2022屆北京市第一次普通高中高三學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試題(解析版)

2022屆北京市第一次普通高中高三學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)

試題

一、單選題

1．已知集合A{2,1,0,2},B{0,1,2}，則AB（）

A．{2,1}B．{2,0}C．{0,1}D．{0,2}

【答案】D

【分析】根據(jù)集合的交集運算，可求得答案.

【詳解】集合A{2,1,0,2},B{0,1,2},

故AB{0,2}，

故選：D

2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是(1,2)，則z（）

A．2iB．2iC．12iD．12i

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何表示即得.

【詳解】∵復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是(1,2)，

∴z12i.

故選：D.

3．sin45（）

221

A．B．C．1D．

2222

【答案】B

【分析】利用誘導(dǎo)公式求得正確答案.

2

【詳解】sin45sin45.

2

故選：B

4．已知函數(shù)f(x)x2,xR，則（）

A．f(x)是奇函數(shù)B．f(x)是偶函數(shù)

C．f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

【答案】B

【分析】由函數(shù)奇偶性的定義即可判斷答案.

【詳解】由題意，xR,fxx2x2fx，即函數(shù)為偶函數(shù).

故選：B.

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5．sincos（）

11

A．sin2B．cos2C．sin2D．cos2

22

【答案】A

【分析】利用二倍角公式即得.

1

【詳解】由二倍角公式可得，sincossin2.

2

故選：A.

6．函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)0的解集為（）

A．(1,0)B．0,1C．(1,2)D．(2,3)

【答案】C

【分析】結(jié)合圖象確定正確選項.

【詳解】由圖象可知，當(dāng)x1,2時，fx0.

故選：C

7．某天甲地降雨的概率為0.2，乙地降雨的概率為0.3．假定這一天甲、乙兩地是否降

雨相互之間沒有影響，則兩地都降雨的概率為（）

A．0.24B．0.14C．0.06D．0.01

【答案】C

【分析】根據(jù)相互獨立事件概率計算公式，計算出正確答案.

【詳解】依題意，兩地都降雨的概率為0.20.30.06.

故選：C

8．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞減的是（）

1

A．f(x)xB．f(x)C．f(x)logxD．f(x)sinx

x2

【答案】B

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】f(x)x在(0,)上單調(diào)遞增，故A不符題意；

1

f(x)在(0,)上單調(diào)遞減，故B符合題意；

x

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f(x)logx在(0,)上單調(diào)遞增，故C不符題意；

2

f(x)sinx在(0,)上不單調(diào)，故D不符題意.

故選：B.

9．如圖，在直三棱柱ABCABC中，ABC是等腰直角三角形．若ABAC4,AA3，

1111

則該直三棱柱的體積為（）

A．6B．12C．18D．24

【答案】D

【分析】根據(jù)棱柱的體積計算公式，可直接求得答案.

【詳解】因為在直三棱柱ABCABC中，ABC是等腰直角三角形，

111

ABAC4,AA3，則BAC為直角，

1

11

故可得：VSAAABACAA44324,

ABCABCABC11

11122

故選：D

10．已知向量a(1,0),b(1,1)，則ab（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】B

【分析】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可求得答案.

【詳解】ab11011.

故選：B.

11．“四邊形ABCD為矩形”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的（）

A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不

必要條件

【答案】A

【分析】利用充分條件與必要條件的定義判斷即可.

【詳解】若四邊形ABCD是矩形，則它是平行四邊形，

反之,若四邊形ABCD為平行四邊形，四邊形ABCD不一定是矩形，

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所以“四邊形ABCD為矩形”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充分不必要條件.

故選：A.

12．函數(shù)f(x)log(x3)的定義域為（）

2

A．(3,)B．(0,)C．(,3)D．(,0)

【答案】A

【分析】由真數(shù)大于0可得.

【詳解】由x30，得x3.

故選：A

13．如圖，已知四邊形ABCD為矩形，則ABAD（）

A．BDB．DBC．ACD．CA

【答案】C

【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則求得正確答案.

【詳解】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知ABADAC.

故選：C

14．甲、乙兩個學(xué)習(xí)小組各有5名同學(xué)，兩組同學(xué)某次考試的語文、數(shù)學(xué)成績?nèi)缦聢D所

示，其中“+”表示甲組同學(xué)，“”表示乙組同學(xué)．

從這兩個學(xué)習(xí)小組數(shù)學(xué)成績高于80分的同學(xué)中任取一人，此人恰為甲組同學(xué)的概率是

（）

A．0.25B．0.3C．0.5D．0.75

【答案】C

【分析】利用古典概型概率計算公式，計算出所求概率.

【詳解】根據(jù)圖象可知，兩個小組高于80分的同學(xué)各有2人，

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21

所以從中任取一人，此人恰為甲組同學(xué)的概率是.

222

故選：C

15．設(shè)m，n是兩條不同的直線，,是兩個不同的平面，則下列命題中的真命題為（）

A．若m∥,n∥，則m∥nB．若m,n，則m∥n

C．若m∥,m∥，則∥D．若m∥,m，則∥

【答案】B

【分析】在正方體中取直線和平面可排除ACD，由線面垂直的性質(zhì)可得B正確.

【詳解】在正方體ABCDEFGH中，記底面ABCD為，EF為m，EH為n，顯然A

不正確；記底面ABCD為，EF為m，平面CDHG為，故排除C；記底面ABCD為

，EF為m，平面ABFE為，可排除D；由線面垂直的性質(zhì)可知B正確.

故選：B

16．在ABC中，a1,c2,B60，則b（）

A．1B．2C．2D．3

【答案】D

【分析】根據(jù)由余弦定理，可得b2a2c22accosB，代入數(shù)據(jù)即得.

1

【詳解】由余弦定理，得b2a2c22accosB12222123，

2

b3.

故選：D.

17．已知a，b是實數(shù)，且ab，則（）

11

A．a(chǎn)bB．a(chǎn)2b2C．D．|a||b|

ab

【答案】A

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)確定正確答案.

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【詳解】由于ab，所以ab，A選項正確.

a1,b1,a2b2,ab，BD選項錯誤.

11

a2,b1,，C選項錯誤.

ab

故選：A

18．已知x0,y0，且xy1，則xy的最小值為（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【分析】由基本不等式即可求得答案.

【詳解】因為x,y0，所以xy2xy2，當(dāng)且僅當(dāng)xy1時取“=”.

故選：B.

19．已知函數(shù)f(x)2x，x[0,)，則f(x)（）

A．有最大值，有最小值B．有最大值，無最小值

C．無最大值，有最小值D．無最大值，無最小值

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的知識確定正確選項.

【詳解】fx2x在0,上是增函數(shù)，

所以最小值為f0，沒有最大值.

故選：C

20．對于正整數(shù)n，記不超過n的正奇數(shù)的個數(shù)為K(n)，如K(1)1，則K(2022)（）

A．2022B．2020C．1011D．1010

【答案】C

【分析】根據(jù)題意求出正奇數(shù)的個數(shù)即可.

2022

【詳解】由題意，不超過2022的正奇數(shù)有1011個.

2

故選：C.

二、填空題

21．計算：lg2lg5=___________．

【答案】1

【詳解】lg2lg5lg101.

故答案為1

22．某校舉行演講比賽，五位評委對甲、乙兩位選手的評分如下：

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甲8.17.98.07.98.1

乙7.98.08.18.57.5

記五位評委對甲、乙兩位選手評分?jǐn)?shù)據(jù)的方差分別為S2,S2，則：S2______S2（填“>”，

甲乙甲乙

“=”或“<”）．

【答案】

【分析】計算出S2,S2，由此確定正確答案.

甲乙

8.17.98.07.98.1

【詳解】甲的得分平均值為8.0，

5

10.04

S20.124.

甲55

7.98.08.18.57.5

乙的得分平均值為8.0，

5

10.52

S20.1220.522，

乙55

所以S2S2.

甲乙

故答案為：

23．對于溫度的計量，世界上大部分國家使用攝氏溫標(biāo)（℃），少數(shù)國家使用華氏溫標(biāo)

（℉），兩種溫標(biāo)間有如下對應(yīng)關(guān)系：

攝氏溫標(biāo)（℃）…01020304050…

華氏溫標(biāo)（℉）…32506886104122…

根據(jù)表格中數(shù)值間呈現(xiàn)的規(guī)律，給出下列三個推斷：

①25℃對應(yīng)77℉；

②20℃對應(yīng)4℉；

③存在某個溫度，其攝氏溫標(biāo)的數(shù)值等于其華氏溫標(biāo)的數(shù)值．

其中所有正確推斷的序號是_____________．

【答案】①②③

【分析】根據(jù)條件可得y1.8x32，然后逐項分析即得.

【詳解】設(shè)攝氏溫標(biāo)為x℃，對應(yīng)的華氏溫標(biāo)為y℉,

503268328632

根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知1.8,1.8,1.8,

100200300

y32

∴1.8，即y1.8x32，

x0

∴x25℃時，y77℉，x20℃時，y4℉，故①②正確；

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由y1.8x32x，可得x40，即攝氏溫標(biāo)40℃對應(yīng)的華氏溫標(biāo)為40℉，故③正

確.

故答案為：①②③.

三、雙空題

2x,x0,

24．已知函數(shù)fx則f(1)________；方程f(x)1的解為________．

x,x0,

【答案】－21

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】f(1)2×(－1)＝－2；

x＜0時，f(x)＜0，故f(x)＝1＞0時，x≥0，則x1，解得x＝1.

故答案為：－2；1.

四、解答題

25．已知函數(shù)f(x)x2mx1（m是常數(shù)）的圖象過點(1,2)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求不等式f(x)2x1的解集．

【答案】(1)f(x)x21；

(2)(0,2).

【分析】（1）把點代入解析式可得m0，即得；

（2）利用一元二次不等式的解法即得.

(1)

由題意，f(1)m22，

所以m0．

所以f(x)的解析式為f(x)x21．

(2)

不等式f(x)2x1等價于x22x0．

解得0x2．

所以不等式f(x)2x1的解集為(0,2)．

26．已知函數(shù)f(x)sinx．

3

(1)寫出f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在區(qū)間0,上的最大值．

2

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【答案】(1)2

(2)1

2

【分析】（1）根據(jù)解析式寫出最小正周期；

（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，從而求出最值.

(1)

2

f(x)的最小正周期為：T2.

1

(2)

因為0x，所以x．

2336

當(dāng)x，即x時，f(x)取得最大值1．

3622

27．閱讀下面題目及其解答過程．

ABCDABCD

如圖，已知正方體1111．

ACBD

（Ⅰ）求證：1；

DDABC

（Ⅱ）求證：直線1與平面1不平行．

BD,BD

解：（Ⅰ）如圖，連接11．

ABCDABCD

因為1111為正方體，

DD

所以1平面ABCD．

所以①___________．

因為四邊形ABCD為正方形，

所以②__________．

DDBDD

因為1，

所以③____________．

ACBD

所以1．

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ACBDOBO

（Ⅱ）如圖，設(shè)，連接1．

DD//ABC

假設(shè)1平面1．

DDDDBBABCDDBB

因為1平面11，且平面1平面11④____________，

所以⑤__________．

DD//BB

又11，

BBO,BBDD

這樣過點1有兩條直線11都與1平行，顯然不可能．

DDABC

所以直線1與平面1不平行．

以上題目的解答過程中，設(shè)置了①~⑤五個空格，如下的表格中為每個空格給出了兩個

選項，其中只有一個符合推理，請選出符合推理的選項，并填寫在答題卡的指定位置（只

需填寫“A”或“B”）．

空格序號選項

①DDACDDBD

A．1B．1

②A．ABBCB．ACBD

③BDABCACDDBB

A．1平面1B．平面11

④BOBB

A．1B．1

⑤DD//BODDBO

A．11B．1與1為相交直線

【答案】（Ⅰ）①A②B③B；（Ⅱ）④A⑤A

【分析】結(jié)合線面垂直、線面平行的知識對“解答過程”進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】要證明ACBD，可通過證明AC平面DDBB來證得，

111

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要證明AC平面DDBB，可通過證明ACBD,DDAC來證得，

111

所以①填A(yù)，②填B，③填B.

平面ABC與平面DDBB的交線為BO，所以④填A(yù)，

1111

由于DD//平面ABC，因為DD平面DDBB，且平面ABC平面DDBBBO，

111111111

根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知，DD//BO，所以⑤填A(yù).

11

4x

28．給定集合D(,0)(0,)，f(x)為定義在D上的函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)，

x24

且對任意xD，都有___________．

從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，補(bǔ)充在橫線處，使f(x)存

在且唯一確定．

條件①：f(x)f(x)1；

條件②：f(x)f(x)1；

條件③：f(x)f(x)1．

解答下列問題：

（1）寫出f(1)和f(1)的值；

（2）寫出f(x)在(0,)上的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)g(x)f(x)m(mR)，寫出g(x)的零點個數(shù)．

【答案】答案詳見解析

【分析】判斷條件③不合題意.選擇條件①②、則先求得當(dāng)x0時，fx的表達(dá)式，然

后結(jié)合函數(shù)的解析式、單調(diào)性、零點，對（1）（2）（3）進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】依題意fx的定義域為D(,0)(0,)，

4x

當(dāng)x0時，f(x).

x24

對于條件③，對任意xD，都有f(x)f(x)1，

以x替換x，則fxfx1，這與f(x)f(x)1矛盾，所以條件③不合題意.

4x4x

若選條件①，當(dāng)x0時，x0，fx1fx11.

x24x24

4449

（1）f1,f11.

145145

4x

（2）對于函數(shù)hxx0，

x24

4x4xxx24xx24

任取xx0，hxhx1241221

1212x24x24x24x24

1212

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xx24xx2x4xxxxx4xx

41211224122121

x24x24x24x24

1212

xx4xx

41221，

x24x24

12

其中xx0，當(dāng)xx2時，xx40，hxhx0,hxhx，

2112121212

所以hx在,2上遞減.

當(dāng)2xx0時，xx40，hxhx0,hxhx，

12121212

所以hx在2,0上遞增.

所以在區(qū)間,0，h2hx0,1hx0.

同理可證得：hx在0,2上遞增，在2,上遞減，0hxh2,0hx1.

4x

當(dāng)x0時，fx11hx，

x24

由上述分析可知，fx在0,2上遞增，在2,上遞減.且1fx2.

（3）g(x)f(x)m0,mfx，

由（2）的分析可畫出fx的大致圖象如下圖所示，

所以，當(dāng)m1或0m1或m2時，g(x)的零點個數(shù)是0；

當(dāng)m1或m2時，g(x)的零點個數(shù)是1；

當(dāng)1m0或1m2時，g(x)的零點個數(shù)是2．

若選條件②，當(dāng)x0時，x0，

1x24

由f(x)f(x)1得fx，

fx4x

第12頁共