2023屆山西省晉中市高三下學期理數(shù)二模試卷及答案

高三下學期理數(shù)二模試卷一、單項選擇題1.集合，那么等于〔

〕A.

B.

C.

D.

2.復數(shù)z滿足，那么〔

〕A.

B.

C.

3

D.

3.向量，且，那么m的值為〔

〕A.

-2

B.

2

C.

4

D.

-2或44.魔方又叫魯比克方塊〔Rubk'sCube〕，是由匈牙利建筑學教授暨雕塑家魯比克·艾爾內(nèi)于1974年創(chuàng)造的機械益智玩具，與華容道、獨立鉆石棋一起被國外智力專家并稱為智力游戲界的三大不可思議．三階魔方可以看作是將一個各面上均涂有顏色的正方體的棱三等分，然后沿等分線把正方體切開所得，現(xiàn)將三階魔方中1面有色的小正方體稱為中心方塊，2面有色的小正方體稱為邊緣方塊，3面有色的小正方體稱為邊角方塊，假設從這些小正方體中任取一個，恰好抽到邊緣方塊的概率為〔

〕A.

B.

C.

D.

5.如圖，一個四棱柱形容器中盛有水，在底面中，，，，側(cè)棱，假設側(cè)面水平放置時，水面恰好過的中點，那么當?shù)酌嫠椒胖脮r，水面高為〔

〕A.

2

B.

C.

3

D.

6.，那么〔

〕A.

B.

C.

D.

7.點F是拋物線的焦點，O為坐標原點，A，B是拋物線E上的兩點，滿足那么〔

〕A.

1

B.

2

C.

3

D.

48.定義在上的函數(shù)滿足，對任意的，，，恒有，那么關(guān)于x的不等式的解集為〔

〕A.

B.

C.

D.

9.長方體的底面是邊長為2的正方形，高為4，E是的中點，那么三棱錐的外接球的外表積為〔

〕A.

12π

B.

20π

C.

24π

D.

32π10.雙曲線的右焦點為F，過點F且垂直于x軸的直線與雙曲線的漸近線交于點A〔A在第一象限內(nèi)〕，以為直徑的圓與雙曲線的另一條漸近線交于點B，假設，那么雙曲線C的離心率為〔

〕A.

B.

C.

D.

211.設，其中，假設對任意的恒成立，那么以下說法正確的選項是〔

〕A.

B.

對任意的有成立

C.

的單調(diào)遞增區(qū)間是

D.

存在經(jīng)過點的直線與函數(shù)的圖象不相交12.假設存在實數(shù)x，y滿足，那么〔

〕A.

-1

B.

0

C.

1

D.

二、填空題13.設x，y滿足，那么的最小值是________，最大值是________．14.曲線與直線相切，那么________．15.過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，那么________．16.如下列圖，在平面四邊形中，，在中，角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，假設，那么的面積為________．三、解答題17.設是各項都為正的單調(diào)遞增數(shù)列，，且滿足關(guān)系式：，．〔1〕求的通項公式；〔2〕假設，求數(shù)列的前n項和．18.現(xiàn)有兩個全等的等腰直角三角板，直角邊長為2，將它們的一直角邊重合，假設將其中一個三角板沿直角邊折起形成三棱錐，如下列圖，其中，點E，F(xiàn)，G分別是的中點．〔1〕求證：平面；〔2〕求二面角的余弦值．19.為了促進電影市場快速回暖，各地紛紛出臺各種優(yōu)惠措施．某影院為回饋顧客，擬通過抽球兌獎的方式對觀影卡充值滿200元的顧客進行減免，規(guī)定每人在裝有6個白球、2個紅球的抽獎箱中有放回的抽球，每次抽取一個，最多抽取3次．抽出1個白球減10元，抽出1個紅球減30元，如果前兩次減免之和超過30元即停止抽獎，否那么抽取第三次．〔1〕求某顧客所獲得的減免金額為40元的概率；〔2〕求某顧客所獲得的減免金額X的分布列及數(shù)學期望．20.設橢圓，O為原點，點是x軸上一定點，橢圓的長軸長等于，離心率為．〔1〕求橢圓的方程；〔2〕直線與橢圓C交于兩個不同點M，N，M關(guān)于y軸的對稱點為，N關(guān)于原點O的對稱點為，假設滿足，求證：直線l經(jīng)過定點．21.函數(shù)〔…是自然對數(shù)的底數(shù)〕．〔1〕假設在內(nèi)有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；〔2〕時，討論關(guān)于x的方程的根的個數(shù)．22.在平面直角坐標系中，圓C的參數(shù)方程為〔為參數(shù)〕以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．〔1〕求圓C普通方程和直線l直角坐標方程；〔2〕點P極坐標為，設直線l與圓C的交點為A，B兩點A，B中點為Q，求線段的長．23.函數(shù)．〔1〕當時，解不等式；〔2〕當時，假設不等式對任意的恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

答案解析局部一、單項選擇題1.【解析】【解答】由題意得集合或，又因為，所以或。故答案為：D

【分析】利用一元二次不等式求解集的方法，進而求出集合B，再利用并集的運算法那么，進而求出集合A和集合B的并集。2.【解析】【解答】因為，所以。故答案為：D．

【分析】利用復數(shù)的乘除法運算法那么求出復數(shù)z，再結(jié)合復數(shù)求模公式，進而求出復數(shù)z的模。3.【解析】【解答】由題意，向量，可得，又由，可得，解得或。故答案為：D．

【分析】利用條件結(jié)合向量的坐標運算，進而求出向量的坐標，再利用數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系，再結(jié)合數(shù)量積的坐標運算，進而求出m的值。4.【解析】【解答】沿等分線把正方體切開得到同樣大小的小正方體共有27個，其中有3個面涂色的小正方體共有8個，只有2個面涂色的小正方體共有12個，只有1個面涂色的小正方體共有6個，所以恰好抽到只有2個面有色的小正方體的概率為。故答案為：C．

【分析】利用條件結(jié)合古典概型求概率公式，進而求出恰好抽到只有2個面有色的小正方體的概率。5.【解析】【解答】設四棱柱的底面梯形的高為，的中點分別為，所求的水面高為h，那么水的體積，所以，故答案為：B。

【分析】設四棱柱的底面梯形的高為，的中點分別為，所求的水面高為h，再利用四棱柱的體積公式，進而求出水的體積，再結(jié)合條件，進而求出水面的高。6.【解析】【解答】因為，所以，從而可得。故答案為：A．

【分析】利用條件結(jié)合二倍角的正弦公式和同角三角函數(shù)根本關(guān)系式，進而化簡求出的值，再利用二倍角的正切公式，進而求出的值。7.【解析】【解答】設，可得①，由，知，所以，②聯(lián)立①②，可得。故答案為：D．

【分析】利用條件結(jié)合拋物線的定義，進而得出①，由，結(jié)合向量的坐標運算和向量相等的判斷方法，進而得出，②再聯(lián)立①②可得p的值。8.【解析】【解答】設，因為對任意的，，，恒有，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，那么在上為增函數(shù)，又，而，所以，所以為奇函數(shù)，綜上所述，為奇函數(shù)，且在上為增函數(shù)，所以不等式等價于，即，亦即，可得，解得。故答案為：B．

【分析】設，因為對任意的，，，恒有，再利用增函數(shù)的定義，判斷出函數(shù)在上為增函數(shù)，那么在上為增函數(shù)，再利用奇函數(shù)的定義判斷出函數(shù)為奇函數(shù)，綜上所述，為奇函數(shù)，且在上為增函數(shù)，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合增函數(shù)的性質(zhì)，進而求出不等式的解集。9.【解析】【解答】如圖，O為中點，M為中點，由題可得，所以為直角三角形，，又因為在三棱錐中，平面，平面，所以外接球球心是的中點O，設球的半徑為R，那么，所以球的外表積。故答案為：B．

【分析】長方體的底面是邊長為2的正方形，高為4，E是的中點，由題可得，再利用勾股定理證出線線垂直，進而判斷出三角形為直角三角形，又因為在三棱錐中，平面，進而推出線面垂直，即平面，所以外接球球心是的中點O，再利用勾股定理求出球的直徑，進而求出球的半徑，再利用球的外表積公式，進而求出球的外表積。10.【解析】【解答】如圖，因為，所以點F在圓上，又因為，所以，而，所以是等腰三角形，又因為，所以，所以，所以。故答案為：A．

【分析】因為，結(jié)合直徑所對的圓周角為直角，得出點F在圓上，又因為，所以，而，所以是等腰三角形，再利用條件求出的值，再利用正切函數(shù)的定義，進而求出a,b的關(guān)系式，再利用雙曲線中a,b,c三者的關(guān)系式結(jié)合離心率公式變形，進而求出雙曲線的離心率。11.【解析】【解答】，又因為，由題意對任意的恒成立，且，所以對任意的恒成立，即恒成立，由根本不等式可知，此時，所以．對于A選項，，，所以，A不符合題意；對于B選頊，因為，所以不妨令，解得，當時，，所以是的對稱中心，B符合題意；對于C選項，由，知，C不正確；對于D選項，由題知，要使經(jīng)過點的直線與函數(shù)的圖象不相交，那么此直線與橫軸平行，又的振幅為，所以直線必與的圖象有交點，D不正確．故答案為：B.

【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)為正弦型函數(shù)，再利用對任意的恒成立，結(jié)合不等式恒成立問題求解方法，進而結(jié)合代入法推出；再利用換元法將正弦型函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的圖像求出正弦型函數(shù)的對稱中心，再利用函數(shù)的圖像的對稱性，進而推出對任意的有成立；再利用換元法將正弦型函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的圖像求出正弦型函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；由題知，要使經(jīng)過點的直線與函數(shù)的圖象不相交，那么此直線與橫軸平行，再利用正弦型函數(shù)的振幅的定義，進而推出直線必與的圖象有交點，進而判斷出說法正確的選項。12.【解析】【解答】令函數(shù)，可得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以當，可得，令函數(shù)，那么，當且僅當時取等號，又由，所以，所以，所以。故答案為：C.

【分析】令函數(shù)，再利用求導的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而求出函數(shù)的最大值，再令函數(shù)，再結(jié)合均值不等式求最值的方法，進而求出，又由，所以，進而求出x,y的值，從而求出x+y的值。二、填空題13.【解析】【解答】如下列圖，不等式組滿足的平面區(qū)域為陰影局部所示區(qū)域，設，當經(jīng)過點時，取到最小值,當經(jīng)過點時，取到最大值。故答案為：，。

【分析】利用二元一次不等式組畫出可行域，再利用可行域找出最優(yōu)解，再利用最優(yōu)解求出線性目標函數(shù)的最值。14.【解析】【解答】由題意，函數(shù)，可得，設切點為，那么，因為曲線與直線相切，可得，即，①又由，即切點為，可得，②聯(lián)立①②，可得。故答案為：1。

【分析】設切點為，再利用求導的方法求出曲線再切點處的切線的斜率，再利用點斜式求出曲線在切點處的切線方程，再利用條件曲線與直線相切，進而求出a的值。15.【解析】【解答】由得，所以圓心，半徑為1，所以，，，所以。故答案為：。

【分析】利用圓的一般方程轉(zhuǎn)化為圓的標準方程，進而求出圓心坐標和半徑長，再利用條件，所以，，，再結(jié)合數(shù)量積的定義，進而求出數(shù)量積的值。16.【解析】【解答】解：∵，∴在等腰直角中，在中，由余弦定理得，又因為，∴，又因為，∴，∴，作分別交于點F，E，∵，E，F(xiàn)分別為線段的中點，∴，∴。故答案為：。

【分析】因為，所以在等腰直角中，，在中，由余弦定理結(jié)合條件，所以，又因為，所以，再利用勾股定理判斷出兩直線垂直，即，作分別交于點F，E，再利用中點的性質(zhì)結(jié)合三角形面積之間的關(guān)系，再結(jié)合三角形面積公式，進而求出三角形的面積。三、解答題17.【解析】【分析】〔1〕利用條件結(jié)合遞推公式變形和數(shù)列是各項為正的單調(diào)遞增數(shù)列，進而推出，再利用等差數(shù)列的定義，推出數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項公式，進而求出數(shù)列的通項公式。

〔2〕利用〔1〕求出的數(shù)列的通項公式結(jié)合，進而求出數(shù)列的通項公式，再利用裂項相消的方法，進而求出數(shù)列的前n項和。18.【解析】【分析】〔1〕根據(jù)得，又因為點G為的中點，再結(jié)合等腰三角形三線合一，所以，因為，G為的中點，再結(jié)合等腰三角形三線合一，所以，再利用線線垂直證出線面垂直，即平面．又因為，進而證出平面。

〔2〕因為，再利用線線垂直證出線面垂直，所以平面，取中點H，連接，那么平面，又因為，所以以H為原點，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，進而求出點的坐標，再利用向量的坐標表示求出向量的坐標，再利用數(shù)量積求向量夾角公式，進而求出二面角的余弦值。19.【解析】【分析】〔1〕利用條件結(jié)合互斥事件求概率公式，進而求出某顧客所獲得的減免金額為40元的概率。

〔2〕利用條件求出隨機變量X的可能的取值，再利用條件結(jié)合求概率的方法，進而求出隨機變量X的分布列，再利用隨機變量X的分布列結(jié)合數(shù)學期望公式，進而求出某顧客所獲得的減免金額X的數(shù)學期望。20.【解析】【分析】〔1〕由題意，橢圓且長軸長等于，離心率為，再利用長軸的定義和離心率公式，進而解方程組求出a,c的值，再利用橢圓中a,b,c三者的關(guān)系式，進而求出b的值，從而求出橢圓的標準方程。

〔2〕利用