期末考試復(fù)習(xí)概率論課件note

PART已知某個連續(xù)隨量X的分布函數(shù)為FX(x)，密度為fX(x)，考慮X的函數(shù)Y=g(X)，F(xiàn)Y(y)=P(Yy)=FY(y)=P(Xg?1(y))=FX (1-

FY(y)=P(Xg?1(y))=1?FX (1-{FY(y)

FX 1FX g(x)

(1-f(y)=dF(y)=f (1- dx 程y=g(x)恰有n個解x1,···,xn，y= k=1,2,···,fY(y)

fXg′k

y= k=1,2,···, (1-

FY(y+?y)?FY(y)=P(y<Yy+P(y<Yy+?y)?→P(xk<Xxk+P(y<Yy+?y)?→P(xk??xk<P(y<Yy+?y)

∑P(xk<Xxk+?xk)

∑P(x′??x′<Xx′ x xkk其中{xk}是單調(diào)增點，{x′}kP(y<Yy+ ∑P(xk<Xxk+?xk) ∑P(x′??x′<Xx′)

k

k k∑P(xk<Xxk+?xk) ∑P(x′??x′<Xx′) k 令?xk→0

xkx

P(xk<Xxk+ P(x′??x′<Xx′

→fX k

k→fX?xk

?y g(xk+?xk)?

??xk= = →

g(x′??x′)?g(x′

g′(x′ |g′(x′

k g(x)=ax+ g′(x)= 如果連續(xù)隨量X的概率密度為fX(x)，則隨量Y=g(X)的概率密度fY(y)=1

(y?ba

(1-例1.1(仿射不變性)許多隨量具有仿射不變性(A?neInvariance)，即在仿射變換設(shè)X～N(μ,σ2)，那么根據(jù)(1-7)，Y=aX+b (x

aμ?fY(y)=√

即Y服從N(aμ+b,a2σ2)。特別的，如果X是標準變量，即X～N(0,1)，那么Y=σX+μ恰設(shè)X～U(c1,c2)，則Y=aX+bfY(y)

—

I[ac1+b,ac2即Y服從U(ac1+b,ac2+b)。不難看出，U(0,1)在均勻分布中所起的作用和標準變量在g(x)= g′(x)= 接用定義，設(shè)X的分布函數(shù)為FX，則Y的分布函數(shù)為FY(y)=P(Yy)=P(X2–yy=P(√X√–yy–y=(FX(√y)?FX(–y

fY(y)

d

( (y)=2√y(fX

y)+

–y))I[0,∞) 如果fX(x)是對稱的，即fX(x)=fX(?x)1fY(y)=y

fX

y)I[0,∞) (1-1.2χ2分布)如果X～N(01)，那么YX21fY(y)=

y?1/2

(1- χ2(y) yn/2?1exp(?y (1- 函數(shù)(PartB有詳細討論∫Γ(x) tx?1 0由于Γ(1/2)=√π，所以在(1-12)中取n=1即得到(1-11)。如果在(1-12)中取n=2，立刻得到參數(shù)λ=/的指數(shù)分布，所以指數(shù)分布是自由度為2的χ2分布?！摇辻χ2(y)dy ∫∞yn/2exp(?y 2=2n/2Γ(n/2)2n/2Γ(n/2+=2Γ(n/2+1)/Γ(n/2)= (1-∫y2χ2(y)dy

Γ(x+1)= (1- ∫∞yn/2+1exp(?y 2=2n/2Γ(n/2)2n/2+1Γ(n/2+=n(n+Var(X)=E(X2)?(E(X))2= (1-n個獨立的隨量平方和的分布恰為自由度為n的χ2分布(顯然，自由度為1的χ2分布是單個隨量平方的分布)。斷，有的讀者可以參看[5]。χ2分布最早由德國人Helmert于年用于分析變量的樣本方差。年左右著名統(tǒng)計學(xué)家Pearson將其用于GoodnessofFit的計算，并發(fā)展了完整的χ2檢驗理論，確立了χ2分例1.3(G分布)G分布是χ2分布的推廣。標準的G隨量X的概率f(x)

α>0,p> (1-記作X～Ga(α,p)。很明顯，自由度為n的χ2分布恰為α=/2p=n/2的G分布，而一般的G分布不僅允許p取整數(shù)值，甚至還允許其取任意正實數(shù)。固定α=2，不同的p值所對應(yīng)的G分布概率密度如圖9-1所示。0 圖9-1G分布概率密與 變量 ∫∞E(Xn)=

Γ(p)

(αx)p+n?1

=Γ(p+=(p+n?1)(p+n?2)··· (1-E(X)=p (1-α p(p+ Var(X)=E(X)?(E(X)) ?α2=α2 (1- 隨量X的偏度來得到驗證。( E(X)s(X)=

√

=E(X3)?3E(X)E(X2)+p(p+1)(p+2)—3p2(p+1)+ =p3/2=由此可見，當(dāng)p時，X的偏度s(X)逐漸趨于0。這和圖9-1中得到的直觀是一致的。f(x)

(n?

xn?1

α>0,n∈ (1-n布。與χ2分布描述n個零均值獨立隨量平方和相類似，參數(shù)為n和α的Erlang分布描述了若干個獨立的參數(shù)為α的指數(shù)隨量的和。nErlang分布在通信工程中，特別是交換與排隊系統(tǒng)中起著重要作用。由于排隊系統(tǒng)以，丹麥工程師A.K.Erlang(1878-1929)用它來計算交換機的負載狀況，給出了呼損率的計算，從而開創(chuàng)了通信傳輸工程(Tra?cEngineering)這一研究領(lǐng)域。Erlang的許多成果 g(x) g(x)√

,x (1-在x0

x是單調(diào)的，因此如果X的密度是fX(x)，那么Y

fY(y)=2yfX (1-√例1.4(Rayleigh分布)如果X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，即X～Exp(λ)，那么Y X fY(y)=σ2exp(?σ2 (1-其中σ2=1/λ。稱以(1-24)為概率密度的隨量為Rayleigh隨量∫x F(x)0σ2exp(?σ2)=1?exp(?σ2 ∫∞ ∫ E(X)0

σ2exp(?σ2)dx= xdexp(?σ2 σ exp(?2)dxσ0

π (1-2

∞x2dexp(?x2∫ ∫∞

0 0

2xexp(—σ2)dx=σVar(X)=E(X2)?(E(X))2=(1?π (1-4ayeigh分布是無線通信中廣泛存在的隨機現(xiàn)象的基本模型。在無線通信信道中，由于信號存在的多徑效應(yīng)，到達的場強由來自直射、反射、折射和散射等不同路徑的信號分量疊加而成，各條信號路徑的延時各不相同，形成的信號幅度起伏稱為ayleighyeigh加如影衰減大度效上ayleigh的產(chǎn)生機理可以大致描述如下：無線中存夠散無信的物些生射多則到達后表現(xiàn)為大量統(tǒng)計獨立的隨量的疊加，根據(jù)中心極限定(后面章節(jié)將詳述收信號的統(tǒng)計特可以用分布來近似正交解調(diào)得到的IQ信號均服從分布，其包絡(luò)(模)恰好服從ayeigh分布許多地區(qū)測數(shù)據(jù)表，瑞利模型的適用于描建筑離層和對流層反射的無線電信道也可以用Rayleigh分布來描述。讀者可以從[7]中獲取信息二十世紀初的物理學(xué)大師，在粒子物理、波動力學(xué)、光學(xué)、聲學(xué)等多個方面都有卓越建第二任Cavendish物理學(xué)教授(第一任是Maxwell)；他的聲學(xué)巨著“ThetheoryofSoundVol位，其岳父是英國的著名議員，其妻的兄弟ArthurBalfour曾任英國首相。盡管Rayleigh分布確實能夠在很多情況下對信號通過信道后的包絡(luò)進行很好的刻 (m f(x)=

x2m?1

x2)I[0,∞) ?>0,m (m)m∫E(Xn)=

xn+2m?1

(m)m(m)?n/2?m∫∞tn/2+m?1= (?n/Γ(n/2+

E(X)

(?/Γ(1/2+

Var(X)=?1

)Γ/+

(1-543210 1 描述信道的隨量賦予量如下

AF(X)=(E(X2))2 E(X4)

∫∞ ?x2)dx

∫∞x4dexp(? exp(∫ exp(∫∞

0 0=2σ2E(X2)=Var(X2)=E(X4)?(E(X2))2=2σ4?σ4=

AF(X)=(E(X2))2= 另一方面，Nakagami-m變量X的量為(?)2Γ(2+AF(X)=

?)2(Γ(1+m)

—1

m, 即當(dāng)m<1時，Nakagami-m分布有比Rayleigh分布更大的量，更加適合于描述較為嚴重g(x)= g′(x)= 如果連續(xù)隨量X滿足X0，密度是fX(x)，那么Y=Xn的密度f(y)=1

1.6Weibull分布)設(shè)X～Exp(λ)，Y=X1/α，α>0fY(y)=λαyα?1yα0)y α(y ((yfY(y)= exp?

FX(x)=1?

((y–λ

,xE(Xn)=α∫λα∫

(exp

(x)α)dx==

tn+α?1exp(—tα)0∫tn/αexp(—=α

+

E(X)=λΓ(1+ αVar(X)=λ2(Γ(2+1)?(Γ(1+ (1- ==λ(t)

fX

α(

1?FX 于早期失效期的可靠性狀態(tài)；當(dāng)α=1時，Weibull分布為指數(shù)分布，失效率基本維持常g(x)= g′(x)= 如果X的概率密度是fX(x)，那么Y=exp(X)1fY(y)=yfX 例1.7(對數(shù)正態(tài)分布)設(shè)X～N(μ,σ2)，那么Y=exp(X)1fY(y)=√2πσy

1E(Xn)=√

∫exp(nX)

n2σ2∫

(x

μ?=exp(nμ

=exp(nμ+n2σ2 2如果令m=exp(μ)，?=exp(σ2)E(Xn)=mn?n2 (1-

σ2)=E(X)=exp(μ+

(1-Var(X)=exp(2μ+2σ2)?exp(2μ+σ2)=m2?(?? (1-( E(X)s(X)=

√

=E(X3)?3E(X)E(X2)+=m3?9/2—3m3?5/2+m3(?(??=(?+2)(??

=?3+3?+2(??

√s(X)=(exp(?σ2)+2)exp(σ2)? (1-1.8Pareto分布)設(shè)X～Exp(λ)，那么Y=exp(X)fY(y)= (1-稱該分布為Pareto分布，λ稱為Pareto指數(shù)(ParetoIndex)VilfredoPareto(18481923)是意大FY(y)=1? (1-深入理解Pareto分布和“8020Law”間關(guān)系的關(guān)鍵工具是Lorenz曲線(LorenzCurve)。給定分布函數(shù)F(x)及其密度f(x)，那么Lorenz曲線定義為∫L(y)

tf∞tf

(1-=F?1(y)=inf{x:F(x) (1-令s=F(t)

∫∫

tf(t)dt

∫∫

tdF

tf(t)dt∫

(1-0L(y)

∫00

F?1

ABAB0 0 圖9-3Lorenz體所占有的資源數(shù)量之和與待分配資源總量之間的比例。這和“80?20Law”恰好對應(yīng)。如果令F為Pareto分布函數(shù)，取λ=log(5)/log(4)，那么L(0.8)=0.2。事實上可以證明，對于Pareto分布而言，存在0p1/滿足L(p)=1?p，這里的p和Pareto指數(shù)λ有關(guān)。甚至有進一步的結(jié)果，?x>0，都有L(px)=(1?p)x。和Pareto分布相對應(yīng)的另外一個常見的經(jīng)濟學(xué)概念是基尼系數(shù)(GiniCoe?cient)

∫G=1?0

(1-G= A+B對數(shù)函數(shù)在x0g(x)= g′(x)=1 x如果X的概率密度是fX(x)，那么Y=exp(X)fY(y)=exp(y)fX 例1.9(Lace分布)設(shè)X～U(?1,1)，則Y=?λsgn(X)ln(1?|X|)的分布函數(shù)FY(y)=P(Yy)=P(?λsgn(X)ln(1?=P(?λln(1?X)y|X0)P(X0)+P(λln(1+X)y|X<0)P(X<當(dāng)y<0

FY(y)=2P(0X1?exp(?λ)|X0)+ =2(1?exp(?λ))+ FY(y)=2P(0>Xexp(λ)?1|X< =2(1?exp(λ (1-fY(y)=1

–λ 更加適合于描述所謂的“重拖尾”(HeavyTail)噪聲，也就是例外值(野值)較多出現(xiàn)的噪聲。 1.10(Logistic分布)設(shè)X～U(01)，那么Y=μβln(X/(1X))exp(y?μfY(y) exp(y?μ F(y)=

1+

x?

Y1?

y?μ) n(E(Xn)=E(μ+βZ)n

k所以，只需要考慮Z的k次矩，這里Z是μ0β1的Logistic∫E(Zn)

xn ?∞(1? (1?

(1?∫E(Z2m)

xnexp(x)dx,E(Z2m?1)=0,m∈

?∞(1?E(Z2m)=2∫∞xnexp(x)

∞

(1? (1+x)?2

xk (?1)k(k+

E(Z2m)=

(k+

∫x2mexp((k+0 (?1)

=2Γ(2m+1)

(k+ (?1)

1 1

(k+

=1

22m

32m+···+(2n?1)2m

(2n)2m+··∞ k2m?

∞

1ζ(s)

1 (1-E(Z2m)=2(2m)!(1? (1-1.11(Cauchy分布)設(shè)X～U(?π/2π/2)，那么Y=tan(X)1fY(y)=π(1+y2) (1-稱該分布為Cauchy分布。Augustin-LouisCauchy(1789?1857)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)與物理學(xué)的奠基人∫

2dx

∫

2 (1-?∞1+ A,B→∞?A1+1fX(x)=x2 (1- ∫∞E(X)∞

1dx=

= (1-

∫ E(X)

1+2dx=ln(1+ E(X+Y)=E(X)+E(Y 布，Y=?X，那么0=E(X+Y)?=E(X)+E(Y∫

∫dx

x2 n?∞1+ A,B→∞?A1+nCauchy變量X的另一個有趣之處是X和其倒數(shù)Y=1/X分布相同。事實上，Y數(shù))=P(F(y)=P(Y )=P( FY(y)=2+2P(Xy|X0)=πarctan(y當(dāng)y0時，

FY(y)=2P(Xy|X<0)=πarctan(y FY(y)=πarctan(y1fY(y)=π(1+y2)1.12(Beta分布)設(shè)X～U(0π/2)，那么Y=sin2(X)FY(y)=P(Yy)=P(sin2(X)y)==P(Xarcsin(√y))=2arcsin(√y),y∈(0, (1-π fY(y)

πy(1?

f(x)=Γ(p+q)xp?1(1? (1-

,∫

B(x,y)

tx?1(1?t)y?1 0f(x)= B(p,q)bta(/2

—x)q?1I(0,1) p=0.5,q=0p=0.5,q=0543210 0 Beta變量X～beta(p,q)∫E(Xn)

1xp+n?1(1? (1-B(p,q)=B(n+p,B(p,=Γ(n+p)Γ(p+Γ(n+p+

(1-E(X) p+

Var(X)

(p+q)2(p+q+

Part定義1.1(G函數(shù)) 函數(shù)Γ(z)定義于半復(fù)平面?(z)>0上∫Γ(z)0

sz?1exp(?s)ds,?(z)>

Γ(z+1)=

∫ szdexp(?s)=?sz +

∫sz?1exp(—0Γ(z+1)= 代入z=n，n∈NΓ(n+1)=nΓ(n)=n(n?1)Γ(n?1)=···=n(n?1)··· ∫Γ(1)0

exp(?s)ds=Γ(n+1)= πΓ(z)Γ(1?z)=sin(πz)

Γ(z)Γ(1?z)

∫∞∫

exp(?(s+令u=s+t，v=t/s

∫∞∫ ∫∞Γ(z)Γ(1?z)

exp(?u)1+vdudv

1+ C1?sds=2πiRes(1?s,1)=間[?R??]相連。進而有 sz?1

∫πiRz

∫?πi?z s= C1? ?π1?R∫?Rtz?1

1??∫??tz?1+ 1?

dt

1?令R，?0，由0?(z1∫πiRz1?Rexp(iθ)dθ→

∫?πi?z1??exp(iθ)dθ→ sz?1

∫?∞tz?1

∫0tz?1 s= dt C1?

1?∫∞tz?1

1?∫∞tz?1 1+ dt?∫∞tz?1(2i

1+ dt 1+

=?∫Γ(z)Γ(1?z)

dv 1+