線性代數(shù)電子教案課件

線性代數(shù)電子教案宇宙之大粒子之微火箭之速化工之巧地球之變生物之迷日用之繁無處不用數(shù)學(xué)第0章前言第一章行列式第二章矩陣第三章n維向量及其線性相關(guān)性第四章線性方程組第五章二次型第0章前言本課程的性質(zhì)、作用和任務(wù)學(xué)習(xí)線性代數(shù)的具體要求、重點(diǎn)和難點(diǎn)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)方法本課程的性質(zhì)、作用和任務(wù)一、關(guān)于《線性代數(shù)》

線性代數(shù)基本上是討論矩陣與和矩陣結(jié)合的有限維向量空間及其線性變換理論的一門學(xué)科。它的主要理論成熟于十九世紀(jì)，而其第一塊基石，二、三元線性方程組的解法，則早在兩千年前，即見于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》，這使我們引以自豪。

由于線性代數(shù)在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)和技術(shù)科學(xué)中有各種重要應(yīng)用，因而它現(xiàn)在還在各種代數(shù)分枝中占居首要地位。

不僅如此，該學(xué)科所體現(xiàn)的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系，從具體概念抽象出來的公理化方法，以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C、巧妙的歸納綜合等，對強(qiáng)化人們的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，增益科學(xué)智能都是非常有用的。本課程的性質(zhì)、作用和任務(wù)本課程的性質(zhì)、作用和任務(wù)

時至今日，多種專業(yè)人員都需要學(xué)習(xí)線性代數(shù)，還出于一個重要原因：隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，我們不僅要研究單個變量之間的關(guān)系，還要更進(jìn)一步研究多個變量之間的關(guān)系。各種實(shí)際問題(不少是非線性的)大多數(shù)情況下，可以線性化，而由于電子計算機(jī)科學(xué)的高度發(fā)展，線性化的問題又可計算出來。線性代數(shù)正是解決這些問題的有力工具。所以這門學(xué)科身價百倍，正保其青春活力。1、具體與抽象線性代數(shù)運(yùn)用所謂公理化的研究方法，即把數(shù)學(xué)對象歸類，從不同質(zhì)的具體事物或過程中抽取共同的量的關(guān)系，作為最基本的公理、性質(zhì)(定義)，再從這里出發(fā)，采取統(tǒng)一的觀點(diǎn)與方法，進(jìn)行演繹推理等等，揭示和研究其新的性質(zhì)。例如向量空間這個概念，就是從大量實(shí)例中抽象出來的?？梢哉f，抽象程度越高，則概括程度越強(qiáng)，適用范圍就越廣，但也就不容易理解深透。本課程的性質(zhì)、作用和任務(wù)2、特殊與一般就我們研究問題來說，或者說就我們的認(rèn)識來看，總是由認(rèn)識個別和特殊的事物，逐步地擴(kuò)大到認(rèn)識一般的事物。數(shù)學(xué)更不例外。對于解析幾何中的二次曲線、二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)形研究問題，是我們大家所熟知的問題，而且有它明顯的幾何直觀意義。對于這樣一個問題，我們怎樣抽象到n維空間的一個一般問題呢？這在線性代數(shù)理論，就產(chǎn)生了有關(guān)二次型的研究。在二次型的研究方法中，我們采用了解析幾何中二次曲線、二次曲面化標(biāo)準(zhǔn)形的一些具體的直觀的思想并將它移植到我們更一般的n維抽象空間上來。本課程的性質(zhì)、作用和任務(wù)3、計算與論證計算是按一定公式、法則機(jī)械地進(jìn)行的。多數(shù)人容易學(xué)會；而探索一個論證要不斷進(jìn)行分析綜合，弄不好便走錯路。線性代數(shù)中大量需要論證，而且用到剛學(xué)過的比較抽象的概念。4、教材體系不同教本采用不同體系，如線性方程組、行列式、矩陣----，各書出現(xiàn)的先后不同，起的作用就不一樣，這給初學(xué)者閱讀參考書時增加了困難。本課程的性質(zhì)、作用和任務(wù)學(xué)習(xí)線性代數(shù)的具體要求、重點(diǎn)和難點(diǎn)1、行列式(1)掌握n階行列式的概念；(2)會運(yùn)用行列式性質(zhì)降階和三角化并能綜合運(yùn)用，熟練地計算數(shù)字行列式，并初步掌握計算字母行列式；(3)掌握克萊姆法則，并會用它們來解“整”的線性方程組。

重點(diǎn)是行列式的性質(zhì)與計算。難點(diǎn)是n階字母行列式的計算。2、矩陣(1)熟練掌握矩陣的代數(shù)運(yùn)算及性質(zhì)；(2)掌握可逆矩陣的概念及其判別條件；(3)掌握矩陣乘積行列式與秩的定理；(4)掌握初等矩陣的概念及其與初等變換的關(guān)系，初等矩陣與可逆矩陣的關(guān)系及其用初等變換求逆矩陣的理論與方法。重點(diǎn)是矩陣的乘積運(yùn)算及求逆矩陣。學(xué)習(xí)線性代數(shù)的具體要求、重點(diǎn)和難點(diǎn)3、n維向量及其線性相關(guān)性學(xué)習(xí)線性代數(shù)的具體要求、重點(diǎn)和難點(diǎn)（1）理解n維向量的概念及運(yùn)算規(guī)則，清楚了解向量組的線性相關(guān)性的定義，會判斷向量組的線性相關(guān)性，準(zhǔn)確理解向量組的極大線性無關(guān)向量組和向量組的秩的概念，會求向量組的最大線性無關(guān)向量組和向量組的秩；（2）掌握齊次線性方程組有非零解的充要條件，非齊次線性方程組有解的充要條件，理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的概念，正確理解并掌握線性代數(shù)方程組解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)，能夠利用初等變換方法求出線性代數(shù)方程組的通解。學(xué)習(xí)線性代數(shù)的具體要求、重點(diǎn)和難點(diǎn)（3）理解向量空間的定義，理解向量空間的基、維數(shù)的概念，掌握內(nèi)積的概念。

重點(diǎn)是利用初等變換方法求出線性代數(shù)方程組的通解。難點(diǎn)是判斷向量組的線性相關(guān)性和如何求向量組的極大線性無關(guān)向量組和向量組的秩。4、線性方程組(1)切實(shí)理解消去法和矩陣的初等變換的關(guān)系，熟悉高斯消去法；(2)理解和掌握矩陣的秩，會用初等變換及行列式來求秩；(3)牢固掌握線性方程組有解的判別定理；(4)正確理解和掌握齊次及非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)；

重點(diǎn)是矩陣的初等變換、線性方程組的解法及有解判定法。學(xué)習(xí)線性代數(shù)的具體要求、重點(diǎn)和難點(diǎn)4、對稱矩陣與二次型(1)掌握二次型的概念及二次型與對稱矩陣之間的一一對應(yīng)關(guān)系；(2)掌握二次型經(jīng)非退化線性變換后仍為二次型；(3)理解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形及掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法；(4)理解實(shí)數(shù)域上二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（規(guī)范形）唯一性及意義；(5)掌握正定二次型的概念，并掌握其判別法；(6)深刻理解矩陣的相似、特征值、特征向量的概念，并掌握求矩陣特征多項(xiàng)式、特征值、特征向量的理論步驟和方法以及可對角化的條件。學(xué)習(xí)線性代數(shù)的具體要求、重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)是化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形和正定二次型的性質(zhì)。難點(diǎn)是慣性定理及正交法。學(xué)習(xí)線性代數(shù)的具體要求、重點(diǎn)和難點(diǎn)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)方法1、攻克“抽象化”堡壘2、占領(lǐng)“一般性”陣地3、增強(qiáng)論證能力4、掌握全局和局部的關(guān)系第一章行列式行列式及其性質(zhì)克萊姆法則[教學(xué)目的]:[重點(diǎn)]:[難點(diǎn)]：[學(xué)時數(shù)]：

通過本章的學(xué)習(xí),要求學(xué)生準(zhǔn)確理解行列式的概念及其性質(zhì),并能熟練地運(yùn)用克萊姆法則解“整”線性方程組.行列式性質(zhì)的運(yùn)用、克萊姆法則的運(yùn)用。高階行列式及字母行列式的計算。6學(xué)時第一章行列式一、2、3階行列式的定義：引進(jìn)符號：并稱之為二階行列式。其中i——行標(biāo)；j——列標(biāo)第一章行列式§1.1行列式及其性質(zhì)同理，符號：稱為三階行列式。第一章行列式二、2、3階行列式與線性方程組的關(guān)系

設(shè)有兩個未知數(shù)的線性方程組：

其變量的系數(shù)可以構(gòu)成一個2階行列式，稱為該線性方程組的系數(shù)行列式，記為D(1.1)第一章行列式即：又記：利用消元法解(1.1)得：第一章行列式三、n階行列式的定義

除前面介紹的二、三階行列式的完全展開式外，高階行列式更適合用按列展開。即：定義：一階行列式定義為|a11|=a11；當(dāng)n≥2時，假定n-1階行列式已定義，則n階行列式定義為：第一章行列式第一章行列式

其中元素aij的余子式是指：在Dn中去掉aij所在的行和列、剩下元素構(gòu)成的一個n-1階行列式。記為Mij

元素aij的代數(shù)余子式或可以證明：Dn按第一行展開與按第一列展開的結(jié)果相同。即第一章行列式Th1：n階行列式|Dn|等于它的第一行元素與它們對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和。證明：用數(shù)歸納法（1）n=2時，顯然成立（2）設(shè)n=k-1時命題成立，現(xiàn)證n=k時，命題也成立。其中Mi1是k-1階行列式，則由歸納假設(shè)有：第一章行列式第一章行列式代入（*）得：第一章行列式四、行列式的性質(zhì)（以三階行列式為例）性質(zhì)1：行列式轉(zhuǎn)置后，其值不變。設(shè)則第一章行列式性質(zhì)2：互換行列式的兩行（列），行列式的值改變符號。推論1：行列式D中有兩行（列）的對應(yīng)元素完全相同，則這個行列式的值為零。性質(zhì)3：行列式中某一行（列）所有元素的公因子，可以提到行列式符號外。第一章行列式推論2：若行列式有一行（列）的元素全為零，則這個行列式的值為零。推論3：若行列式有一行（列）的元素對應(yīng)成比例，則行列式的值為零。性質(zhì)4：若行列式某一行（列）的元素加上另一行（列）相應(yīng)元素的k倍，則該行列式的值不變。第一章行列式性質(zhì)5：如果行列式的某一行（列）的元素都是兩項(xiàng)之和，則可以把這個行列式化為兩個行列式的和。這兩個行列式的該行（列）的元素分別是原行列式中相應(yīng)位置的兩項(xiàng)的第1項(xiàng)、第2項(xiàng)，其它位置的元素不變。性質(zhì)6：行列式D等于它任意一行（列）的元素與它的代數(shù)余子式的乘積之和。性質(zhì)7：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子的乘積子和為零。第一章行列式例1：計算下三角行列式的值。第一章行列式第一章行列式解：按第一行展開得：第一章行列式例2：計算的值。第一章行列式解一：第2行加上第1行的-1倍、第4行加上第3行的-1倍得：第一章行列式解二:利用Mathematica軟件In[1]:=Out[1]:=In[2]:=Out[2]:=第一章行列式例3：計算的值第一章行列式解一：從第二列起，以后各列乘1加到第一列上得：第一章行列式第一章行列式解二：利用Mathematica軟件In[]：=Out[]：=第一章行列式例4：計算的值。第一章行列式解：In[]：=Out[]：=第一章行列式例5：證明n階行列式:第一章行列式證:

等式左邊第n列乘x加到第n-1列,(所得結(jié)果的)第n-1列乘x加到第n-2列,…,第2列乘x加到第1列得:左=第一章行列式第一章行列式第一章行列式例6

證明范德蒙行列式(n≥2)第一章行列式證

n=2:設(shè)對于n-1階結(jié)論成立，對于n階：（逐行減去上面相鄰行的倍）第一章行列式n-1階范德蒙行列式第一章行列式例7：利用范德蒙行列式計算:第一章行列式解原式=第一章行列式例8：計算下列n階行列式:第一章行列式解:從第二列起,以后各列加到第一列得:原式=第一章行列式例9：計算下列n階行列式;第一章行列式解:第n-1列加第n列的一倍,第n-2列加第n-1列的一倍,…,得:第一章行列式第一章行列式例10計算解：（加邊法）第一章行列式第一章行列式第一章行列式§1.2克萊姆法則

對于2、3階時的克萊姆法則，可推廣到n階的情況。設(shè)n個未知數(shù)、n個方程的線性方程組為：（I）第一章行列式記系數(shù)行列式為另外記第一章行列式Th1.2（克萊姆法則）：若方程組（I）的系數(shù)行列式D≠0，則（I）有唯一解：證明：分別用乘方程組（I）的第1、第2、…第n個方程，然后相加得：第一章行列式據(jù)性質(zhì)6，7有：（j=1，2，…,n）(II)

因(I)的解必是(II)的解，而(II)僅有唯一解xj=Dj/D,將其唯一解代入(I)驗(yàn)證也是(I)的解。所以原方程有唯一解。第一章行列式[拉普拉斯定理]1、行列式D的k階子式M：

任選D中k行k列，位于其交叉點(diǎn)元素按原來順序排列成的一個k階行列式。2、M的余子式N：

劃去k行、k列后，余下的元素按原來順序排成的一個n-k階行列式。第一章行列式3、M的代數(shù)余子式A：在N之前冠以一個符號，符號由下式?jīng)Q定其中表示M在D中的行標(biāo)和列標(biāo)。第一章行列式如：第一章行列式第一章行列式[拉普拉斯定理]：

在n階行列式D中，任意取定k行、k列后，由這k行、k列元素所組成的一切k階子式與它的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式D。

例1

計算

解：

按1，2行展開，不為零的二階子式為

第一章行列式

所以，D=0.第一章行列式第一章行列式4、行列式乘法Th1.3

設(shè)第一章行列式則第一章行列式例1：問線性方程組其中a、b、c滿足什么條件時，才可以用克萊姆法求解？并解之。第一章行列式解：第一章行列式當(dāng)D≠0時，即a≠b≠c時，才能用克萊姆法則求解，且：第一章行列式則第一章行列式例2：用克萊姆法則解下列線性方程組解：變形原方程為標(biāo)準(zhǔn)形式得：第一章行列式In[]：=Out[]：=第二章矩陣矩陣的概念矩陣的運(yùn)算逆方陣分塊矩陣矩陣的秩第二章矩陣[教學(xué)目的]：通過對本章的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生掌握矩陣的概念及一系列的運(yùn)算，為以后各章打下堅實(shí)的基礎(chǔ)。初步了解Mathematica軟件包的一些矩陣運(yùn)算。[教學(xué)重點(diǎn)]：矩陣概念及矩陣的初等變換。[難點(diǎn)]：有關(guān)定理的證明（可不重點(diǎn)要求）第二章矩陣§2.1矩陣的概念一、定義2.1：由m×n個數(shù)aij（i=1,2,…m;j=1,2,…n)所排成數(shù)表:稱為m×n矩陣.第二章矩陣記為：或幾種常見的特殊矩陣:行矩陣（n維行向量），即m=1時：第二章矩陣列矩陣（m維列向量），即n=1時：方陣，即m=n時第二章矩陣：上三角形矩陣、下三角形矩陣第二章矩陣對角形矩陣（不是方陣），如：第二章矩陣對角矩陣第二章矩陣單位矩陣I第二章矩陣數(shù)量矩陣kI第二章矩陣零矩陣0第二章矩陣幾種特殊矩陣的Mathematica軟件命令：In[1]:=Out[1]:=In[2]:=Out[2]:=第二章矩陣In[3]:=Out[3]:=例:定義一個四階的下三角形矩陣In[4]:=Out[4]:=第二章矩陣§2.2矩陣的線性運(yùn)算一、矩陣的相等設(shè)若則稱A與B相等。記為A=B第二章矩陣?yán)?設(shè)解注意：對于同型矩陣才有意義.第二章矩陣第二章矩陣二、矩陣的加減法設(shè)A、B如上定義，則定義：加法運(yùn)算律：第二章矩陣三、數(shù)與矩陣的乘法第二章矩陣矩陣的線性運(yùn)算滿足如下八條性質(zhì)：①②③⑤⑥⑧④⑦第二章矩陣四、矩陣的乘法

例2

某電子集團(tuán)生產(chǎn)三種型號的彩電，第一季度各40萬臺，20萬臺，30萬臺,第二季度各30萬臺，10萬臺，50萬臺，每萬臺的利潤分別是400萬元，300萬元，500萬元，第一、二季度各類產(chǎn)品的利潤是多少?解：第二章矩陣設(shè)則定義：其中：第二章矩陣第二章矩陣?yán)?：設(shè)求AB解一：第二章矩陣解二：利用Mathematica軟件（命令為：A.B）In[1]：=Out[1]：=In[2]：=Out[2]：=第二章矩陣矩陣乘法運(yùn)算律：（左分配律）（右分配律）選證證明:設(shè)第二章矩陣則再設(shè)其中:又設(shè)第二章矩陣則其中:注意:矩陣乘法不滿足交換律!第二章矩陣?yán)?:證明對任意矩陣Am×n，有AI=A,IA=A證明:設(shè)，則同理，設(shè)Im×m

,有IA=A例3解

且

AB=O

A=O

或

B=O第二章矩陣但是

IA=A=AI(kI)A=kA=

A(kI)(矩陣乘法不適合消去律)第二章矩陣第二章矩陣五、n階方陣的冪定義:運(yùn)算律:注意:第二章矩陣六、矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè),則其轉(zhuǎn)置定義為:運(yùn)算律:第二章矩陣?yán)?/p>

對稱矩陣：AT=A反對稱矩陣：第二章矩陣問題：數(shù)乘對稱矩陣是否仍為對稱矩陣？同階對稱矩陣之和是否仍為對稱矩陣？同階對稱矩陣的乘積是否仍為對稱矩陣？例第二章矩陣

例

設(shè)A,B均為n階對稱陣，則

AB對稱陣

AB=BA.證：:

第二章矩陣對任意矩陣A，AAT和ATA都是對稱矩陣.證

(AAT)T=(AT)TAT=AAT

例

設(shè)A是n階反對稱矩陣，B是n階對稱矩陣，則AB+BA是n階反對稱矩陣.證第二章矩陣第二章矩陣七、方陣A的行列式設(shè)，定義A的行列式為:運(yùn)算律:第二章矩陣?yán)?求矩陣的行列式|A|解:利用Mathematica有:In[]:=Out[]:=第二章矩陣

定義（方陣的多項(xiàng)式）設(shè)有多項(xiàng)式f(x),g(x),A,

B

為n階方陣，則

f(A)g(A)=g(A)f(A).但是，一般

等等注意等等但是第二章矩陣第二章矩陣§2.3逆方陣問題:當(dāng)Y=AX成立時,在什么條件下可得到X,如何求出X?一、逆矩陣的概念

設(shè)A為一n階方陣，如果有n階方陣B存在，使得:AB=BA=I則稱B是A的逆方陣(簡稱A的逆).記為A-1=B.

數(shù)a≠0：aa-1=a-1a=1?矩陣A:A(?)=I單位陣I

:

對角陣:

I-1

=I第二章矩陣第二章矩陣二、逆矩陣的個數(shù)是唯一的(約定記為A-1)定理:若方陣A是可逆的，則有唯一的逆矩陣.

證明:設(shè)B,C均為A的逆矩陣，則:B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C所以，A的逆是唯一的，記為A-1三、A可逆的充要條件:注意若A,B均為方陣，且AB=I(或BA=I),則A可逆且B=A-1.第二章矩陣定理:n階方陣A可逆的充要條件是:其中A*稱為A的伴隨矩陣，且為:Aij是矩陣A的行列式|A|的代數(shù)余子式.第二章矩陣證明:設(shè)A可逆，則:又∵|A|≠0,同理可證:第二章矩陣

注:第二章矩陣四、可逆矩陣的性質(zhì)1.若矩陣A可逆,且AB=E,則必有BA=E.反之亦然.3.若A、B均可逆,則AB也可逆,且有:注:若A,B均可逆,但A+B未必可逆!第二章矩陣Mathematica中有關(guān)矩陣的轉(zhuǎn)置和逆矩陣的命令:

矩陣的運(yùn)算函數(shù)意義Det[M]計算矩陣M的行列式Transpose[M]求M的轉(zhuǎn)置矩陣M’Inverse[M]計算矩陣M的逆矩陣Sum[M[[i,i],{i,Length[M]}]計算矩陣M的跡第二章矩陣?yán)?:設(shè)且AX=B,求出X.解一:所以A可逆第二章矩陣又因?yàn)锳X=B，兩邊同乘以A-1得:而第二章矩陣解二:利用Mathematica軟件In[1]:=(計算A的行列式的值)Out[1]:=In[2]:=(求A的逆矩陣A-1)Out[2]:=第二章矩陣In[3]:=(按表格輸出A-1)Out[3]:=In[4]:=(X=A-1B)第二章矩陣Out[4]:=In[5]:=(以表格形式輸出)Out[5]:=(=X)第二章矩陣?yán)?:設(shè)矩陣B可逆,A與B同階且滿足:證明:A和A+B均可逆.證:故A與A+B均可逆.第二章矩陣?yán)?:若A與B均為n階方陣,且E+AB可逆.則E+BA也可逆,且證明:例4

設(shè)方陣A滿足A2-A-2I=O，證明：

(1)A和I-A都可逆，并求其逆矩陣；

(2)A+I和A-2I不同時可逆.

證(1)第二章矩陣(2)

所以，A+I和A-2I不同時可逆.

為什么？第二章矩陣

例5

證第二章矩陣

例6

解第二章矩陣第二章矩陣

§2.4分塊矩陣分塊矩陣:以分塊子陣為元素的矩陣.例，又如，一、分塊矩陣的運(yùn)算設(shè)第二章矩陣第二章矩陣1、加法——對應(yīng)塊塊元素相加.2、數(shù)乘與分塊矩陣——數(shù)乘遍各子塊.3、分塊矩陣的乘法這里要求:Ai1,Ai2,…，Ais的列數(shù)等于B1j,B2j,…Bsj的行數(shù)。則:第二章矩陣其中:4、分塊矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè)A如前面所示，則:第二章矩陣5、分塊對角矩陣設(shè)Aij為ri階矩陣(1≤i≤s)，則矩陣第二章矩陣二、分塊對角陣的運(yùn)算律設(shè)n階矩陣A，B都是分塊對角陣:其中:是同階矩陣，則:第二章矩陣第二章矩陣若A可逆，則有:第二章矩陣第二章矩陣?yán)?求AB:解第二章矩陣第二章矩陣注意：設(shè)A,B均為n階矩陣，且分塊相同，Ak

呢？

將矩陣分塊作乘法其分法不是唯一的.只需前一個矩陣列的分法與后一個矩陣行的分法一致就行了

.第二章矩陣在例1中第二章矩陣第二章矩陣?yán)?

如何分塊來求AB：第二章矩陣解第二章矩陣

例3

設(shè)矩陣求A的逆.

第二章矩陣解第二章矩陣第二章矩陣§2.5矩陣的秩一、矩陣的秩定義：設(shè)一個m×n矩陣A=(aij)。在A中任取s行s列(s≤min{m,n})，位于這些行列交叉點(diǎn)處的元素構(gòu)成的s階行列式，稱為矩陣A的s階子式。第二章矩陣定義1:矩陣A中不為零的子式的最高階數(shù)稱為A的秩.定義2:A中至少存在一個r階子式不為0，當(dāng)r≤min{m,n}時，A中所有r+1階子式全為0，則A的秩為r。矩陣A的秩記為:

顯然對任意矩陣A，A的秩唯一.但其最高階非零子式一般不唯一.第二章矩陣

注意:

(1)、對n階方陣A，若|A|≠0，則A為滿秩的且r(A)=n;(2)、對Am×n，有r(A)≤min{m,n};(3)、r(0)=0例1

求矩陣的秩：解

第二章矩陣基本結(jié)論與性質(zhì)1.R(A)=0A=O；2.R(A)≥r

A有一個r階子式不為零；

3.R(A)≤r

A的所有r+1階子式全為零。

第二章矩陣滿秩矩陣可逆矩陣

降秩矩陣不可逆矩陣第二章矩陣二、矩陣秩的計算例1

求下列矩陣的秩：所有四階子式全為零，所以R(A)=3.對于行階梯形矩陣A,R(A)=A的非零行的行數(shù).第二章矩陣第二章矩陣三、矩陣的初等變換矩陣的初等變換是指對矩陣施行以下的三種變換:1.換法變換:互換矩陣的兩行(列).記為[i,j]2.倍法變換:以任意非零數(shù)k乘以矩陣的某一行(列)的各元素.記為[i(k)]3.消法變換:以數(shù)k乘矩陣的某一行(列)上各元素加到另一行(列)對應(yīng)元素上去.記為[i+j(k)]第二章矩陣

對矩陣A施行初等變換后，A一般都會改變，但有如下性質(zhì):定理：初等變換不改變矩陣的秩.例2:設(shè)求r(A)第二章矩陣解一:第二章矩陣故r(A)=2.R(A)=r

經(jīng)行初等變換能將A化為具有r個非零行的行階梯形矩陣.例3解分析：第二章矩陣第二章矩陣

推論對任意矩陣A,

R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)，

其中P,Q分別為可逆矩陣.

證因?yàn)镼可逆，存在初等矩陣E1,…,Et使得

Q=E1???Et，

AQ=AE1???Et，即AQ為A經(jīng)列初等變換所得.故R(AQ)=R(A).同理可證其他.第二章矩陣第二章矩陣解二：利用Mathematica軟件In[1]:=(作行的線性組合化簡A.Mathematica命令為RowReduce[])Out[1]:=第二章矩陣In[2]:=(輸出結(jié)果用表格形式輸出)Out[2]:=第二章矩陣定理:對于任意滿秩方陣A,必可用初等行變換將A化成單位矩陣E.定理:秩為r的矩陣A=(aij)mn可通過行的初等變換及列的換法變換化為:第二章矩陣定理：設(shè)A=(aij)mn,r(A)=r,則通過初等變換可將A化為:推論同型矩陣A與B等價的充要條件是R(A)=R(B).例4

設(shè)求A的標(biāo)準(zhǔn)形.R(A)=2.解第二章矩陣四、三個證明例子例5

設(shè)A為n階矩陣(n≥2)，證明證

①若R(A)=n:detA≠0，

第二章矩陣②R(A)<n-1:

A中所有n-1階子式均為零，

例6

證明第二章矩陣證存在可逆矩陣P1,P2,Q1,Q2使得第二章矩陣第二章矩陣

即由此可知例7證定義(等階):矩陣A經(jīng)過有限次初等變換化為矩陣B，則稱A與B等階.記為:定理:設(shè)A，B都是m×n階矩陣，則:證明:初等變換不改變矩陣的秩反過來:如果r(A)=r(B)=r,則:第二章矩陣三、初等矩陣1.以下三種矩陣統(tǒng)稱為初等矩陣:(1)換法初等矩陣(互換單位矩陣的某兩行(列)一次)結(jié)論:第二章矩陣(2)倍法初等矩陣(以非零數(shù)乘單位矩陣的某一行(列))結(jié)論:第二章矩陣(3)消法初等矩陣(單位矩陣的某一行(列)乘以數(shù)k加到另一行(列)上).結(jié)論:第二章矩陣有關(guān)初等矩陣的性質(zhì):10.初等矩陣均是滿秩的;20.初等矩陣的逆矩陣仍是同類型的初等矩陣;30.初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍為初等矩陣：第二章矩陣2.初等矩陣與初等變換的關(guān)系

用初等矩陣左乘某矩陣A，等于該矩陣A作相應(yīng)的行初等變換：用初等矩陣右乘某矩陣B，等于該矩陣B作相應(yīng)的列初等變換。3.求逆矩陣的初等變換法定理：方陣P為滿秩的充要條件是P可表為有限個初等矩陣的乘積。第二章矩陣證明:即存在初等矩陣F1,F2,…Fr,使得:則:(Fi為初等矩陣)第二章矩陣故P為滿秩矩陣.推論1:r(AB)=r(A)，其中B為滿秩矩陣.推論2:設(shè)A,，B均為m×n矩陣，則:第二章矩陣由以上定理及推論,推出求逆矩陣的初等變換法:說明:當(dāng)A經(jīng)過行初等變換化為單位矩陣E時,E就變成了A-1，即:第二章矩陣?yán)?設(shè)求A-1解一:第二章矩陣解二:利用Mathematica軟件In[]:=Out[]:=第二章矩陣第三章n維向量及其線性相關(guān)性n維向量及其運(yùn)算向量的線性相關(guān)性向量組的秩第三章n維向量及其線性相關(guān)性§3.1n維向量及其運(yùn)算一、n維向量的概念n個實(shí)數(shù)組成的有序數(shù)組稱為n維(實(shí))向量.記為:(n維行向量)

或:(n維列向量)其中:ai(i=1,2…n)是實(shí)數(shù),稱為分量.第三章n維向量及其線性相關(guān)性二、n維向量的線性運(yùn)算(可參看矩陣的運(yùn)算)設(shè)1.相等2.加法3.數(shù)乘第三章n維向量及其線性相關(guān)性4.轉(zhuǎn)置運(yùn)算律(滿足以下八條性質(zhì)構(gòu)成的空間稱為實(shí)n維向量空間)1.交換律2.結(jié)合律3.4.第三章n維向量及其線性相關(guān)性5.數(shù)分配律.6.分配律7.結(jié)合律8.第三章n維向量及其線性相關(guān)性§3.2向量的線性相關(guān)性一、線性相關(guān)的概念設(shè)(I)是s個n維向量,如果存在s個常數(shù)使得n維向量與(I)之間有關(guān)系:則稱是向量組(I)的線性組合.或稱可由線量組(I)線性表示.第三章n維向量及其線性相關(guān)性

設(shè)給定s個n維向量,如果存在s個不全為零的常數(shù)，使得:即第三章n維向量及其線性相關(guān)性其中aij為系數(shù),ki為n個未知數(shù).由克萊姆法則知:當(dāng)系數(shù)行列式方程有唯一解。所以由第三章n維向量及其線性相關(guān)性成立，則稱向量組是線性相關(guān)的.否則稱為線性無關(guān).例1:試證n個n維單位向量:是線性無關(guān)的.第三章n維向量及其線性相關(guān)性證:若即故所以線性無關(guān).(稱為Rn中的基)第三章n維向量及其線性相關(guān)性例2：判斷所給向量組的線性相關(guān)性:解：線性相關(guān).第三章n維向量及其線性相關(guān)性二、向量組線性相關(guān)的判定1、直接運(yùn)用向量組線性相關(guān)的定義;2、一個向量線性相關(guān)的充要條件是該向量為零向量;3、兩個向量線性相關(guān)的充要條件是它們對應(yīng)的分量成比例;4、設(shè)有n個n維向量:第三章n維向量及其線性相關(guān)性則線性相關(guān)的充要條件是時，方程組有唯一解，即ki=0.第三章n維向量及其線性相關(guān)性若D=0，即方程組有無窮多解。故：線性相關(guān)的充要條件是D=05.向量組(r>=2)線性相關(guān)的充要條件是中至少有一個向量是其余r-1個向量的線性組合。第三章n維向量及其線性相關(guān)性6.如果向量組中有一部分線性相關(guān)，則該向量組一定線性相關(guān)。(即部分相關(guān)，則全體相關(guān))。7.若則它的任何一個部分組也一定線性無關(guān)。(即：全體無關(guān)，則部分無關(guān))。線性無關(guān)，第三章n維向量及其線性相關(guān)性8.若向量組中含有零向量，則此向量組一定線性相關(guān)。9.設(shè)第三章n維向量及其線性相關(guān)性

若r維向量組αi線性無關(guān),則r+1維向量組βi也線性無關(guān).10.任意n+1個n維向量必然線性相關(guān)。例3:設(shè)試判定其線性相關(guān)性。第三章n維向量及其線性相關(guān)性解:因?yàn)榫€性相關(guān)例4:若線性無關(guān)，證明:也線性無關(guān)。第三章n維向量及其線性相關(guān)性證:要使成立即因?yàn)榫€性無關(guān)第三章n維向量及其線性相關(guān)性該三元線性方程組的系數(shù)行列式不等于零,故僅有唯一解,即所以線性無關(guān).第三章n維向量及其線性相關(guān)性定理3.5如果向量組線性無關(guān)線性相關(guān)可由唯一地線性表示.第三章n維向量及其線性相關(guān)性§3.3向量組的秩一、向量組間的線性關(guān)系設(shè)向量組III

如果I中的每個向量均可以由II線性表示,則稱向量組I可由向量組II線性表示；如果I與II能互相線性表示,則稱I與II等價。記為I≌II第三章n維向量及其線性相關(guān)性向量組等價的性質(zhì):1)自反性：I≌I2)對稱性：若I≌II,則II≌I3)傳遞性：若I≌II、II≌III,則I≌III定理：如果向量組線性無關(guān),且該向量組可由向量組線性表出,則r≤s。第三章n維向量及其線性相關(guān)性推論1:若可由線性表示,且r>s,則線性相關(guān)。推論2:兩個線性無關(guān)的等價的向量組，必含有相同個數(shù)的向量。推論3:任意n+1個n維向量組必然線性相關(guān)。第三章n維向量及其線性相關(guān)性二、向量組中的極大線性無關(guān)組和向量組的秩

設(shè)一個向量組的某一部分組是線性無關(guān)的,并且從該向量組中的其余向量中任取一個添進(jìn)去,所得的新的向量組線性相關(guān),則稱該部分組為一個極大線性無關(guān)組。

一個向量組的任意兩個極大線性無關(guān)組中所含向量的個數(shù)相等，稱該個數(shù)為向量組的秩。第三章n維向量及其線性相關(guān)性結(jié)論1:全為零向量組成的向量組的秩為0。結(jié)論2:兩個等價的向量組必有相同的秩。第三章n維向量及其線性相關(guān)性三、矩陣的行秩和列秩設(shè)分塊后:行向量組列向量組第三章n維向量及其線性相關(guān)性

矩陣A的列(行)向量組的秩定義為A的列(行)秩。可以證明:A的行秩等于A的列秩等于A的秩。定理如果矩陣A經(jīng)過初等行變換化為矩陣B,則A和B中任何對應(yīng)的列向量組都有相同的線性相關(guān)性。例1:求的極大線性無關(guān)組,并將其余向量由它線性表出.第三章n維向量及其線性相關(guān)性解:第三章n維向量及其線性相關(guān)性且線性無關(guān)是一個極大線性無關(guān)組.令第三章n維向量及其線性相關(guān)性同理:(ki均不為0)例2:若I是n個線性無關(guān)的n維向量,試證:中任意n個向量都線性相關(guān).第三章n維向量及其線性相關(guān)性證:記II因?yàn)樗訧I可由I線性表出，所以I≌II因r(I)=n,推出r(II)=n,推出無關(guān)。第三章n維向量及其線性相關(guān)性例3:設(shè)為一組n維向量。證明:線性無關(guān)的充要條件是任一個n維向量都能被它線性表出.證:必要性.設(shè)I線性無關(guān),為任一n維向量則必線性相關(guān)所以I≌II故線性無關(guān).顯然I可由II線性表出,由題意如果任一向量可由I表出.則II可由I表出。充分性:記II第三章n維向量及其線性相關(guān)性第四章線性方程組線性方程組的概念線性方程組解的判定線性方程組解的結(jié)構(gòu)[教學(xué)目的][重點(diǎn)][難點(diǎn)]1.熟練掌握線性方程組的解的判定;2.熟練掌握兩類線性方程組的求解方法;3.正確表達(dá)方程組的解.

解的判定、求解方法.解的結(jié)構(gòu)第四章線性方程組第四章線性方程組§4.1線性方程組的概念

含有m個方程、n個未知數(shù)的線性方程組的一般形式為：（I）改寫成矩陣的形式為：第四章線性方程組

其中：方程的解：若有一組數(shù)ai(i=1,2,…n)代入方程中的未知數(shù)使(I)成立,則稱該組數(shù)為(I)的一組解或一個解向量。稱A為系數(shù)矩陣，為增廣矩陣。第四章線性方程組非齊次線性方程組.即bi不全為0時.線性方程組齊次線性方程組.即bi全等于0時.第四章線性方程組§4.2線性方程組解的判定一、非齊次線性方程組設(shè)(I)第四章線性方程組r(A)=r，則A行變換互換兩列的變換第四章線性方程組相應(yīng)地有第四章線性方程組與對應(yīng)的方程組為:顯然(I)與(I’)同解.以下討論(I’)解的情況(I’)第四章線性方程組討論:①.若r<m,且di(i=r+1,…m)不全為0,則(I’）無解；②．若ｒ＝ｍ或ｒ<m但di全等于0,則(I’)同解于:(II”)再討論:I).若r=n.則由克萊姆法則知(II’)有唯一解;第四章線性方程組II).若r<n.則(I”)變?yōu)?

當(dāng)yj(j=1,2,…n)任賦一組值時,即可得到唯一的yj.此時由yj的任意性,可得(I”)有無窮多個解.第四章線性方程組Th1:線性方程組(I)有解無解

綜上所述，有下列定理.(記為方程組的秩)Th2:當(dāng)r=n時,方程組有唯一解;當(dāng)r<n時,方程組有無窮解;第四章線性方程組推論：n個方程n個未知數(shù)的線性方程組有唯一解的充要條件是方程組的系數(shù)行列式的值不等于零.例1:判斷下列方程組是否有解？若有解，是唯一解還是無窮解？第四章線性方程組解:所以原方程組無解.第四章線性方程組例2:求解下列線性方程組：解一:第四章線性方程組所以原方程組有無窮多個解.解二:利用Mathematica軟件給出方程組的解In[1]:=(輸入矩陣A，作行的線性組合化簡)第四章線性方程組Out[1]:=(AX=0的兩個線性無關(guān)的解)In[2]:=(顯然A的秩是2)Out[2]:=In[3]:=第四章線性方程組Out[3]:=(AX=B的一個特解)In[4]:=Out[4]:=(全部解)第四章線性方程組二、齊次線性方程組：(II)[Th3]:(1)齊次線性方程組總有解。

(2)當(dāng)r<n時,(II)除零解外，還有無窮多個解。第四章線性方程組[推論1]:含有n個未知數(shù)的齊次線性方程組有非零解的充要條件是方程組的系數(shù)行列式等于零。[推論2]：齊次線性方程組的方程的個數(shù)少于未知數(shù)個時，則必有非零解。例2：試問當(dāng)λ為何值時，下面齊次線性方程組有非零解？第四章線性方程組解一：令|A|=0得：由推論1知，此時方程組有非零解。解二：利用Mathematica軟件計算行列式：In[1]：=第四章線性方程組Out[1]：=In[2]：=Out[2]：=第四章線性方程組§4.3線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組當(dāng)時有非零解，以下討論該種情況：定義：齊次線性方程組的一組解向量：若滿足：第四章線性方程組（1）線性無關(guān)；（2）的任意一解向量均可由線性表示。則稱為的一個基礎(chǔ)解系。定理1：設(shè)是方程組的解，則也是該方程組的解（即解的線性組合仍是方程組的解）。第四章線性方程組定理2：設(shè)齊次線性方程組有n個未知數(shù)，，則該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系存在，且基礎(chǔ)解系含有n-r個線性無關(guān)的解向量。證：第四章線性方程組相應(yīng)方程組為：（II’）令第四章線性方程組第四章線性方程組

可以證明上面n-r

個向量為齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系。（1）顯然線性無關(guān)；（2）設(shè)為AX=0的任一解向量。將其代入（II’）得：第四章線性方程組易驗(yàn)證：第四章線性方程組即故為AX=0的一個基礎(chǔ)解系。所以，AX=0的通解為：第四章線性方程組例1：求解下列齊次線性方程組：解一：第四章線性方程組所以與原方程組同解的簡化方程組為：第四章線性方程組又因r=2，n=4，所以原方程組有無窮多個解向量。令可得一個基礎(chǔ)解系為：故原方程組的通解為：第四章線性方程組解二：利用Mthematica軟件In[]：=Out[]：=（兩個線性無關(guān)的解向量）例2：解下列齊次方程組：第四章線性方程組解一：第四章線性方程組所以原方程組有非零解令則基礎(chǔ)解系為：故原方程組的通解為：第四章線性方程組解二：利用Mathematca軟件In[]：=Out[]：=思考：，其基礎(chǔ)解系是否唯一？第四章線性方程組定理：設(shè)，則該方程組的任意n-r個線性無關(guān)的解都是其基礎(chǔ)解系。證明：設(shè)是AX=0的一個基礎(chǔ)解系是AX=0的一組線性無關(guān)的解又設(shè)為AX=0的任一解第四章線性方程組因可由線性表出，且線性相關(guān)，而線性無關(guān)，所以可唯一地由線性表出

故也是AX=0的一個基礎(chǔ)解系。第四章線性方程組二、非齊次線性方程組當(dāng)，方程AX=B有解且當(dāng)r=n時，（I）有唯一解；當(dāng)r<n時，（I）有無窮多解；當(dāng)時，（I）無解。第四章線性方程組以下討論當(dāng)時，（I）的解的結(jié)構(gòu)稱為（I）的導(dǎo)出方程組[定理1]：1、非齊次線性方程組（I）的任意兩個解向量的差都是其導(dǎo)出組（II）的解。2、AX=B的任一解與導(dǎo)出組AX=0的任一解之和仍是AX=B的解。第四章線性方程組定理2：設(shè)導(dǎo)出組AX=0的一個基礎(chǔ)解系為為AX=B的任意一個特解，則AX=B的通解為：證：由定理1知：為AX=B的解第四章線性方程組設(shè)X為AX=B任一解，則X-V為AX=0的任一解而所以例1：求解下列線性方程組：第四章線性方程組解一：∴AX=B有無窮多解第四章線性方程組其簡化方程組為：令，可得AX=0的一個基礎(chǔ)解系：，可得AX=B的一個特解：第四章線性方程組所以原方程組的解為：解二：利用Mthematica軟件In[1]：=（求AX=B的特解）第四章線性方程組Out[1]：=In[2]：=（求AX=0的基礎(chǔ)解系）Out[2]：=例2：討論下列方程組的解的情況：第四章線性方程組解一：由定理可知，當(dāng)時，原方程組有無窮解當(dāng)時，第四章線性方程組對應(yīng)簡化方程為：所以原方程的一個特解為：導(dǎo)出組為：得一個基礎(chǔ)解系為：第四章線性方程組所以，原方程通解為：當(dāng)λ=-2時第四章線性方程組其對應(yīng)的簡化方程組為：所以原方程組的特解為：導(dǎo)出組為：所以λ=-2時，原方程組的通解為：第四章線性方程組解二：利用Mathematica軟件In[]：=時（求特解）Out[]：=In[]：=（求AX=0的一個基礎(chǔ)解系）Out[]：=In[]：=（求全部解）Out[]：=同理可求λ=-2時的全部解（略）第四章線性方程組例3：設(shè)為非齊次線性方程組AX=B的一個解，是導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系，證明：（1）線性無關(guān)；（2）線性無關(guān)。證：（1）（反證法）設(shè)相關(guān)，即存在不全為0的數(shù)：，使得：第四章線性方程組成立顯然，則有：即為AX=0的解，這與是AX=B的解相矛盾。（2）（定義法）由第四章線性方程組因?yàn)閾?jù)（1）知線性無關(guān),所以故線性無關(guān)。第四章線性方程組例4：設(shè)

證明AX=B必存在n-r+1個線性無關(guān)的解：，且它的任一解可表為：證：存在性由上題（2）可得證；設(shè)為AX=B的任一解向量，第四章線性方程組因?yàn)榫€性無關(guān)也線性無關(guān)又是AX=0的解為AX=0的一個基礎(chǔ)解系而也是AX=0的解，第四章線性方程組則令顯然有第四章線性方程組第五章二次型二次型及其矩陣表達(dá)用滿秩線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型正交變換矩陣的特征值與特征向量用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型正定二次型[教學(xué)目的]：[重點(diǎn)]：[難點(diǎn)]：通過對本章的學(xué)習(xí)，掌握利用矩陣化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法。正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法。抽象的理論推導(dǎo)第五章二次型第五章二次型§5.1二次型及其矩陣表達(dá)式含有n個變量的二次齊次函數(shù)：稱為二次型.f的標(biāo)準(zhǔn)型為:f的法式為:第五章二次型所以其中:第五章二次型A是實(shí)對稱矩陣,稱為二次型的矩陣,其秩叫做二次型的秩.第五章二次型當(dāng)|P|≠0時,該線性變換稱為滿秩線性變換:顯然:矩陣A的二次型經(jīng)過滿秩線性變換后,變?yōu)橐粋€含新變量的二次型.第五章二次型§5.2用滿秩線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形式一、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形式的滿秩變換的存在性設(shè)原二次型為:若經(jīng)過滿秩線性變換:得到新的二次型:第五章二次型其中則由前面可知:再令(Fi均為初等矩陣)第五章二次型則其中:第五章二次型二、實(shí)際求法例1:設(shè)用滿秩變換化為標(biāo)準(zhǔn)形式.第五章二次型解:第五章二次型所以在滿秩線性變換:下,變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)型:第五章二次型例2:化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型.解：第五章二次型所以f在滿秩線性變換:下化為標(biāo)準(zhǔn)形式:第五章二次型注意:(1)滿秩線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形式是可行的;(2)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形式不是唯一的(如例2),但其項(xiàng)數(shù)是一定的(=r)且正項(xiàng)項(xiàng)數(shù)也一定;(3)二次型的法式是唯一的.第五章二次型§5.3正交變換一、向量的內(nèi)積(數(shù)量積)定義:設(shè)則兩向量的內(nèi)積定義為:第五章二次型內(nèi)積有如下幾點(diǎn)性質(zhì):(1)當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立(2)(3)(4)歐幾里得空間:凡定義了內(nèi)積的實(shí)n維向量空間.第五章二次型定義:數(shù)叫做向量的模長(長度)記為:即幾點(diǎn)性質(zhì):(1)(2)第五章二次型(3)(4)當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立只證(2):作輔助向量則即第五章二次型若若從而由t的任意性得(關(guān)于t的一元二次不等式):第五章二次型由性質(zhì)(2)知:定義:若稱θ為兩向量之間的夾角.記為(稱為正交)第五章二次型二、標(biāo)準(zhǔn)正交向量組和施密特正交化方法定義:對一組向量若若則稱為標(biāo)準(zhǔn)向量則稱該向量組兩兩正交為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.定理1:正交向量組一定是線性無關(guān)的.第五章二次型證明:設(shè)是一組正交向量組所以線性無關(guān).第五章二次型定理2:若n維向量組是線性無關(guān)的,則:（1）可由它們出發(fā)作出m個n維正交向量組.(正交化)（2）繼續(xù)化為m個n維正交標(biāo)準(zhǔn)向量組.(標(biāo)準(zhǔn)化)（3）新舊向量組是等價的.第五章二次型施密特正交化過程:令第五章二次型標(biāo)準(zhǔn)化過程:顯然即兩兩正交第五章二次型又因?yàn)樗詾闃?biāo)準(zhǔn)向量例1:將所給向量組化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組:第五章二次型解:可以判定所給向量組是線性無關(guān)的(按定義)正交化過程:令第五章二次型第五章二次型標(biāo)準(zhǔn)化過程:可以驗(yàn)證:是一組標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.第五章二次型定理:若是n維向量的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組,且m<n,則必有非零的n維向量存在，使成為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.例2:從例1所給的向量組出發(fā),作出含四個向量的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.解:由例1可知:第五章二次型設(shè)與都正交即

因該方程組的方程個數(shù)小于其變量個數(shù)，所以有非零解第五章二次型從而可的一個解為:第五章二次型將其標(biāo)準(zhǔn)化得:即為所求滿足條件的向量.故是一組標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.第五章二次型三、正交變換與正交矩陣設(shè)即第五章二次型定義:如果線性變換Q保持向量的模不變，即對任意向量X，有(X,X)=(QX,QX)則稱線性變換Q為正交變換.定理:Y=QX為正交變換證明:由X的任意性得:第五章二次型正交矩陣的性質(zhì)：（1）（2）(3)(4)例1:判斷所給矩陣是否為正交矩陣:第五章二次型解:所以A不是正交矩陣.第五章二次型定理：一個n階矩陣A為陣交矩陣的充要條件是A的行(列)向量組是一個標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。第五章二次型§5.4矩陣的特征值與特征向量一、矩陣的特征值與特征向量的概念設(shè)A是n階方陣，定義:為A的特征多項(xiàng)式，λ為實(shí)數(shù).第五章二次型叫做A的特征多項(xiàng)式.一般形式為:叫做A的特征方程.該方程的根叫做A的特征值(根)。第五章二次型設(shè)λ0