2019年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)-第四單元-圖形的初步認(rèn)識與三角形-第15講-等腰三角形練習(xí)

PAGEPAGE6第15講等腰三角形重難點等腰(邊)三角形的性質(zhì)與判定(2017·濱州)如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC上一點，且DA＝DC，BD＝BA，則∠B的大小為(B)A．40°B．36°C．30°D．25°【思路點撥】設(shè)∠B＝x，則利用等邊對等角得∠C＝x，∠DAC＝∠C＝x，利用三角形外角的性質(zhì)，得∠ADB＝2x，再次利用等邊對等角得∠BAD＝2x，最后利用三角形內(nèi)角和等于180°，列方程求得∠B的度數(shù)．eq\x(方法指導(dǎo))在等腰三角形中求角的度數(shù)，常?？紤]用“等邊對等角”，通過相等邊的代換，得到不同角的數(shù)量關(guān)系，最后一般用三角形內(nèi)角和定理或其推論，得到所求的角度的等量關(guān)系，進(jìn)而列出方程求解．Ｋ如圖，在△ABC中，AM平分∠BAC，D為AC的中點，連接BD，MD，AM與BD交于點O.(1)若△ABC是等腰三角形，AB＝AC，求證：△DMC是等腰三角形；【自主解答】證明：方法一：∵AB＝AC，AM平分∠BAC，∴AM⊥BC，即∠AMC＝90°.又∵D為AC中點，∴DM＝eq\f(1,2)AC＝DC.∴△DMC是等腰三角形．方法二：∵AB＝AC，AM平分∠BAC，∴M為BC的中點．又∵D為AC的中點，∴DM＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)AC＝DC.∴△DMC是等腰三角形．【變式提問】(2)如圖，若△ABC是等邊三角形，試判斷△CDM的形狀，并求出當(dāng)AO＝12時，OM的長度．解：由(1)知，△CDM為等腰三角形．∵△ABC是等邊三角形，∴∠C＝60°.∴△CDM是等邊三角形．易知DM是△ABC的中位線，∴DM∥AB，∴△AOB∽△MOD.∴eq\f(AO,MO)＝eq\f(AB,MD)＝2.∴AO＝2OM.∵AO＝12，∴OM＝6.【思路點撥】(1)利用等腰三角形“三線合一”，結(jié)合直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)或三角形中位線定理證得三角形的兩邊相等，即得等腰三角形；(2)由等邊三角形的每個內(nèi)角為60°，結(jié)合第(1)問中證得的等腰三角形，得等邊三角形；利用三角形中位線定理，結(jié)合相似三角形對應(yīng)邊成比例，求得線段的長度．【變式訓(xùn)練】(2017·內(nèi)江改編)如圖，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足為D，DE∥AC.求證：△BDE是等腰三角形．證明：∵DE∥AC，∴∠1＝∠3.∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2.∴∠2＝∠3.∵AD⊥BD，∴∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°.∴∠B＝∠BDE.∴△BDE是等腰三角形．eq\x(方法指導(dǎo))1.在等腰三角形中，已知頂角的平分線，則可得到底邊的中線和高，即可得到垂直和中點，再利用這些條件，尋找所要求證的邊或角的關(guān)系．2．要證明一個三角形是等邊三角形，可考慮：(1)直接證明三條邊相等；(2)證明三個角相等；(3)先證明是等腰三角形，再證明含有60°的角．3．等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)．一般情況下，在同一個三角形中，要證邊相等，先證角相等；要證角相等，先證邊相等．考點1等腰三角形的性質(zhì)1．(2018·新疆)如圖，AB∥CD，點E在線段BC上，CD＝CE.若∠ABC＝30°，則∠D為(B)A．85°B．75°C．60°D．30°2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線．若AB＝13，AD＝12，則BC的長為(B)A．5B．10C．20D．24∴∠EOB＝∠EBO.∴BE＝OE.同理CF＝OF.∴EF＝OE－OF＝BE－CF.18．(人教八上教材P93T13變式題)等邊△ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且AE＝BD.(1)當(dāng)點E為AB的中點時，如圖1，求證：EC＝ED；(2)當(dāng)點E不是AB的中點時，如圖2，過點E作EF∥BC，求證：△AEF是等邊三角形；(3)在(2)的條件下，EC與ED還相等嗎？請說明理由．解：(1)證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°.∵點E為AB的中點，∴AE＝EB＝BD，∠ECB＝eq\f(1,2)∠ACB＝30°.∴∠EDB＝∠DEB＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°.∴∠EDB＝∠ECB.∴EC＝ED.(2)證明：∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°.∴△AEF為等邊三角形．(3)EC＝ED.理由：∵△AEF為等邊三角形，∴AE＝AF＝EF＝BD.∵∠AFE＝∠ABC＝60°，∴∠EFC＝∠DBE＝120°.∵AB＝AC，AE＝AF，∴