九年級(上冊)數(shù)學壓軸題精選和詳細解析

./2014-2015學年度???學校1月月考卷試卷副標題1．〔本題滿分10分如圖,在半徑為2的扇形AOB中,∠AOB=90°,點C是弧AB上的一個動點〔不與點A、B重合OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分別為D、E．〔1當BC=1時,求線段OD的長；〔2在△DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在,請指出并求其長度,如果不存在,請說明理由；[答案]①；②存在,[解析]試題分析：〔1如圖〔1,∵OD⊥BC,∴BD=BC=,∴OD==；〔2如圖〔2,存在,DE是不變的．連接AB,則AB==2,∵D和E分別是線段BC和AC的中點,∴DE=AB=；〔3如圖〔3,連接OC,∵BD=x,∴OD=,∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠2+∠3=45°,過D作DF⊥OE．∴DF==,由〔2已知DE=,∴在Rt△DEF中,EF==,∴OE=OF+EF=+=∴y=DF?OE=??=〔0＜x＜考點:1.垂徑定理；2.勾股定理；3.三角形中位線定理2．在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分線,DE⊥AB于點E．〔1如圖1,連接EC,求證：△EBC是等邊三角形；〔2點M是線段CD上的一點〔不與點C,D重合,以BM為一邊,在BM的下方作∠BMG=60°,MG交DE延長線于點G．請你在圖2中畫出完整圖形,并直接寫出MD,DG與AD之間的數(shù)量關系；〔3如圖3,點N是線段AD上的一點,以BN為一邊,在BN的下方作∠BNG=60°,NG交DE延長線于點G．試探究ND,DG與AD數(shù)量之間的關系,并說明理由．[答案]〔1證明見解析：〔2AD=DG+DM．〔3AD=DG-DN．理由見解析.[解析]試題分析：〔1利用"三邊相等"的三角形是等邊三角形證得△EBC是等邊三角形；〔2延長ED使得DN=DM,連接MN,即可得出△NDM是等邊三角形,利用△NGM≌△DBM即可得出BD=NG=DG+DM,再利用AD=BD,即可得出答案；〔3利用等邊三角形的性質得出∠H=∠2,進而得出∠DNG=∠HNB,再求出△DNG≌△HNB即可得出答案．試題解析：〔1證明：如圖1所示：在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°,BC=AB．∵BD平分∠ABC,∴∠1=∠DBA=∠A=30°．∴DA=DB．∵DE⊥AB于點E．∴AE=BE=AB．∴BC=BE．∴△EBC是等邊三角形；〔2結論：AD=DG+DM．證明：如圖2所示：延長ED使得DN=DM,連接MN,∵∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分線,DE⊥AB于點E,∴∠ADE=∠BDE=60°,AD=BD,又∵DM=DN,∴△NDM是等邊三角形,∴MN=DM,在△NGM和△DBM中,∵∴△NGM≌△DBM,∴BD=NG=DG+DM,∴AD=DG+DM．〔3結論：AD=DG-DN．證明：延長BD至H,使得DH=DN．由〔1得DA=DB,∠A=30°．∵DE⊥AB于點E．∴∠2=∠3=60°．∴∠4=∠5=60°．∴△NDH是等邊三角形．∴NH=ND,∠H=∠6=60°．∴∠H=∠2．∵∠BNG=60°,∴∠BNG+∠7=∠6+∠7．即∠DNG=∠HNB．在△DNG和△HNB中,∴△DNG≌△HNB〔ASA．∴DG=HB．∵HB=HD+DB=ND+AD,∴DG=ND+AD．∴AD=DG-ND．考點：1.等邊三角形的判定與性質；2.全等三角形的判定與性質．3．如圖,△ABC內接于⊙O,過點A的直線交⊙O于點P,交BC的延長線于點D,AB2=AP?AD．〔1求證：AB=AC；〔2如果∠ABC=60°,⊙O的半徑為1,且P為的中點,求AD的長．[答案]〔1證明見試題解析；〔23．[解析]試題分析：〔1根據(jù)AB2=AP?AD,可以連接BP,構造相似三角形．根據(jù)相似三角形的性質得到∠APB=∠ABD,再根據(jù)圓周角定理得到∠APB=∠ACB,即∠ABC=∠ACB,從而由等角對等邊證明結論；〔2因為有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形,發(fā)現(xiàn)等邊三角形ABC,再根據(jù)點P為弧的中點,連接BP,發(fā)現(xiàn)30°的直角三角形,且BP是直徑,從而求得AP的長,AB的長．再根據(jù)已知中的條件求得AD的長．試題解析：〔1連接BP,∵AB2=AP?AD,∴,又∵∠BAD=∠PAB,∴△ABD∽△APB,∵∠ABC=∠APB,∠APB=∠ACB,∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC；〔2由〔1知AB=AC,∵∠ABC=60°,∴△ABC為等邊三角形,∴∠BAC=60°,∵P為的中點,∴∠ABP=∠PAC=∠ABC=30°,∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90°,∴BP為直徑,∴BP過圓心O,∴BP=2,∴AP=BP=1,∴,∵AB2=AP?AD,∴AD==3．考點：1．圓周角定理；2．相似三角形的判定與性質．4．如圖,已知△ABC內接于⊙O,AB是⊙O的直徑,點F在⊙O上,且滿足,過點C作⊙O的切線交AB的延長線于D點,交AF的延長線于E點．〔1求證：AE⊥DE；〔2若∠CBA＝60°,AE＝3,求AF的長．[答案]<1>證明見解析；〔22．[解析]試題分析：〔1首先連接OC,由OC=OA,,易證得OC∥AE,又由DE切⊙O于點C,易證得AE⊥DE；〔2由AB是⊙O的直徑,可得△ABC是直角三角形,易得△AEC為直角三角形,根據(jù)AE=3求得AC的長,然后連接OF,可得△OAF為等邊三角形,知AF=OA=AB,在△ACB中,利用已知條件求得答案．試題解析：〔1證明：連接OC,∵OC=OA,∴∠BAC=∠OCA,∵∴∠BAC=∠EAC,∴∠EAC=∠OCA,∴OC∥AE,∵DE切⊙O于點C,∴OC⊥DE,∴AE⊥DE；〔2解：∵AB是⊙O的直徑,∴△ABC是直角三角形,∵∠CBA=60°,∴∠BAC=∠EAC=30°,∵△AEC為直角三角形,AE=3,∴AC=2,連接OF,∵OF=OA,∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°,∴△OAF為等邊三角形,∴AF=OA=AB,在Rt△ACB中,AC=2,tan∠CBA=,∴BC=2,∴AB=4,∴AF=2．考點：切線的性質．5．〔1如圖①,在正方形ABCD中,△AEF的頂點E,F分別在BC,CD邊上,高AG與正方形的邊長相等,求的度數(shù)．〔2如圖②,在Rt△ABD中,,,點M,N是BD邊上的任意兩點,且,將△ABM繞點A逆時針旋轉至△ADH位置,連接,試判斷MN,ND,DH之間的數(shù)量關系,并說明理由．〔3在圖①中,連接BD分別交AE,AF于點M,N,若,,,求AG,MN的長．[答案]〔145°．〔2MN2=ND2+DH2．理由見解析；〔35.[解析]試題分析：〔1根據(jù)高AG與正方形的邊長相等,證明三角形全等,進而證明角相等,從而求出解．〔2用三角形全等和正方形的對角線平分每一組對角的知識可證明結論．〔3設出線段的長,結合方程思想,用數(shù)形結合得到結果．試題解析：〔1在Rt△ABE和Rt△AGE中,AB=AG,AE=AE,∴Rt△ABE≌Rt△AGE〔HL．∴∠BAE=∠GAE．同理,∠GAF=∠DAF．∴∠EAF=∠BAD=45°．〔2MN2=ND2+DH2．∵∠BAM=∠DAH,∠BAM+∠DAN=45°,∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．∴∠HAN=∠MAN．又∵AM=AH,AN=AN,∴△AMN≌△AHN．∴MN=HN．∵∠BAD=90°,AB=AD,∴∠ABD=∠ADB=45°．∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°．∴NH2=ND2+DH2．∴MN2=ND2+DH2．〔3由〔1知,BE=EG,DF=FG．設AG=x,則CE=x-4,CF=x-6．在Rt△CEF中,∵CE2+CF2=EF2,∴〔x-42+〔x-62=102．