數(shù)列的極限與無窮大量課件

Chapt2數(shù)列與極限

嚴(yán)格的證明是數(shù)學(xué)的標(biāo)志,這是數(shù)學(xué)對(duì)于文化修養(yǎng)所提供的不可缺少的營養(yǎng),一個(gè)學(xué)生若對(duì)數(shù)學(xué)證明從未留下印象,那他就缺少了一種基本的思維經(jīng)歷.---波利亞(Polya,G.)

數(shù)學(xué)的主要目標(biāo)是大眾的利益和對(duì)自然現(xiàn)象的解釋.---傅里葉(Fourier,J.B.J.)Chapt2.極限與連續(xù)''''2023/6/71

本章主要內(nèi)容

§1.數(shù)列極限和無窮大§2.函數(shù)的極限§3.連續(xù)函數(shù)§4.無窮小量和無窮大量的階Chapt2.極限與連續(xù)''''2023/6/72Chapt2.極限與連續(xù)

教學(xué)目的:

本章討論的極限與連續(xù)概念和性質(zhì),是貫穿數(shù)學(xué)分析課程的基本方法與工具.后面全部內(nèi)容的研究都要用到.所以這部分內(nèi)容既是重點(diǎn)同時(shí)也是難點(diǎn).

教學(xué)要求:

務(wù)必深刻理解和熟練掌握極限與連續(xù)的概念和性質(zhì)及其運(yùn)算方法,這是學(xué)好本課程的基礎(chǔ)與關(guān)鍵.''''2023/6/73本節(jié)內(nèi)容

一、數(shù)列極限的定義二、數(shù)列極限的性質(zhì)三、數(shù)列極限的運(yùn)算四、單調(diào)有界數(shù)列五、無窮大量的定義六、無窮大量的性質(zhì)和運(yùn)算七、小結(jié)思考題''''2023/6/74“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——?jiǎng)⒒?、割圓求周播放

極限思想：三國時(shí)期，數(shù)學(xué)家劉徽應(yīng)用極限方法訂正、計(jì)算圓周率圓周長割圓術(shù)！''''2023/6/75討論圓內(nèi)接正多邊形與該圓周的關(guān)系已知圓內(nèi)接正多邊形的周長未知的圓周長（1）在任何有限的過程中，即對(duì)任何確定的n，皆為的近似值；（2）在無限的過程中，即當(dāng)n無限增大時(shí)，無限接近于常數(shù)的精確值。是當(dāng)n無限增大時(shí)的極限''''2023/6/76圓面積亦如此。啟示：已知與未知有限與無限近似與精確直線與曲線''''2023/6/772、截丈問題“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”''''2023/6/78一、數(shù)列極限的定義1.數(shù)列:是按一定次序排列的一列無窮多個(gè)數(shù)

LL,,,,21nxxx

數(shù)列是定義在自然數(shù)集N上的函數(shù)。即以N為定義域并且由小到大取值所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值(集合)。對(duì)，設(shè)，則函數(shù)值：自變量：}{nx，表示為數(shù)列為第n項(xiàng)或通項(xiàng)。''''2023/6/79例如：01擺動(dòng)！無限增大!考慮數(shù)列(以下例定性\定量分析)''''2023/6/710播放定性分析：當(dāng)n無限增大時(shí)，無限趨近于1，數(shù)1即所謂的“極限”。''''2023/6/711定量分析：無限趨近于1是指：當(dāng)n充分大時(shí),能任意小，并保持任意小。例如：即自然數(shù)10，當(dāng)n>10時(shí)，有……''''2023/6/712由不等式有，故只須即可。以上還不能說明任意小，并保持任意小，畢竟它們都還是確定的數(shù)。自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，便有定量定義：則稱數(shù)1是的極限。''''2023/6/713若數(shù)列不存在極限,則稱數(shù)列是發(fā)散的.如是發(fā)散數(shù)列.''''2023/6/714３、數(shù)列極限的幾何解釋:''''2023/6/715鄰域法定義可見：數(shù)列是否有極限，只與它從某一項(xiàng)以后有關(guān)，而與它前面的有限個(gè)項(xiàng)無關(guān)。因此，在討論數(shù)列極限時(shí)，可添加、去掉或改變其有限個(gè)項(xiàng)的數(shù)值，對(duì)數(shù)列收斂性和極限都無影響。？''''2023/6/716（2）N的存在性與非唯一性，且N僅與有關(guān)而與n無關(guān)。（1）正數(shù)絕對(duì)的任意性和相對(duì)固定性。4、關(guān)于數(shù)列極限定義的幾點(diǎn)理解（3）當(dāng)時(shí)，即以零為極限的數(shù)列稱為無窮小量。無窮小量不是很小的量。''''2023/6/717''''2023/6/718例1證:方法1：直接解不等式數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.注意：(不妨設(shè))''''2023/6/719例2證：放大''''2023/6/720小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.方法2：若不易求解，可設(shè)法先把適當(dāng)?shù)胤糯?，再由求解N.''''2023/6/721證明：分三種情況證明.(方法一)或(這里即不是最小的N)''''2023/6/722（方法二）由二項(xiàng)式定理，有''''2023/6/723''''2023/6/724''''2023/6/725縮小分母，適當(dāng)放大''''2023/6/726''''2023/6/727''''2023/6/728※''''2023/6/729()bax()二、數(shù)列極限的性質(zhì)定理1所指出的實(shí)質(zhì)問題是兩個(gè)收斂數(shù)列的極限大小與這兩個(gè)數(shù)列的充分遠(yuǎn)片段中項(xiàng)的大小的關(guān)系問題。''''2023/6/730推論1所指出的實(shí)質(zhì)問題是兩個(gè)收斂數(shù)列的充分遠(yuǎn)片段中項(xiàng)的大小與這兩個(gè)數(shù)列的極限大小的關(guān)系問題。''''2023/6/731推論2特殊情況所指出的實(shí)質(zhì)問題是一個(gè)收斂數(shù)列的極限符號(hào)與這個(gè)數(shù)列的充分遠(yuǎn)片段中項(xiàng)的符號(hào)的關(guān)系問題。''''2023/6/732Th2.（唯一性）收斂數(shù)列的極限是唯一的。''''2023/6/733稱“兩邊夾”法則證畢Th3所指出的問題的實(shí)質(zhì)是三個(gè)收斂數(shù)列的極限之間的關(guān)系。''''2023/6/734''''2023/6/735由兩面夾法則，得證。由兩面夾法則，得證。放大''''2023/6/736分析：觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出定理給出的結(jié)構(gòu)形式，然后應(yīng)用定理。*由兩面夾法則，得證。''''2023/6/737Def:''''2023/6/738''''2023/6/739

Th4.

有極限（收斂）的數(shù)列是有界的。舉出反例即可。''''2023/6/740三、數(shù)列極限的運(yùn)算（常數(shù)）''''2023/6/741''''2023/6/742''''2023/6/743注1.兩數(shù)列收斂僅是極限運(yùn)算成立的充分條件，而非必要條件。例如：''''2023/6/744注2.

極限運(yùn)算可推廣到有限多個(gè)數(shù)列的情形，但對(duì)無窮多個(gè)卻不成立。''''2023/6/745''''2023/6/746''''2023/6/747''''2023/6/748''''2023/6/749四.單調(diào)有界數(shù)列Def:若等號(hào)都不成立，則稱它是嚴(yán)格單調(diào)增加（或減少）的。Th（實(shí)數(shù)連續(xù)性）

單調(diào)有界數(shù)列必有極限。''''2023/6/750※放大''''2023/6/751※''''2023/6/752

五、無窮大量的定義

Def:''''2023/6/753極限含義的差別。(記號(hào)統(tǒng)一)注)).O-GGx''''2023/6/754''''2023/6/755''''2023/6/756''''2023/6/757六、無窮大量的性質(zhì)和運(yùn)算Th.''''2023/6/758''''2023/6/759''''2023/6/7