：aca2（2）證明過程如下：由（1）可知；b2+c所以2bc=31因?yàn)閎所以b+c=9，a+b+c=14所以△ABC的周長為14。18．如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．[答案]（1）證明過程如下：因?yàn)锳D=CD，∠ADB=∠BDC且BD為公共邊，所以△ADB與△BDC全等，有AB=BC。因?yàn)镋是AC中點(diǎn)，且AD=CD，所以DE⊥AC，同理EB⊥AC。又因?yàn)镈E∩BE=E，且均內(nèi)含于平面BED，所以AC⊥平面BED。又因?yàn)锳C?平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD（2）證明過程如下：在△ABC中，AB=2，∠ACB=60°，AB=BC，所以AC=2，BE=3在△ACD中，AD⊥CD，AD=CD，AC=2，E為AC中點(diǎn)，所以DE⊥AC，DE=1又因?yàn)镈E=2，所以DE2+BE2=BD2，即DE⊥BE所以直線AC、ED和EB兩兩相互垂直。由點(diǎn)F在BD上，且△ADB與△BDC全等，所以AF=FC。由于E為AC中點(diǎn)，所以EF⊥AC。當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，EF⊥BD。在Rt△DEB中，因?yàn)锽E=3，DE=1，所以EF=32，BF=3如圖所示，以點(diǎn)E位坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AC、EB、ED分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。C(﹣1,0,0)、A(1,0,0)、B(0,3,0)、D(0,0,1)、F(0,34,3BD=(0,-3,1)，AD=(﹣1,0,1)，BC=(﹣1,-3因?yàn)镃F=BF-BC=34BD-BC設(shè)平面ABD的法向量為m=(x,y,z)可得BD·m=0AD·m=0，設(shè)y=1，所以m=(設(shè)m與CF所成的角為α，CF與平面ABD所成的角為θ。得sinθ=cosα=m?CFm所以，CF與平面ABD所成的角的正弦值為4319．某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)i12345678910總和根部橫截面積0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計(jì)算得．（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)．[答案]（1）設(shè)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為x，平均一個(gè)的材積量為y，則x=y=（2）r=（3）設(shè)從根部面積總和為X，總材積量為Y，則XY故Y=3.90.6×186=1209（20．已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)．（1）求E的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)．[答案]（1）設(shè)E的方程為x2將A、B兩點(diǎn)代入得：4解得a2=3，b2=4。故E的方程為：x2（2）證明過程如下：由點(diǎn)A、B，可得直線AB：y=2①若過P(1,2)的直線的斜率不存在，直線為x=1。代入x23+y24=1，可得M(1,26將y=263代入AB：y=23x-2，可得T由MT=TH，得H(26+5,故直線HN為：y=2-26②若過P(1,﹣2)的直線的斜率存在，設(shè)kx－y－(k+2)=0，M(x1,y1)，N(x2,y2)。聯(lián)立kx得(3k2+4)x2﹣6k(2+k)x+3k(k+4)=0。故有x1+x2=聯(lián)立y=y1y=23x-2，可得T(3y12+3，y1)，H(3解得HN：y-將（*）代入，得24k+12k2+96+48k﹣24k﹣48﹣48k+24k2﹣36k2﹣48=0。顯然成立。綜上，可得直線HN過定點(diǎn)(0,﹣2)。21．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．[答案]（1）y=2x；（2）a＜﹣1。解析過程：略。（二）選考題22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出l的直角坐標(biāo)方程；（2）若l與C有公共點(diǎn)，求m的取值范圍．[答案]（1）由ρsin(θ+π3)+m=0ρ(sinθcosπ3+cosθsinπ3即ρ(12sinθ+32cosθ)+m=0，12y+3故I的方程為：3（2）證明過程如下因?yàn)閤=3得x=3聯(lián)立x=3-32y23x+y+2m=0