2022-2023學年北京市西城區(qū)高一下學期期中模擬數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年北京市西城區(qū)高一下學期期中模擬數(shù)學試題一、單選題1．=（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用誘導公式求解.【詳解】，故選：A2．已知向量，，且，則

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)可得出，解出m即可．【詳解】；；．故選D．【點睛】本題考查向量坐標的概念，以及平行向量的坐標關系．3．若角的終邊經(jīng)過點，則下列三角函數(shù)值恒為正的是A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，得出結論．【詳解】角的終邊經(jīng)過點，，，，故，而，正負號不確定，，正負號不確定，故選B．【點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎題．4．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將代數(shù)式變形為，然后再利用兩角差的余弦公式可得出結果.【詳解】由題意可得，故選A.【點睛】本題考查兩角差的余弦公式的應用，解題的關鍵就是將系數(shù)化為特殊角的三角函數(shù)值，考查計算能力，屬于基礎題.5．如圖，在矩形中，是的中點，若，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】由向量的平行四邊形法則以及三角形法則得出，進而得出.【詳解】，∴，，∴，故選：C．6．若（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)反正切函數(shù)的值域及特殊角的三角函數(shù)值判斷即可.【詳解】因為，，，，又反正切函數(shù)的值域為，所以.故選：B7．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在所求代數(shù)式上除以，利用弦化切可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】因為，則，原式.故選：A.8．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變換原則直接判斷即可.【詳解】，只需將的圖象向右平移個單位長度即可.故選：B.9．如圖，在平面直角坐標系中，角以為始邊，終邊與單位圓相交于點.過點的圓的切線交軸于點，點的橫坐標關于角的函數(shù)記為.則下列關于函數(shù)的說法正確的A．的定義域是B．的圖象的對稱中心是C．的單調(diào)遞增區(qū)間是D．對定義域內(nèi)的均滿足【答案】B【分析】由三角函數(shù)的定義可知：P（cosα，sinα），則以點P為切點的圓的切線方程為：xcosα+ysinα=1，得：函數(shù)f（α）=，結合三角函數(shù)的性質(zhì)得解．【詳解】由三角函數(shù)的定義可知：P（cosα，sinα），則以點P為切點的圓的切線方程為：xcosα+ysinα=1，由已知有cosα≠0，令y=0，得：x=，即函數(shù)f（α）=，由cosα≠0，得：α≠2kπ±，即函數(shù)f（α）的定義域為：±，k∈z}，故A錯誤，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知：函數(shù)f（α）的增區(qū)間為：[2kπ，2k），（2k2kπ+π]，k∈Z，故C錯誤，f（α）,故D錯誤，函數(shù)f（α）的對稱中心為（k，0），k∈Z，故B正確．故選B．【點睛】本題考查了三角函數(shù)的定義、圓的切線方程、及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題．10．已知單位向量??，滿足.若常數(shù)??的取值集合為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由條件，化簡為，再根據(jù)條件判斷和的取值，再根據(jù)，求的最大值.【詳解】由條件得，和的取值只有三種可能，分別為??，但二者不可能同時一個取，另一個取，∴的化簡結果只有四種形式：???，而，故所有可能取值只有或兩種結果，∴的最大值為.故選：B【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是判斷和的取值，從而利用，求的最大值.二、雙空題11．已知，則__________；__________．【答案】11【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算以及模長公式即可求值.【詳解】,，所以，故答案為：11；三、填空題12．已知向量,與向量垂直的單位向量的坐標是__________．【答案】或【分析】設向量為與向量垂直的單位向量，依題意可得且，得到方程組，解得即可.【詳解】設向量為與向量垂直的單位向量，則且，所以，解得或，即或.故答案為：或四、雙空題13．已知扇形的半徑為，扇形的弧長為，則該扇形的圓心角為__________，扇形的面積為__________．【答案】354【分析】根據(jù)弧長以及扇形面積公式即可代入求值.【詳解】設扇形的半徑，弧長以,圓心角以及扇形面積分別為，且，故rad,.故答案為：五、填空題14．計算的結果為__________．【答案】/【分析】利用誘導公式化簡，結合特殊角的三角函數(shù)值可得結論.【詳解】因為，，，所以，故答案為：.六、雙空題15．已知函數(shù)（Ⅰ）若函數(shù)沒有零點，則實數(shù)的取值范圍是________；（Ⅱ）稱實數(shù)為函數(shù)的包容數(shù)，如果函數(shù)滿足對任意，都存在，使得.在①；②；③；④；⑤中，函數(shù)的包容數(shù)是________．（填出所有正確答案的序號）【答案】Ⅰ或Ⅱ②③【分析】Ⅰ考慮指數(shù)函數(shù)的值域和二次函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求范圍；Ⅱ由題意可得的值域為的值域的子集，分別討論五種情況，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)的單調(diào)性，求得值域，即可判斷．【詳解】Ⅰ函數(shù)，由時，，無零點；若時，，當時，，無零點；當時，由，即，由時，遞增，可得，由，可得，無零點；綜上可得或；Ⅱ由題意可得的值域為的值域的子集，當時，由時，；由時，，，，不滿足題意；當時，由時，；由時，，，滿足題意；當時，由時，；由時，，，滿足題意；當時，由時，；由時，，，不滿足題意；當時，由時，；由時，，，不滿足題意．綜上可得函數(shù)的包容數(shù)是②③．故答案為或；②③．【點睛】本題考查函數(shù)的零點問題和函數(shù)的任意性、存在性問題解法，注意運用轉化思想和函數(shù)的單調(diào)性，考查化簡運算能力，屬于中檔題．七、解答題16．已知函數(shù)．(1)求的最小正周期T；(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)在給定的坐標系中用五點法作出函數(shù)的簡圖．【答案】(1)(2),．(3)見解析【分析】（1）由周期的計算公式即可求值，（2）利用整體法即可列不等式求解，（3）由五點作圖法即可求解.【詳解】（1）的最小正周期（2）由，解得：，．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,．（3）列對應值表如下：00200通過描出五個關鍵點，再用光滑曲線順次連接作出函數(shù)，的簡圖如圖所示：17．已知函數(shù)，是函數(shù)的對稱軸，且在區(qū)間上單調(diào)．(1)從條件①、條件②、條件③中選一個作為已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過點；條件②：是的對稱中心；條件③：是的對稱中心．(2)根據(jù)（1）中確定，若的值域為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意得到和，再根據(jù)選擇的條件得到第三個方程，分析方程組即可求解；（2）先求出所在的范圍，正弦函數(shù)的性質(zhì)得到，解得即可.【詳解】（1）因為在區(qū)間上單調(diào)，所以，因為，且，解得；又因為是函數(shù)的對稱軸，所以；若選條件①：因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以，因為，所以，所以，，即，當時，，滿足題意，故.若選條件②：因為是的對稱中心，所以，所以，，此方程無解，故條件②無法解出滿足題意得函數(shù)解析式.若條件③：因為是的對稱中心，所以，所以，，解得，所以.（2）由（1）知，因為，所以，又在上的值域為，所以，解得，即.18．如圖，在四邊形中，，，，且.（Ⅰ）用表示；（Ⅱ）點在線段上，且，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】Ⅰ直接利用向量的線性運算即可．Ⅱ以O為坐標原點，OA所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系可得代入各值即可．【詳解】（Ⅰ）因為，所以

.因為，所以（Ⅱ）因為，所以.因為，所以點共線.因為，所以.以為坐標原點，所在的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系.因為，，，所以.所以，.因為點在線段上，且，所以所以.因為，所以.【點睛】本題考查了向量的線性運算，向量夾角的計算，屬于中檔題．八、單選題19．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函數(shù)的奇偶性和代入特殊值即可求解.【詳解】由已知條件得函數(shù)的定義域關于原點對稱，∵，∴為偶函數(shù)，函數(shù)的圖象關于軸對稱，則排除選項、,又∵，∴排除選項，故選：.20．已知集合且且，O為坐標原點，當時，定義：，若，則“存在使”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由存在使得，根據(jù)絕對值的運算性質(zhì)有：，同理對縱坐標也如此運算可證得充分性成立；必要性可舉例說明不成立.【詳解】充分性：若存在，使，即，則，故.故充分性成立；必要性：取，則，則，但是，所以，則不共線，所以必要性不成立.故選：A.21．在同一平面內(nèi)，已知A為動點，B，C為定點，且∠BAC=，，BC=1，P為BC中點．過點P作PQ⊥BC交AC所在直線于Q，則在方向上投影的最大值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先建系，由三點共圓得點A的軌跡方程為，則，則，再由在方向上投影的幾何意義可得解．【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，則B（-，0），C（，0），P（0，0），由可知，ABC三點在一個定圓上，且弦BC所對的圓周角為，所以圓心角為.圓心在BC的中垂線即軸上，且圓心到直線BC的距離為，即圓心為，半徑為.所以點A的軌跡方程為：，則，則，由在方向上投影的幾何意義可得：在方向上投影為|DP|=|x|，則在方向上投影的最大值是，故選C．【點睛】本題考查了軌跡問題及平面向量數(shù)量積的運算，屬中檔題．22．高斯是德國著名數(shù)學家，近代數(shù)學莫基者之一，享有“數(shù)學王子”稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如，．已知函數(shù)，函數(shù)，則下列4個命題中，真命題的個數(shù)為（

）．①函數(shù)是周期函數(shù)

②函數(shù)的值域是③函數(shù)的圖象關于對稱

④方程只有一個實數(shù)根A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先研究函數(shù)的奇偶性，作出函數(shù)的圖象，作出函數(shù)的圖象判斷①②的正確性，由特值判斷③的正確性，再分類討論判斷方程的根的個數(shù)得解.【詳解】由題得函數(shù)的定義域為,，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當時，；當時，；當時，；所以函數(shù)的圖象如圖所示，所以函數(shù)的圖象如圖所示，由函數(shù)的圖象得到不是周期函數(shù)，故選項①不正確；所以函數(shù)的值域是，故選項②正確；由，所以函數(shù)的圖象不關于對稱，故選項③不正確；對于方程，當時，，方程有一個實數(shù)根；當時，，此時，此時方程沒有實數(shù)根；當時，，此時，此時方程沒有實數(shù)根；故方程只有一個實數(shù)根，故選項④正確.故選：B.九、雙空題23．如圖，圓O的半徑為2，l為圓O外一條直線，圓心O到直線l的距離，為圓周上一點，且，點P從處開始以2秒一周的速度繞點O在圓周上按逆時針方向作勻速圓周運動．①1秒鐘后，點P的橫坐標為__________；②t秒鐘后，點P到直線l的距離用t可以表示為__________．【答案】.【分析】設1秒鐘后點運動到的位置，證明三點共線，再求點的坐標，并由此確定的坐標，設t秒鐘后點的橫坐標為，由條件求函數(shù)解析式，由此求出t秒鐘后，點P到直線l的距離.【詳解】因為點P從處開始以2秒一周的速度繞點O在圓周上按逆時針方向作勻速圓周運動．設秒后點轉到如圖的位置，則，所以三點共線，所以關于原點對稱，又，，所以點的坐標為，所以點的坐標為，所以1秒鐘后，點P的橫坐標為,不妨設t秒鐘后，點的橫坐標為，由已知函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，最小值為，最大值為，故可設，所以，，所以，由已知點逆時針旋轉后，點的橫坐標為，所以秒時，點的橫坐標為，所以，所以，，所以，所以，所以t秒鐘后，點P到直線l的距離用t可以表示為.故答案為：；.十、填空題24．若關于x的方程恰有三個解，則__________．【答案】【分析】設，證明及的圖象關于對稱，結合條件證明，，由此可得結論.【詳解】設，由已知有個零點，且為其零點，因為，，所以，故函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，又，因為有個零點，且為其零點，，所以，且，所以.故答案為：.25．定義一種向量運算“”：＝（與不共線），＝（與共線）(，是任意的兩個向量)．對于同一平面內(nèi)的向量，，，，給出下列結論：①＝；②()＝()；③(＋)＝＋；④若是單位向量，則||||＋1.以上結論一定正確的是________．(填上所有正確結論的序號)【答案】①④【分析】一般，有符號“”的地方，需要分別討論共線、不共線的情況；只要找到不成立的特例即可判斷不正確；另外有參數(shù)時，參數(shù)為0一般是特例.【詳解】對①，當，共線時，；當，不共線時，，故①正確；對②，當時，，故②錯誤；對③，當與共線時，則存在，與不共線，，顯然，故③錯誤；對④，當與不共線時，；當與共線時，設，故④正確，故答案為：①④.十一、解答題26．給定正整數(shù)，設集合．對于集合中的任意元素和，記．設，且集合，對于中任意元素，若則稱具有性質(zhì)．(1)判斷集合是否具有性質(zhì)？說明理由；(2)判斷是否存在具有性質(zhì)的集合，并加以證明；(3)若集合具有性質(zhì)，證明：．【答案】(1)具有，理由見解析(2)不存在，證