線性代數方程組的迭代解法

線性代數方程組的迭代解法第一頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一§2Jacobi和Gauss-Seidel迭代法一、Jacobi迭代法設方程組將系數矩陣分裂為：其中第二頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一如果原方程組可化為其中相應的迭代格式上述方法稱為Jacobi迭代法，簡稱J法或簡單迭代法分量形式：第三頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一二、Gauss-Seidel迭代法G-S迭代法是J迭代法的一種改進在J迭代公式中，計算時，利用已經算出來的新的值，從而得到G-S迭代法。G-S迭代法的分量形式：第四頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一例1：利用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程組解：Jacobi迭代格式第五頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一G-S迭代格式計算結果取初值Jacobi迭代法

要求精度迭代次數

0.0019(1.00025071.00006941.0002507)0.000110(0.99995411.00012530.9999541)0.0000114(0.99999811.00000200.9999981)方程組的近似解第六頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一G-S迭代法的迭代矩陣：計算結果Gauss-Seidel迭代法

要求精度迭代次數

0.0015(0.99979160.99984791.0000664)0.00017(0.99999290.99999491.0000022)0.000018(1.00000131.00000090.9999996)方程組的近似解取初值由迭代公式迭代矩陣第七頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一三、Jacobi和Gauss-Seidel迭代法的收斂性Jacobi迭代法收斂的充要條件是Gauss-Seidel迭代法收斂的充要條件是推論1：Jacobi迭代法收斂的充分條件是Gauss-Seidel迭代法收斂的充分條件是

如例1：利用J和G-S迭代法求解方程組第八頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一Jacobi迭代矩陣系數矩陣第九頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一Gauss-Seidel迭代矩陣第十頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一設滿足稱為嚴格對角占優(yōu)矩陣如果且至少有一個嚴格不等式成立，則稱為弱對角占優(yōu)矩陣。設，如果能找到排列陣，使得其中與均為方陣，稱為可約的否則稱為不可約的第十一頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一例如：矩陣是可約的若系數矩陣是可約的，則可通過行與列重排化為（*）式，從而可以將方程組簡化為低階方程組。第十二頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一（補充:可約矩陣的等價定義）是可約矩陣，當且僅當存在一個下標的非空子集，使得例如：矩陣矩陣不可約第十三頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一如果嚴格對角占優(yōu)，則，且非奇異。如果不可約且弱對角占優(yōu)，則，且非奇異。自己看證明：首先證明設由條件：是弱對角占優(yōu)，交換的第k、n行與k、n列，則矩陣變?yōu)榕c不可約矛盾！第十四頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一其次證明是非奇異的設則存在非零向量滿足定義下標的集合且令對某個j顯然J非空，否則第十五頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一對，有由此可知，當時，但對于都有所以否則與弱對角占優(yōu)矛盾！與不可約矛盾第十六頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一如果為嚴格對角占優(yōu)或為不可約且弱對角占優(yōu)矩陣，則求解方程組的J法和G-S法均收斂。證明：僅給出不可約且弱對角占優(yōu)矩陣G-S法的證明只要證明，其中設有一個特征值，滿足，且有

是不可約且弱對角占優(yōu)矩陣，由定理6.8：第十七頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一因此注意到和的零元素和非零元素的位置完全一樣，故是不可約也是弱對角占優(yōu)矩陣矛盾！如果為嚴格對角占優(yōu)矩陣，易證其中為J法的迭代矩陣第十八頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一如果是對稱矩陣，且有正的對角元，則求解方程組的J法收斂的充要條件是矩陣和均為正定的，其中證明：記其中迭代矩陣矩陣和相似，故有相同的特征值；且、、對稱第十九頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一必要性設J法收斂，則記的特征值為，則的特征值為所以是對稱正定的。對而矩陣是對稱正定的同理可證第二十頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一矩陣的正特征值均小于1充分性因為正定，所以也是正定矩陣，且其特征值全部大于零。所以的特征值均小于1矩陣和相似，故有相同的特征值，且特征值均小于1。第二十一頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一如果