2018-2019高中數(shù)學(xué)第二章隨機(jī)變量及其分布2-3-1離散型隨機(jī)變量的均值隨堂達(dá)標(biāo)驗(yàn)收新人教A版選修2-

2-3-1離散型隨機(jī)變量的均值1．若隨機(jī)變量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，則P(ξ＝1)的值是()4544[解析]因?yàn)棣巍獴(n,0.6)，所以E(ξ)＝nn＝3，解得n＝5，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,5)44.[答案]C2．設(shè)ξ的分布列為ξ1234Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,3)又設(shè)η＝2ξ＋5，則E(η)等于()A.eq\f(7,6)B.eq\f(17,6)C.eq\f(17,3)D.eq\f(32,3)[解析]E(ξ)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(1,3)＝eq\f(17,6)，E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×eq\f(17,6)＋5＝eq\f(32,3).[答案]D3．同時(shí)拋擲5枚均勻的硬幣80次，設(shè)5枚硬幣正好出現(xiàn)2枚正面向上，3枚反面向上的次數(shù)為X，則X的均值是()A．20B．25C．30D．40[解析]拋擲一次正好出現(xiàn)3枚反面向上，2枚正面向上的概率為eq\f(C\o\al(2,5),25)＝eq\f(5,16)，所以X～eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(80，\f(5,16)))，故E(X)＝80×eq\f(5,16)＝25.[答案]B4．馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下表：x123P(ξ＝x)？！？請小牛同學(xué)計(jì)算ξ的數(shù)學(xué)期望．盡管“！”處完全無法看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此，小牛給出了正確答案E(ξ)＝________.[解析]令“？”為a，“！”為b，則2a＋b＝1，∴E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a[答案]2課內(nèi)拓展課外探究1．常用分布的均值(1)兩點(diǎn)分布由數(shù)學(xué)期望的定義可以知道，若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，則E(X)＝1×p＋0×(1－p)＝p，這表明在一次兩點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量X的期望取值為p.已知隨機(jī)變量ξ滿足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝0)＝0.7，則E(ξ)＝()A．0.3C．0.7D．1[解析]根據(jù)題意知隨機(jī)變量ξ服從兩點(diǎn)分布，所以E(ξ[答案]A[點(diǎn)評]兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量的取值為0,1，均值E(ξ)＝p×1＋(1－p)×0＝p.(2)二項(xiàng)分布設(shè)離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，由X的分布列P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pkqn－k，k＝0,1,2，…，n和數(shù)學(xué)期望的定義式得到E(X)＝0×Ceq\o\al(0,n)p0qn＋1×Ceq\o\al(1,n)p1qn－1＋2×Ceq\o\al(2,n)p2qn－2＋…＋k·Ceq\o\al(k,n)pkqn－k＋…＋n·Ceq\o\al(n,n)pnq0＝np·(Ceq\o\al(0,n－1)p0qn－1＋Ceq\o\al(1,n－1)p1qn－2＋…＋Ceq\o\al(k－1,n－1)pk－1·q(n－1)－(k－1)＋…＋Ceq\o\al(n－1,n－1)pn－1q0)＝np(p＋q)n－1＝np，所以E(X)＝np.注意：在上述證明中運(yùn)用了公式kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1).一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示．將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立．(1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率；(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E(X)．[解](1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”，A2表示事件“日銷售量低于50個(gè)”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)”，因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6.P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值為0,1,2,3，相應(yīng)的概率為P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)·(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)2(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)3＝0.216.分布列為X0123P因?yàn)閄～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8.(3)超幾何分布若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布，則E(X)＝eq\f(nM,N).注意：超幾何分布的期望公式證明如下：由公式kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1)立刻可以得到Ceq\o\al(M,N)＝eq\f(N,M)Ceq\o\al(M－1,N－1).下面我們來求超幾何分布的期望，設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布，則X的分布列為P(X＝m)＝eq\f(C\o\al(m,n)C\o\al(M－m,N－n),C\o\al(M,N))(m＝0,1，…，l，l為n和M中較小的一個(gè))．同二項(xiàng)分布類比，我們猜想它的期望可能是n·eq\f(M,N).由數(shù)學(xué)期望的定義式得E(X)＝eq\i\su(m＝0,l,m)·P(X＝m)＝eq\i\su(m＝0,l,m)·eq\f(C\o\al(m,n)C\o\al(M－m,N－n),C\o\al(M,N))＝eq\i\su(m＝1,l,)eq\f(m·C\o\al(m,n)·C\o\al(M－m,N－n),C\o\al(M,N))＝eq\i\su(m＝1,l,n)·Ceq\o\al(m－1,n－1)·eq\f(M,N)·eq\f(C\o\al(M－m,N－n),C\o\al(M－1,N－1))＝n·eq\f(M,N)·eq\i\su(m＝1,l,C)eq\o\al(m－1,n－1)·eq\f(C\o\al(M－m,N－n),C\o\al(M－1,N－1))＝n·eq\f(M,N)·eq\i\su(i＝0,l－1,C)eq\o\al(i,n－1)·eq\f(C\o\al(M－1－i,N－1－n－1),C\o\al(M－1,N－1))(令m－1＝i)＝n·eq\f(M,N).上式中Ceq\o\al(i,n－1)·eq\f(C\o\al(M－1－i,N－1－n－1),C\o\al(M－1,N－1))可以看作N－1件產(chǎn)品中有n－1件次品，從中任取M－1件(M≤N)，其中恰有i件次品的概率，所以對于i＝0,1，…，l－1求和得1.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù)，(1)求X的均值；(2)求“所選3人中女生人數(shù)X≤1”的概率．[解]解法一：(1)依題意知，X的可能取值為0、1、2，且P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,2)·C\o\al(3－k,4),C\o\al(3,6))，k＝0,1,2，故X的分布列如下表所示.X012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)從而E(X)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(1,5)＝1.(2)P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)＝eq\f(4,5).解法二：(1)依其數(shù)學(xué)模型知，X服從超