2021屆高考廣州市二模數(shù)學試題及答案

廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（二）

數(shù)學

（本試卷共6頁，22小題，滿分150分.考試時間120分鐘.）

注意事項：

1.答卷前，考生必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號填寫在答

題卡相應的位置上.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題同的答案標號涂黑；如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，涉及作圖的題目，用2B鉛筆畫

圖.答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的

答案，然后再寫上新的答案；改動的答案也不能超出指定的區(qū)域.不準使用鉛筆、圓

珠筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個

選項中，有一項是符合題目要求的）

1.已知集合尸={小<3},Q={x\-2<x<2},則（）

A.PQQB.QQPC.PCQ=PD.P<JQ=Q

2.某中學甲、乙、丙、丁四名學生去A、B、C、D四個社區(qū)展開“厲行節(jié)約，

反對餐飲浪費”宣傳活動，每名學生只去一個社區(qū)，每個社區(qū)一名學生。甲說

我不去A社區(qū)，乙說我不去A社區(qū)也不去D社區(qū)，丙說我不去B社區(qū).若甲、

乙、丙三人中只有甲和乙說了真話，則去D設區(qū)的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

3.已知Z1,Z2都是復數(shù),z2的共規(guī)復數(shù)為Z2,下列命題中，真命題的是

（）

A.若㈤二卜],則Z]=Z2B.若Z]>Z2，則㈤>團

C.若Z]=Z2,貝Z1=z2D.若Zj=Z2，則Z]+Z2為實數(shù)

4.已知第二象限角。的終邊上有兩點A(-1,a),B(6,2),且cos6+3sine=0,

則3a~b=()

A.-7B.-5C.5D.7

第1頁，共18頁

5.(尤2+i)(2x」)6展開式的常數(shù)項是()

X

A.160B.100C.-100D.-160

6.已知函數(shù)/(x)=x/+土，M/(l+tz)4-/(-?2+?+2)>0,則a的取值范圍是

ex

()

A.(-oo,-l)u(3,+oo)B.(-1,3)

C.(-oo,-3)u(1,+oo)D.(-3,1)

7.學生到工廠參加實踐勞動，永薄鐵皮制作一個圓柱體，圓柱體的全面積為

8萬，則該圓柱體的外接球的表面積的最小值是（）

A.4（6-1）乃B.8（逐一1）4C.4（百+1）4D.8（6+1）乃

8.如圖，有一種變壓器，鐵芯的截面是正十字形（陰影

部分，其中矩形ABCD繞其對稱中心，按順時針方向旋轉(zhuǎn)

90度后與矩形EFGH重合），已知AB=2,正十字形有一個

外接圓，從外接圓內(nèi)部隨機取一點，此點取自正十字形的

概率為2（占T）,則tanNACD=（）

71

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,

有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.）

9.2020年，中國經(jīng)濟在疫情阻擊戰(zhàn)的基礎上

實現(xiàn)了正增長，國內(nèi)生產(chǎn)總值首次突破百萬

1200000

億大關(guān).根據(jù)中國統(tǒng)計局官方提供的數(shù)據(jù)，

2010年~2020年，中國國內(nèi)生產(chǎn)總值（單1000000

位：億元）的條形圖和國內(nèi)生產(chǎn)總值年增長(00000

率（YoY）的折線圖如圖，根據(jù)該圖，下列結(jié)MOOOO

論正確的是（）400000

200000

0

A.2017年國內(nèi)生產(chǎn)總值的年增長率最大

B.20n年國內(nèi)生產(chǎn)總值的年增長率最大

C.這11年國內(nèi)生產(chǎn)總值的年增長率不斷減小

D.這11年國內(nèi)生產(chǎn)總值的年增長率逐年增長

第2頁，共18頁

2

10.過雙曲線C:r土-丁=1的左焦點F作直線/交。于A、B兩點，則()

4

A.若則直線/只有1條B.若|AB|=2,則直線/有2條

C.若|A8|=3,則直線，有3條D.若|AB|=4,則直線，有4條

11.如圖，四棱錐P—ABCD的底面為矩形，PD,底面ABCD,AD=1,PD=AB=2,點

E是PB的中點，過ADE三點的平面a與平面PBC的交線為則()

A.，〃平面PAD

B.〃平面PCD

C.直線PA與1所成角的余弦值為世

5

D.平面。截P—ABCD四棱錐所得的上、下兩部分幾

何體的體積之比為3

5

—4%2+1,%G—,一

22

12.對于函數(shù)/(%)=<,則下列結(jié)論正確的是()

1/(x-2),xe

A.任取工%2G一;，+°°)，都有|/(石)-/(%2)|<2恒成立

B-/(0)+/(2)+/(4)+/(6)-+/(2020)=2一薪

C.對任意xX),不等式/(%)?&恒成立，則實數(shù)〃的取值范圍是［1,+8)

x/

D.函數(shù)y=/(%)-ln(x-；)有且僅有2個零點

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.)

13.已知等差數(shù)列｛a“｝滿足q=2,a4+tz5=10,則log2a6=

14.在aABC中，ZABC=90°,AB=VLAC=3,點D在AC上，且AD=2DC,則

BDAC=

第3頁，共18頁

71

15.若直線y=—2x+§與曲線y=-or相切，則a=

*+丁

16.已知橢圓C:=1的兩個焦點為F（-2,0）和F2（2,0）.直線/過點

F”F?點關(guān)于直線/對稱點A在C上，且彳+2次）?記=8,則。的方程為

四、解答題（本大題共6小題，滿分70分.解答應寫出文字說明、證明過程

或演算步驟.）

17.（本題滿分10分）

已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S〃，q=l,5?+I+2S?_1=3S?（H>2）.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）令么=」必1-,求數(shù)列低｝的前〃項和2

18.（本題滿分12分）

如圖，在四邊形ABCD中，ZiBCD是等腰直角三角形，ZBCD=90°,

ZADB=90°,sinZADB=—,BD=2,AC與BD交于點E.

5

⑴求sinZACD；

(2)求AABE的面積.

第4頁,共18頁

19.（本題滿分12分）

習近平總書記指出：在扶貧的道路上，不能落下任何一個貧困家庭，丟下一

個貧困群眾.根據(jù)相關(guān)統(tǒng)計，2010年以后中國貧困人口規(guī)模呈逐年下降趨勢，

2011年?2019年，全國農(nóng)村貧困發(fā)生率的散點圖如下：

年代代圻，

注：年份代碼I-9分別對應年份2011年?2019爾

（1）求y關(guān)于1的回歸直線方程（系數(shù)精確到0.01）；

（2）已知某貧困地區(qū)的農(nóng)民人均年純收入X（單位：萬元）滿足正態(tài)分布

N（1.6,0.36）,若該地區(qū)約有97.72%的農(nóng)民人均年純收入高于該地區(qū)最低人

均年純收入標準，則該地區(qū)最低人均年純收入標準大約為多少萬元？.

參考數(shù)據(jù)與公式：￡9y=54.2,9=183.6

z=l/=1

n___

人人人人Z'，一"y

回歸方程尸"十司中斜率和截距的最小二乘估計分別為6二上二——

Eu-o2

/=1

，a=y-bx.若隨機變量才服從正態(tài)分布N（H,k），則〃（〃一?！?

。）弋0.6826；

〃（〃-2cW啟〃+2。）-0.9544；尸（〃一3aW啟〃+3。）-0.9974.

第5頁，共18頁

20.(本題滿分12分)

如圖，三棱柱ABC—AB3的側(cè)面BBCC是菱形，ZABB^ZABC.

(1)求證：BiC_L平面ABC；

(2)若BB尸B,C=2,AB=AC,,且二面角氏一AB—C為直二面角，求三棱錐口一

ABBi的體積.

21.(本題滿分12分)

已知拋物線C：x=2py(p>0)上的點到點A(0,0)的距離的最小值為2.

(1)求。的方程；

(2)若點F是。的焦點，過F作兩條相互垂直的直線心與。交于M,N兩

點，與。交于P,Q兩點，線段MN,PQ的中點分別是S,T,是否存在定圓使得

直線ST截該圓所得的線段長為定值？若存在，寫出一個定圓的方程；若不存

在，請說明理由.

22.(本題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=ln(x+1)+a(x-1)2(a>0).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)證明：對任意〃eN*,都有1+W+?+…+絲］〈-7sL

2232n2而T

第6頁，共18頁

2021年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試(二)

數(shù)學試題參考答案及評分標準

評分說明：

1.本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題

的主要考查內(nèi)容比照評分參考制訂相應的評分細則.

2.對計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的

內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的

一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.

3.解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù).

4.只給整數(shù)分數(shù).選擇題不給中間分.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

題號12345678

答案BADDCBBC

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

9.BD10.ABD11.ACD12.B

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

X2y2

13.314.315.316.—+—=1

1612

四、解答題：本題共6小題，共70分.

17.(1()分)

(1)解法1：由黑1+2s,i=3S“(〃N2)，得S“=2⑸一S,T),..............1分

得a,-]=2a“(〃\2),....................2分

即也=2(〃22),....................3分

an

因為｛?｝是等比數(shù)列，所以4=2.....................4分

因為4=1,

所以4=2"T.....................5分

解法2:由Se+2S,i=3S”(〃N2),W-S3+25,=352,....................1分

得q+42+生+24=3(q+%)，....................2分

第7頁，共18頁

整理得生=2氏，即6=2.....................3分

a2

因為｛%｝是等比數(shù)列，所以q=&=2.....................4分

。2

因為4=1,

所以a“=2"T.....................5分

解法3：設等比數(shù)列｛4｝的公比為q,

若q=l,由于4=1,則％=1,Sn=n.....................［分

因而Sn+l+2S,i=(〃+1)+2(〃-1)=3〃—1。3S“(〃N2),與題設號川+2s,一=3S“(〃22)矛盾，

所以qwl.....................2分

由S.M+2S“T=3S”（〃22）,

l-<7n+lcI-/l-"

Z得H-------b2x------=3x----q--,....................3分

\-ql-q1-</

解得q=2.....................4分

因為4=1,所以q=2"」....................5分

1-2"

（2）解法1：由（1）得S“=n=2"-1.....................6分

則S〃+I=2"M—1.....................7分

S5+「（2"—1）（2"J1）一2"—1一2向—1

--------------+-----------------+.?,+-------------------9分

（2-122-1）^22-123-1）（2"-12rt+l-l

10分

解法2：由（1）得S,,=F"=2"-1.....................6分

=55-S”

因為么=%7分

S..S.5鼠第8頁，共18頁

11

8分

S"S"+i

11

所以4=，1'ii、

++???+9分

122$2$3>、s”S”+i>

11

Es"+i

=i-，.

10分

18.(12分)

(1)解：因為△3CD是等腰直角三角形，ZBCZ)=90\BD=2,

所以BC=CD=4i,/CBD=/CDB=45°.

因為ZAD3=90°,sinZABD=—,

5

_______________2尺

所以0°<ZABD<90°,cosZABD=Jl-sin?/ABD=言2分

AB=——=亞,AD=ABsinZABD=\,4分

cosZABD

在△A8中，ZAZ)C=135°,

由余弦定理得AC=VAD2+CD2-2ADCD-cos135°

(V2)2-2xlxV2

12+

35分

srAD

由正弦定理得-----

sin135°sinZACD

16

得M3十嚕

6分

CDAD

(2)解法1：在△AC。中，由正弦定理得-------

sinZC4Z)sinZACD

得sin/GW=瑛3=更

7分

AD5

第9頁,共18頁

________2尺

由于0°<ZC4D<90°,得cosZCAD=Vl-sin2ACAD=弋8分

sinACAD1

所以tan/OLD=9分

cosZCAD2

在RtZxAOE中，DE=ADtanZCAD=~,

2

10分

S^nF=2-^D4DE=-.

在Rt^ABO中，

SLMs/\DnLn/=2--ADBD=l.11分

3

所以△的面積為S=—.

MDf12分

ABES=ZA/TI-/XWj

解法2：由(1)知AC=A3=J^,BC=V2,

則S.叱,一?=|.

7分

由于==........8分

S.=-BCBEsinZCBD=-xy/l-BE-sin45°=-BE,........9分

△MCBnFE222

所以SIsABE~S〉CBE,...................................10分

因為S^BE+S^CBE=S^BC，...................11分

13

所以△ABE的面積為S^BE=~Swc=--...................................12分

24

解法3：由sinNA8=Y”,且0°<NACD<90°,

10

得cosZACD=Vl-sin2ZACD=....................7分

10

在△CD石中，NCED=180°-NACO—NS5=135°-NACO,

則sinZCED=sin(135。-ZACD)

=sin135°cosZACD-cos135°sinZACD8分

第10頁，共18頁

275

9分

亍

DECD

由正弦定理得

sinZACDsinZCED

「Vio

_CDsin/ACD_"而_1

10分

sinZCED2近2

亍

3

所以BE=BD-DE=-.11分

2

11a/sa

所以△ABE的面積為S=—-3石?AB-sin/ABJD=—x—x6xX-=—,…12分

22254

由sin/ACD=業(yè)，且0°<ZACD<90°,

解法4：

10

得cosZACD=Vl-sin2ZACZ)=....................7分

10

因為ZACB=ZBCD-ZACD=900-ZACD，

所以cosZACB=cos(900-AACD)=sinZACD=—,8分

10

sinZACB=sin(900-ZACD)=cosZACD=9分

在^BCE中,ZBEC=180°-45°-ZACB=135°-ZACB,

則sin/BEC=sin(135°—ZACB)

=sin135°cosZACB-cosl350sinZACB

2石

10分

5

BCBE

由正弦定理得

sin/BECsinZACB

第11頁，共18頁

53M

得5石=變型生"=土豆=3

11分

sinNBEC2A/52

"3"

所以443￡：的面積為5=』.3￡.450缶/43。=工*3*后*班=』「72分

22254

19.(12分)

9/—\2

(1)解：由散點圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得i=5，z匕一/=60,

9

9——

》戊-9號

183.6-5x54.2-87.4-

得f、-------------=------?-1.46,5分

小一)6060

所以a=y-初=6.02-(-1.46)x5=13.32..............6分

所以V關(guān)于/的回歸直線方程為y=-lA6t+13.32...............7分

1

(2)解：由題意X~7711.6,93”，＞//-2cr)=-+—-—=0.9772,……9分

所以〃-2。=1.6—2x0.6=04時，滿足題意.....................11分

所以該地區(qū)最低人均年純收入標準大約為0.4萬元...................12分

20.(12分)

(1)證明：記3Gngc=o,連結(jié)A。，

因為側(cè)面3BCC是菱形，所以B￡上BQ,BB]=BC....................1分

因為NABg=NA3C,A8=A8,所以△A5與段△ABC...................2分

所以ABi=AC.3分

因為。是耳。的中點，所以AO_L3c.4分

44

因為AOClBQ=O,AOu平面ABC.,BQu平面ABC,,

所以gC，平面ABC一5分

(2)解法1：

因為A6=AC，。為8G的中點，所以A0JL3G.6分第12頁，共18頁

由（1）可知用C_LA。，因為8。1口與。=0,

所以AO上面BBC。.7分

以0為原點建立如圖的空間直角坐標系0—乎，設40=/,....................8分

因為BB]=B[C=2,所以8]。=1,BO=-

則5（百,0,0）,耳（0,1,0）,C（0,-l,0）,A（0,0,r）,

幣=（0,-1/）,用=（"-1,0）,麗=卜百,0,7）,C4=（o,l,z）

設平面A3聲的法向量為%=（%,y,zj,則有

?1-B}A=-yi+tz[=0,%?43=6無?-y=0,

令義=6,得平面AB]B的一個法向量為n,=1,^3,9分

設平面ABC的法向量為〃2=（%,%，22），則有

n2-BA=-V3X2+tz2=0,n2-CA=y2+tz2=0,

3

令入2=G，則為=-3，Z?=二,

則平面ABC的一個法向量為n2=（73,-3,-"]...................10分

\tJ

由題意知外=6-36+萃=0,解得7=逅.....................11分

t22

V

所以匕ABB.=ABBC=-xA0x5.??c=1XX73=—?...................12分

C|-A,DD^DD[C]3322

解法2：作C。，A3于。，連接與。，

由（1）知△ABB]咨AABC,

所以5QJLA3,CD=B、D.

所以/月。。是二面角g—45—C的平面角，依題意得/與00=90°..............7分

因為5q=4。=2,所以CD=B]D=6.

第13頁，共18頁

因為AB=AC-O為BQ的中點，所以A0J.8G.8分

由（1）可知gC_LAO,因為3GngC=。，所以49_1面54。0........9分

設AO=%,在RsA。片中，Ag2=4。2+4。2=1+%2,..............IO分

在Rt△ADB]中，AO=[AB；-B?=y/x2-\,

在Rt△AOB中，AB=dAO?+BO?=y/x2+3，

在Rt△BDB】中,BD=J網(wǎng)2_g〃2=五,

因為AB=50+AO,

則二T+&,解得％=乎...................ii分

所以％A88=匕BBC=—XAOXS.BC=-X-,?...............12分

C|一AoO|/i-DO|C|3ZAZ>O|CI32V2

解法3：作CZ）_LA與于￡）,連接用。，DO,//i\'''、、、/

由（1）知△ABABC,

BB1

所以gOLB,CD=BQ....................6分

所以/月。。是二面角耳—A8—C的平面角，依題意得/4。。=90。........7分

又。?？谟谩?。，則ABJ_平面。。片.

因為QOu平面。。與，所以。0J_A5.8分

因為BB|=gC=2,所以CD=gD=0,￡>C>=1,B0=6.

在Rt△BOB1中,BD=小BB；-BQ?=72.

因為RtAAOB-RtABOD,

AODO,得A0=*.

所以

~B0~~BD9分

因為AB=AG，。為BQ的中點，所以A0_L3G....................10分

由（1）可知gC_LAO,因為8。1口與。=0,所以AO_L面BB℃......11分

第14頁,共18頁

==

所以％ABBVABBC=—xAOxS^55c—x-^―X5/3=................12分

C|-AoO|一DD|CI3ZAZ?￡>|C|322

21.(12分)

(1)解：設網(wǎng)/，%)是拋物線C上的任一點，則芯=2〃%....................1分

I期=j（x°-Of+（%一〃）~

=+y：-2p%+〃2

=收+〃2....................2分

因為y0>0,

所以當先=0時，|A回疝“二護二”.....................3分

依題意，得〃=2.

所以C的方程為f=4y....................4分

（2）解法1：因為點F是。的焦點，所以尸（0,1）....................5分

根據(jù)題意，直線4的斜率左存在且左。0,設（：y="+l,

由于44，則4：y=-7%+1.

設例(%,%)，N(x2,y2),s(￡,y),

y=kx+\,

由《，消去y,得k-2-4AX-4=0?

獷=4乂

A=(4Z:)2-4X(-4)=16(/c2+l)>0,

貝ijX]+%2=4%.6分

因為S是線段的中點，

所以￡=%產(chǎn)=2%,y'=&'+1=2k2+1.

所以S(2%,2公+1)....................7分

<22、

同理得T--,p-+l1....................8分

第15頁，共18頁

22—1

則直線ST的斜率為&'=

2

k2-l

則直線ST的方程為y-（2k2+1）=

得丫=10分

所以直線ST恒過定點（。,3）.11分

所以存在定圓“：%2+仃一3）2=/（r為常數(shù)，且「。0）,使得直線ST截圓”所得

的線段長恒為定值2M.12分

解法2：因為點尸是。的焦點，所以尸（0,1）.

根據(jù)題意，直線4的斜率左存在且左。0,設4：y=履+1,

由于4-L4，則4：y=—%+1.

設N（x2,y2）,S（x',y'）,

v=/ex+1

由（,''消去y,得％2—4辰一4=0，

[%=4y,

A=（4A:）2-4X（-4）=16（Z:2+1）＞0,

貝IJ%+%2=4/:....................6分

因為S是線段MN的中點，

所以￡=：^1^1=2%,y=kx'+l=2k2+l.

所以5（2%,2公+1）....................7分

（22、

同理得T-?r+1....................8分

設點”（0,3）,

第16頁，共18頁

2..

p+1-3k2-l

242+1-3k2-\

由=9分

2kk2

所以我叩=kTH-10分

所以S,T,”三點共線.

所以直線ST恒過點”.