高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)-第七章-第九節(jié)拋物線(一)課件-文

第九節(jié)拋物線(一)第七章平面(píngmiàn)解析幾何第一頁，共50頁?？季V要求1．掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單(jiǎndān)性質(zhì)．2．理解數(shù)形結(jié)合的思想.第二頁，共50頁。課前自修知識(zhīshi)梳理一、拋物線的定義平面內(nèi)到定點F的距離等于到定直線l(定點不在定直線上)的距離的點的軌跡是拋物線．其中定點叫做焦點，定直線叫做準線．注意：當(dāng)定點在定直線上時，點的軌跡是過該定點且與定直線垂直(chuízhí)的一條直線．第三頁，共50頁。二、拋物線的類型(lèixíng)、標準方程及其幾何性質(zhì)(注意：表中各式的p>0)標準方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py圖形焦點FFFF準線x=-x=y=-y=第四頁，共50頁。標準方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0對稱軸x軸y軸頂點(0,0)離心率e=1焦半徑=+x1=+=+y1=+第五頁，共50頁。三、圓錐曲線的統(tǒng)一定義(dìngyì)(屬知識拓展)平面內(nèi)到定點F和定直線l的距離之比為常數(shù)e的點的軌跡，當(dāng)0<e<1時，軌跡為橢圓；當(dāng)e=1時，軌跡為拋物線；當(dāng)e>1時，軌跡為雙曲線．第六頁，共50頁?；A(chǔ)(jīchǔ)自測1．(2012·東莞市一模)已知拋物線C的頂點為原點，焦點在x軸上，直線(zhíxiàn)y＝x與拋物線C交于A，B兩點，若P(2,2)為AB的中點，則拋物線C的方程為 () A．y2＝4x B．y2＝－4x C．x2＝4y D．y2＝8x解析：依題意可設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p＞0)，直線(zhíxiàn)y＝x與拋物線C交于A，B兩點，則點A在原點，因為P(2,2)為AB的中點，所以點B的坐標為(4,4)，代入拋物線方程得p＝2.故選A.答案：A第七頁，共50頁。2.(2012·西安市月考)設(shè)拋物線y2=8x上一點P到y(tǒng)軸的距離(jùlí)是4，則點P到該拋物線焦點的距離(jùlí)是()A．4B．6C．8D．12解析：據(jù)已知拋物線方程可得其準線方程為x＝－2，又由點P到y(tǒng)軸的距離為4，可得點P的橫坐標xP＝4，由拋物線定義可知點P到焦點的距離等于(děngyú)其到準線的距離，即|PF|＝xP＋＝xP＋2＝4＋2＝6.故選B.答案：B第八頁，共50頁。3．若動點P到點F(2,0)的距離(jùlí)與它到直線x+2=0的距離(jùlí)相等，則點P的軌跡方程為____________．解析：由拋物線定義知點，P的軌跡是以F(2,0)為焦點，直線x＝－2為準線的拋物線，所以(suǒyǐ)p＝4，所以(suǒyǐ)其方程為y2＝8x.答案：y2＝8x第九頁，共50頁。4．(2011·廈門市模擬)若拋物線y2=2px的焦點與橢圓(tuǒyuán)=1的右焦點重合，則p的值為______．解析(jiěxī)：橢圓＝1的右焦點為(2,0)，所以拋物線y2＝2px的焦點為(2,0)，則p＝4.答案：4第十頁，共50頁。考點探究考點(kǎodiǎn)一求拋物線的標準(biāozhǔn)方程及準線方程【例1】求滿足下列條件的拋物線的標準(biāozhǔn)方程，并求對應(yīng)拋物線的準線方程：(1)過點(-3,2)；(2)焦點在直線x-2y-4=0上；(3)已知拋物線C的頂點在原點，焦點F在x軸的正半軸上，設(shè)A，B是拋物線C上的兩個動點(AB不垂直于x軸)，但|AF|+|BF|=8，線段AB的垂直平分線恒經(jīng)過定點Q(6,0)．第十一頁，共50頁。思路點撥：對于(1)與(2)從方程形式看，求拋物線的標準方程僅需確定一個待定系數(shù)p；從實際分析，一般需確定p和確定開口(kāikǒu)方向兩個條件，否則，應(yīng)展開相應(yīng)的討論；對于(3)由已知“拋物線C的頂點在原點，焦點F在x軸的正半軸上”，可設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0)，利用拋物線的定義可解決．第十二頁，共50頁。解析(jiěxī)：(1)設(shè)所求的拋物線方程為y2＝－2px或x2＝2py(p＞0)，∵過點(－3,2)，∴4＝－2p·(－3)或9＝2p·2.∴p＝或p＝.∴所求的拋物線方程為y2＝－x或x2＝y(tǒng)，前者的準線方程是x＝，后者的準線方程是y＝－.第十三頁，共50頁。(2)令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝4，∴拋物線的焦點為(4,0)或(0，－2)．當(dāng)焦點為(4,0)時，＝4，∴p＝8，此時拋物線方程y2＝16x.焦點為(0，－2)時，＝2，∴p＝4，此時拋物線方程為x2＝－8y.∴所求的拋物線的方程為y2＝16x或x2＝－8y，對應(yīng)(duìyìng)的準線方程分別是x＝－4，y＝2.(3)設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，其準線為x＝－.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AF|＋|BF|＝8，∴x1＋＋x2＋＝8，即x1＋x2＝8－p.第十四頁，共50頁?！逹(6,0)在線段(xiànduàn)AB的中垂線上，∴|QA|＝|QB|，∴(x1－6)2＋y＝(x2－6)2＋y，y＝2px1，y＝2px2，∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0，∵AB與x軸不垂直，∴x1≠x2，故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.從而拋物線方程為y2＝8x，其準線方程為x＝－2.第十五頁，共50頁。點評：(1)求拋物線的標準方程，要先根據(jù)題設(shè)判斷拋物線的標準方程的類型，再求拋物線的標準方程，再由條件確定參數(shù)p的值．這里易犯的錯誤就是缺少對開口方向的討論，先入為主，設(shè)定一種形式的標準方程后求解，以致失去(shīqù)一解．(2)應(yīng)明確拋物線的標準方程、焦點坐標、準線方程三者相依并存，知道其中一個，就可以求出其他兩個．如本題第(3)小題根據(jù)拋物線的頂點在原點及頂點在x軸設(shè)出方程，再將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點到準線的距離，產(chǎn)生所設(shè)方程中的參變量，分析與求解均建立在拋物線的幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)上進行，難度不大，但基礎(chǔ)性較強．第十六頁，共50頁。變式探究(tànjiū)1.(1)設(shè)斜率為2的直線(zhíxiàn)l過拋物線y2=ax(a10)的焦點F，且和y軸交于點A.若△OAF(O為坐標原點)的面積為4，則拋物線方程為()A．y2=±4xB．y2=±8xC．y2=4xD．y2=8x(2)已知拋物線的頂點為坐標原點，焦點在y軸上，拋物線過點(4，-2)，則拋物線的標準方程是____________.第十七頁，共50頁。解析：(1)拋物線焦點F坐標為，故直線(zhíxiàn)l的方程為y＝2，它與y軸交點坐標為A，∴S△OAF＝××＝4，得a2＝64，a＝±8，即拋物線方程為y2＝±8x.故選B.(2)設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)，因拋物線過點(4，－2)，∴42＝－2p×(－2)，p＝4.∴拋物線方程為x2＝－8y.答案：(1)B(2)x2＝－8y第十八頁，共50頁。考點(kǎodiǎn)二求以非標準方程(fāngchéng)形式給出的拋物線的焦點坐標或準線方程(fāngchéng)【例2】設(shè)a10，a∈R，則拋物線y=4ax2的焦點坐標為()A．(a,0)B．(0，a)C.D．隨a符號而定思路點撥(diǎnbo)：將拋物線方程化為標準形式，對照標準方程即可求得．解析：由y＝4ax2得x2＝y(tǒng)，所以焦點F的坐標是.故選C.答案：C第十九頁，共50頁。變式探究(tànjiū)2．拋物線x=ay2的焦點(jiāodiǎn)F是橢圓=1的左焦點(jiāodiǎn)，則a的值為______________．第二十頁，共50頁?？键c(kǎodiǎn)三利用拋物線的定義(dìngyì)求距離和的最小值【例3】設(shè)P是拋物線y2=4x上的一動點．(1)求點P到點A(-2,1)的距離與點P到直線x=-1的距離之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|+|PF|的最小值．思路點撥：由拋物線方程(fāngchéng)為y2=4x知此拋物線的焦點為F(1,0)，準線是x=-1，由拋物線的定義知：點P到直線x=-1的距離等于點P到焦點的距離．于是，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點P，使點P到點A(-2,1)與到點F(1,0)的距離最小的問題，從而獲得問題的解答．第二十一頁，共50頁。解析：(1)由于A(-2,1)，F(xiàn)(1,0)，P為拋物線上任意一點，則|AP|+|PF|≥|AF|==，從而(cóngér)知點P到點A(-2,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和的最小值為，所以點P到點A(-2,1)的距離與點P到直線x=-1的距離之和的最小值也為.(2)如圖所示，自點B作BQ垂直于拋物線的準線(zhǔnxiàn)于點Q，交拋物線于點P1，此時，|P1Q|=|P1F|，那么|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4，即最小值為4.第二十二頁，共50頁。點評：與拋物線有關(guān)(yǒuguān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)(yǒuguān)，由于拋物線的定義在利用上有較大的靈活性，因此，此類問題也有一定的難度．本題中的兩小問有一個共性，都是利用拋物線的定義，將拋物線上的點到準線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，從而構(gòu)造出“兩點間線段距離最短”，使問題獲解．第二十三頁，共50頁。變式探究(tànjiū)3．(2012·泰安市月考)已知點M是拋物線y2=4x上的一點(yīdiǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點，A在圓C：(x-4)2+(y-1)2=1上，則|MA|+|MF|的最小值為____________.解析：依題意得|MA|＋|MF|≥(|MC|－1)＋|MF|＝(|MC|＋|MF|)－1，由拋物線的定義知|MF|等于點M到拋物線x＝－1的準線的距離，結(jié)合圖形不難得知，|MC|＋|MF|的最小值等于圓心C(4,1)到拋物線的準線x＝－1的距離，即為5，因此(yīncǐ)所求的最小值為4.答案：4第二十四頁，共50頁?？键c(kǎodiǎn)四與焦點(jiāodiǎn)弦有關(guān)的問題【例4】(2012·安徽卷)過拋物線y2=4x的焦點F的直線(zhíxiàn)交該拋物線于A，B兩點，O為坐標原點．若|AF|=3，則△AOB的面積為()A.B.C.D．2第二十五頁，共50頁。點評：凡涉及焦點弦的問題，往往能利用拋物線的定義(dìngyì)來解決，因此正確理解和掌握拋物線的定義(dìngyì)和性質(zhì)，將會給解題帶來方便．第二十六頁，共50頁。4．(2011·江西(jiānɡxī)卷)已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)兩點，且=9.(1)求該拋物線的方程；(2)O為坐標原點，C為拋物線上一點，若，求l的值．解析：(1)直線(zhíxiàn)AB的方程是y＝2，與y2＝2px聯(lián)立，從而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.拋物線定義得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，從而拋物線方程是y2＝8x.變式探究(tànjiū)第二十七頁，共50頁。(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化為x2－5x＋4＝0，從而(cóngér)x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，從而(cóngér)A(1，－2)，B(4,4)．設(shè)＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)，又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.第二十八頁，共50頁?？键c(kǎodiǎn)五拋物線與其他知識(zhīshi)的綜合【例5】(2011·廣州市一模)已知直線y=-2上有一個動點Q，過點Q作直線l1垂直于x軸，動點P在l1上，且滿足OP⊥OQ(O為坐標(zuòbiāo)原點)，記點P的軌跡為C.(1)求曲線C的方程；(2)若直線l2是曲線C的一條切線，當(dāng)點到直線l2的距離最短時，求直線l2的方程．第二十九頁，共50頁。第三十頁，共50頁。第三十一頁，共50頁。第三十二頁，共50頁。第三十三頁，共50頁。第三十四頁，共50頁。變式探究(tànjiū)5．(2012·肇慶市一模)已知圓C與兩圓x2＋(y＋4)2＝1，x2＋(y－2)2＝1外切，圓C的圓心軌跡方程為L，設(shè)L上的點與點M(x，y)的距離的最小值為m，點F(0,1)與點M(x，y)的距離為n. (1)求圓C的圓心軌跡L的方程． (2)求滿足條件m＝n的點M的軌跡Q的方程． (3)試探究軌跡Q上是否存在點B(x1，y1)，使得(shǐde)過點B的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于.若存在，請求出點B的坐標；若不存在，請說明理由．第三十五頁，共50頁。解析：(1)兩圓半徑都為1，兩圓心分別為C1(0，－4)，C2(0,2)，由題意(tíyì)得|CC1|＝|CC2|，可知圓心C的軌跡是線段C1C2的垂直平分線，C1C2的中點為(0，－1)，故圓心C的軌跡是線段C1C2的垂直平分線方程為y＝－1，即圓C的圓心軌跡L的方程為y＝－1.(2)因為m＝n，所以M(x，y)到直線y＝－1的距離與到點F(0,1)的距離相等，故點M的軌跡Q是以y＝－1為準線，點F(0,1)為焦點，頂點在原點的拋物線，＝1，即p＝2，所以，軌跡Q的方程是x2＝4y.第三十六頁，共50頁。第三十七頁，共50頁。易錯警示(jǐnɡshì)忽略(hūlüè)多解性致誤求到y(tǒng)軸的距離比到點的距離小2的動點P的軌跡方程．學(xué)生錯解：即為動點到點(2,0)的距離等于(děngyú)到直線x=-2的距離，由拋物線的定義可知點P的軌跡是拋物線，其方程為y2=8x.錯因分析：上述解法忽略了當(dāng)動點“在過定點且與定直線垂直的射線上”也符合題意這一情形，因而產(chǎn)生漏解，因此要注意正確理解和掌握拋物線的定義和性質(zhì)和注意問題的多解性，養(yǎng)成嚴密思考問題的習(xí)慣．第三十八頁，共50頁。正解：依題意可知，動點P的軌跡需分類討論：(1)當(dāng)動點P在過定點(2,0)且與定直線(y軸)垂直的射線(即x軸的非正半軸)上時，其軌跡為一條射線，故其方程為y=0.(2)當(dāng)動點P不在過定點(2,0)且與定直線(y軸)垂直的射線(即x軸的非正半軸)上時，動點P到點(2,0)的距離(jùlí)等于到直線x=-2的距離(jùlí)，其軌跡是一條拋物線，故其方程為y2=8x.綜上可得動點P的軌跡方程為y2=8x或y=0.第三十九頁，共50頁。課時升華本課時重點是拋物線的定義、四種方程及幾何性質(zhì)，難點是四種方程的運用及對應(yīng)性質(zhì)的比較、辨別和應(yīng)用，關(guān)鍵是定義的運用．在復(fù)習(xí)過程中注意以下幾點：1．求拋物線方程時，若由已知條件可知曲線是拋物線，一般用待定系數(shù)法；若由已知條件可知曲線的動點的規(guī)律，一般用軌跡法．2．解決焦點弦問題時，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，而且還應(yīng)注意焦點弦的幾何性質(zhì)．3．由于拋物線的離心率(xīnlǜ)e=1，所以與橢圓及雙曲線相比，它有許多特殊的性質(zhì)，而且許多性質(zhì)是可以借助于平面幾何的知識來解決的．第四十頁，共50頁。4．拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點F到準線的距離，等于焦點到拋物線頂點的距離．牢記它對解題(jiětí)非常有益．5．求拋物線方程時，要依據(jù)題設(shè)條件，弄清拋物線的對稱軸和開口方向，正確地選擇拋物線標準方程．6．在解題(jiětí)中，拋物線上的點、焦點、準線三者通常與拋物線的定義相聯(lián)系，所以要注意相互轉(zhuǎn)化．第四十一頁，共50頁。7．焦半徑：拋物線上的點M到焦點F的距離叫焦半徑．8．拋物線中與焦點弦有關(guān)(yǒuguān)的一些性質(zhì)