信號(hào)與系統(tǒng)課件 §4.3 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)

§4.3

拉普拉斯變換的基本性質(zhì)一、線(xiàn)性性

二、原函數(shù)微分三、原函數(shù)積分

四、延時(shí)（時(shí)域平移）五、s域平移

六、尺度變換七、初值（定理）

八、終值（定理）返回九、卷積（定理）十、對(duì)s域微分十一、對(duì)s域積分十二、對(duì)參變量微分與積分十三、共扼特性一．線(xiàn)性已知?jiǎng)t同理例題4-3-1：返回二．原函數(shù)微分推廣：證明：電感元件的s域模型電感元件的s模型應(yīng)用原函數(shù)微分性質(zhì):設(shè)返回三．原函數(shù)的積分證明：①②①②電容元件的s域模型電容元件的s模型返回四．延時(shí)（時(shí)域平移）證明：返回時(shí)移特性例題抽樣信號(hào)的拉氏變換時(shí)移特性例題【例4-3-2】已知【例4-3-3】返回用時(shí)移性質(zhì)求單邊信號(hào)抽樣后的拉氏變換返回五．s域平移證明：返回頻移性質(zhì)例題例4-3-4返回六．尺度變換時(shí)移和標(biāo)度變換都有時(shí):證明：返回七．初值定理證明：由原函數(shù)微分定理可知：由于對(duì)上式取的極限，有：注意：1）初值定理告訴我們，不論是0-系統(tǒng)還是0+系統(tǒng)，只要知道F(s)，就可直接求得f(0+)值。2）F(s)必須是有理代數(shù)式，即真分式；不是真分式時(shí)，則用長(zhǎng)除法化為真分式加常數(shù)項(xiàng)，然后，對(duì)真分式乘以S取極限，就是初值f(0+)。F(s)中有常數(shù)項(xiàng)，說(shuō)明f(t)中有d(t)項(xiàng)及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。長(zhǎng)除：真分式取拉氏逆變換f(0+)0f0(0+)如：長(zhǎng)除例4-3-5

即單位階躍信號(hào)的初始值為1。例4-3-6返回所以八．終值定理證明：根據(jù)初值定理證明時(shí)得到的公式若f(t)、的拉氏變換存在，L[f(t)]=F(s)，而且

存在，則（換句話(huà)，終值存在的條件是：F(s)的全部極點(diǎn)在左半S平面，和在S=0點(diǎn)只有一階極點(diǎn)。）初值定理和終值定理的物理意義返回1）s→0

(jω

→0)相當(dāng)于直流狀態(tài)，因而得到電路穩(wěn)定的終值f(∞)；2）s→∞

(jω

→∞)相當(dāng)于接入信號(hào)的突變，它可以給出系統(tǒng)相應(yīng)的初值f(0+)。九．卷積定理證明：1）時(shí)域卷積對(duì)于單邊變換，考慮到f1(t)與f2(t)均為有始信號(hào)，即f1(t)=f1(t)u(t),f2(t)=f2(t)u(t),于是有：若則有（時(shí)域卷積）（頻域卷積）交換積分次序并引入，得到返回證明：2）頻域卷積按照卷積定義有：十．對(duì)s域微分返回證明：因?yàn)樗酝硎唬畬?duì)s域積分返回證明：注意該定理的應(yīng)用條件：1）在t=0時(shí)，f(t)=02）在t0時(shí)，存在否則