高數(shù)二復(fù)習2無窮級數(shù)

高等數(shù)學A(二)總復(fù)習上海大學理學院數(shù)學系

崔洪泉無窮級數(shù)第二部分無窮級數(shù)(比較、比值、根值法)—收斂半徑、收斂域、和函數(shù)、函數(shù)展開成冪級數(shù)級數(shù)斂散的定義與性質(zhì)部分和數(shù)列{Sn}與級數(shù)一般項un的關(guān)系(C)+(C)=(C)(C)+(D)=(D)(D)+(D)不確定性質(zhì)：（級數(shù)收斂的必要條件）反之不真！判別級數(shù)的斂散性一、正項級數(shù)1.比較審斂法及其極限形式用同階無窮小階的思想把級數(shù)與

P-級數(shù)(C)(D)等比級數(shù)進行比較。p>1,(C)(D)[大的(C)小的也(C)][小的(D)大的也(D)]比較審斂法：

比較審斂法的極限形式:

設(shè)正項級數(shù)，比值審斂法則當斂散性不定比(根)值審斂法失效時，用比較審斂法。（或根值審斂法）2.交錯級數(shù)例題討論一、選擇題(A)(B)(C)(D)C(A)一定發(fā)散；(B)斂散性不定；(C)必收斂于0；(D)D一般：可拆成此種形式的級數(shù)才用求部分和數(shù)列的極限來判別斂散。(A)(B)(C)(D)3.下列級數(shù)中收斂的是().(用極限形式無結(jié)果)D4.下列級數(shù)中發(fā)散的是().(A)(B)(C)(D)C5.下列級數(shù)中條件收斂的是().(A)(B)(C)(D)D即反之不成立。(A)一定絕對收斂；(B)一定條件收斂；(C)一定發(fā)散；(D)可能收斂可能發(fā)散。并舉例說明反之不成立。D=0,(A)(B)(C)(D)以上都不對。

B

判別下列級數(shù)的斂散性：解：a為正項級數(shù)。用比值法為正項級數(shù),用根值法法1：用比較法：法2：為正項級數(shù),為正項級數(shù),解：(若用比值法，極限=1)用比較法的極限形式>?(C)+(D)()=(D)(A.C)(C.C)(A.C)+(C.C)=(C.C)函數(shù)項級數(shù)(C)(D)1

x1-

x冪級數(shù)

阿貝爾定理冪級數(shù)顯然是冪級數(shù)的收斂點。在其收斂域內(nèi)是絕對收斂的級數(shù)。收斂區(qū)間:求型冪級數(shù)的收斂半徑：收斂區(qū)間:討論端點處的斂散確定收斂域。求型冪級數(shù)的收斂半徑：由比值法：收斂區(qū)間:()例題討論一、選擇題：則該級數(shù)在x=1處().(A)發(fā)散；(B)絕對收斂；(C)條件收斂；(D)斂散性無法確定。x.0.-2.2.1B則其收斂半徑(A)發(fā)散；(B)絕對收斂；(C)條件收斂；(D)斂散性無法確定。B則該級數(shù)在x=5處().則問題為則該級數(shù)在t=3處().(A)(B)(C)(D)C二、填空題：2且收斂半徑不變。R由公式求得R=a.冪級數(shù)的運算1）加減法1.代數(shù)運算2)乘法3)除法2.分析運算

性質(zhì)1.冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域內(nèi)連續(xù).

性質(zhì)2.冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域內(nèi)可導，且有逐項求導公式:

（反復(fù)用上述結(jié)論，可知S(x)在收斂域內(nèi)有任意階導數(shù)）

性質(zhì)3.冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域內(nèi)可積，且有逐項積分公式：

雖然收斂半徑不變，但在端點處的斂散性可能會改變。求積后所得冪級數(shù)的收斂域不小于原級數(shù)的收斂域。一般，求導后所得冪級數(shù)的收斂域不大于原級數(shù)的收斂域。先求導后積分時要判別端點處的斂散性。1.利用逐項求導，逐項積分公式求冪級數(shù)的和函數(shù)1先求導后積分：分母中有n,分子上有n,先積分后求導：收斂域與原級數(shù)的相同。2.利用已知冪級數(shù)展開式(或恒等變形后用)例題討論一、選擇題：(A)(B)(C)(D)(-1)B解：先求導，？x0先求導后積分時要判別端點處的斂散性。求函數(shù)的冪級數(shù)展開式1.利用已知冪級數(shù)展開式——利用間接法2.利用逐項求導，逐項積分公式注意：勿忘寫出收斂域！3.恒等變形后，利用上述方法解：？解：解：解：？+1+15.分析：無現(xiàn)成冪級數(shù)可利用，化分母為一次式，先求積。解：6.利用函數(shù)冪級數(shù)展開式的唯一性，解：由冪級數(shù)唯一性，F(xiàn)ourier級數(shù)展開的F—級數(shù)為：其中F—系數(shù)顯然，當x

是f(x)的連續(xù)點時f(x)當x

是f(x)的間斷點時傅立葉級數(shù)的和函數(shù)：注意：和函數(shù)的函數(shù)值：x0:

收斂點在[0,l]

上定義的函數(shù)展開成(作奇延拓)正弦級數(shù)與余弦級數(shù)(作偶延拓)正弦級數(shù)：余弦級數(shù)：求F—級數(shù)的步驟：1.

根據(jù)題目要求，必須明確l=?2.

根據(jù)題目要求，寫出an,bn關(guān)于l

的公式(即在公式內(nèi)代入l

與n)；3.

在公式中填入題中所給的函數(shù)f(x);4.

寫出

符合題目要求的關(guān)于l

的F—展開式，寫出和函數(shù)；5.計算積分，求出an,bn；6.在F—展開式中填入相應(yīng)的an,bn,(注意周期與非周期,連續(xù)點與間斷點)寫出完整的F—級數(shù)(正弦或余弦)及和函數(shù)。例題討論一、選擇題：(A)(B)(C)(D)0xs(x)..。。。。。。。。。....B二、填空題：將其展開為周期T=4的余弦級數(shù)為__________________。其中系數(shù)(不必計算)an=_______________,bn=_________,設(shè)其和函數(shù)為S1(x),則S1(4)=___________。22220..0xS(x).S1(0)=0l=2x2..0xS(x).(2)若將其展開為周期T=2的F—級數(shù)，其中系數(shù)(不必計算)an=_______________,bn=______________,設(shè)其和函數(shù)為S2(x),則S2(4)=___________。則展開式為__________________________。l=1x2x2.S2(2)=2三、計算題(1)若將其展開為正弦級數(shù)求其中系數(shù)b2.(2)