第三講間接效用函數(shù)與支出函數(shù)

第三講間接效用函數(shù)與支出函數(shù)第一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一二、使用間接效用函數(shù)的原因：間接效用函數(shù)使用收入和價格兩個變量來描述的消費者的最優(yōu)消費均衡。第二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一三、間接效用函數(shù)的性質(zhì)1、在價格和財富上是連續(xù)的。2、它對于價格和財富是零次齊次的，即價格和財富的同比例變化并不影響效用水平。3、在財富上是嚴(yán)格遞增的。4、而在價格上則是嚴(yán)格遞減的。5、滿足羅伊恒等式。第三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一性質(zhì)1說明和證明第四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一性質(zhì)2的證明第五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一第六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一5、羅伊恒等關(guān)系如果間接效用函數(shù)在點上是可導(dǎo)的且，一定存在這個證明要用到包絡(luò)定理第七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一包絡(luò)定理(EnvelopeTheorem)與比較靜態(tài)分析相關(guān)的一個重要工具是包絡(luò)定理。比較靜態(tài)分析的思想是在其它條件（參數(shù)）不變得前提下，研究單個參數(shù)的變化對均衡解的影響，以此來表達(dá)決策者的行為。而另一類重要的問題是，我們常常要考慮此參數(shù)的變化對目標(biāo)函數(shù)（最大值）的影響，如一商品價格的變化對消費者的效用的影響，一投入要素價格的變化（或要素稟賦的變動）對廠商收入（或利潤）的影響，都屬此類情形。在進(jìn)入正式的討論之前，我們先介紹一個概念：最大值函數(shù)第八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一最大值函數(shù)(MaximumValueFunction)最優(yōu)規(guī)劃問題中，我們知道最優(yōu)解是與參數(shù)有關(guān)的函數(shù)，即，因此在最優(yōu)解處，目標(biāo)函數(shù)的值為：第九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一即目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解處的解也是與參數(shù)c有關(guān)的函數(shù)，我們定義為，稱之為最大值函數(shù)。更一般的，如果參數(shù)不僅出現(xiàn)在約束，而且也出現(xiàn)在目標(biāo)函數(shù)，我們有：第十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一其中為參數(shù)為時的選擇變量的最優(yōu)解，或者稱最優(yōu)反應(yīng)。因此，根據(jù)定義，如果對一任意，則有，等號當(dāng)且僅當(dāng)時取得。因此，最大值函數(shù)與函數(shù)是有區(qū)別的，一般而言，，當(dāng)且僅當(dāng)時，，即為參數(shù)的最優(yōu)反應(yīng)時取得等號。我們用一簡單的圖示來說明這一關(guān)系。第十一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一第十二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一包絡(luò)定理：包絡(luò)曲線與曲線相切于A點，即兩曲線在A點的斜率相等，用代數(shù)表達(dá)為：在處取值。此等式即為包絡(luò)定理。第十三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一更加一般的，對于最優(yōu)規(guī)劃問題：其中選擇變量x為n維向量，參數(shù)為m維向量，包絡(luò)定理為：第十四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一即參數(shù)對最大值函數(shù)（目標(biāo)函數(shù)的最大值）的影響，就等于拉格朗日函數(shù)直接對參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，并在最優(yōu)解處取值。第十五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一包絡(luò)定理證明第十六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一第十七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一第十八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一第十九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一性質(zhì)3證明第二十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一性質(zhì)4證明多加一個假設(shè)條件,用與性質(zhì)3同樣的方法,可證由于第二十一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一性質(zhì)5證明兩式相除，就可以得到羅伊恒等式第二十二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一例:從直接效用函數(shù)并驗證性質(zhì)5。第二十三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一第二十四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一令第二十五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一第二十六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一驗證（略）性質(zhì)3性質(zhì)4性質(zhì)5第二十七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一三、間接效用函數(shù)的應(yīng)用間接效用函數(shù)的存在對于說明政府政策的福利影響有比較便利的條件。控制消費者行為實質(zhì)上可以由控制價格與控制收入來實現(xiàn)。控制價格，實質(zhì)就是價格改革和價格政策；控制收入，實質(zhì)便是收入政策的內(nèi)容。如：最低生活保障制度。這項制度有利于社會穩(wěn)定，有利于促進(jìn)經(jīng)濟(jì)均衡?，F(xiàn)在，我們先從預(yù)算集合角度，考察一下最低生活保障制度的含義。最低生活保障制度。為了保證消費者在收入限制下選擇到生活需要品，消費者收入就應(yīng)不低于最低收入標(biāo)準(zhǔn)。所謂最低收入標(biāo)準(zhǔn)，是指在既定價格體系p

下消費集合X

中的最低支出I(p)=inf{px:xX

}。最低生活保障制度是一種保證收入y不低于I(p)的制度。條件y

I(p)就叫做最低生活保障或最低收入條件或最低支出條件。第二十八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一現(xiàn)在應(yīng)用效用最大化理論來分析兩個實際問題：所得稅與銷售稅的比較，價格補貼發(fā)放辦法比較。問題1：所得稅與銷售稅哪一種對消費者更為有利？國家向居民征稅有兩種辦法，一種是征收所得稅，另一種是征收銷售稅。假定不論采取哪種辦法，居民繳納的稅額是一樣的。那么，哪一種征稅辦法對居民更為有利些?問題2：漲價補貼對消費者是否有利？商品漲價，國家要發(fā)放價格補貼。一種辦法是控制價格，不許漲價，把價格補貼發(fā)給生產(chǎn)者。另一種辦法是允許漲價，把價格補貼發(fā)給消費者。那么，哪一種補貼辦法對消費者更為有利？為了分析這兩個問題，設(shè)當(dāng)前的市場價格體系為

p，消費者收入為r，消費者的選擇為xD(p,r)。第二十九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一1、比較開征所得稅和銷售稅對消費者效用的影響。

設(shè)效用函數(shù)為由第三十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一

第三十一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一(一)

所得稅與消費稅的比較

征收銷售稅：稅率向量為t

=

(

t1,

t2,,

t)，ti為購買一單位商品

i

的稅額。按稅率

t

征收銷售稅，相當(dāng)于價格從

p

上升到

p+

t，于是需求從xD(

p,

r)

變到y(tǒng)

(

p+t,

r)，所納的稅額為T

=

t

y。注意y

(

p+t,r

)

D

(

p,r)，故

y

x。

征收所得稅：把銷售稅改為所得稅，直接從消費者收入r中扣除銷售稅情況下所繳納的稅額T

=

t

y，則預(yù)算集合變?yōu)?/p>

(

p,r-

T

)，消費者選擇變?yōu)閦D

(

p,r-

T

)。xxyyz

(

p+t,r)D

(

p,r)

結(jié)果比較：可以看出，

y

(

p,

r-T

)，因而y

z。這說明：雖然繳納的稅額相同,

但征收所得稅要比征收銷售稅對居民更為有利些。

(

p,

r-T

)第三十二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一(二)價格補貼發(fā)放辦法比較不許漲價：在把價格補貼發(fā)放給生產(chǎn)者，不允許商品漲價的情況下，消費者的選擇為xD(

p,r)。允許漲價：允許商品漲價，把價格補貼發(fā)放給消費者。漲價后的價格體系為q，補貼使得消費者收入從r

提高到s，消費者的選擇從

x

變?yōu)?/p>

y

(q,s)。補貼標(biāo)準(zhǔn)：補貼后，要保證消費者仍可以按照原來的方案進(jìn)行消費，即補貼額=

q

x

p

x，也即q

x

=

s。結(jié)果比較：y

(q,s)，x

y。這說明“允許漲價，把補貼發(fā)給消費者”比“不許漲價，把補貼發(fā)給生產(chǎn)者”對消費者來說更為有利些。D

(

p,r)xxy

(

q,s)第三十三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一第二節(jié)支出函數(shù)

一、支出函數(shù)的定義在價格p既定的前提下，為滿足特定的效用水平u所必須的最低花費為e(p,u),第三十四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一二、支出函數(shù)的解這是個支出最小化問題，選擇合適的x使得滿足約束條件第三十五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一最小化支出問題uo第三十六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一三、支出函數(shù)的性質(zhì)1、對于p是一次齊次的。2、是關(guān)于p的凹函數(shù)3、對p是遞增的。

4、連續(xù)性（利用最大化原理）

5、謝潑德引理：第三十七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一性質(zhì)1證明設(shè)函數(shù)f：RnR,tR，xRn,如果

f(tx)

=tmf(x),亦即f(tx1,…,txn)=tmf(x1,…,xn),稱函數(shù)f為m次齊次函數(shù)。線性函數(shù)為一次齊次函數(shù)。因為f(tx)=t

f(x)。如:p1x1

+

p2

x2=y(tp1)x1

+(

tp2

)x2=ty第三十八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一例：設(shè)需求滿足效用水平是效用函數(shù)形式為：，求支出函數(shù)，并說明支出函數(shù)關(guān)于價格變動具有一次齊次性。第三十九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一第四十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一性質(zhì)2證明

支出最小化意味著，在既定的價格下，獲得既定的效用，支出最小。

第四十一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一性質(zhì)5：謝潑德引理證明如果是連續(xù)且嚴(yán)格遞增的，那么，當(dāng)時，支出函數(shù)在點對于可微，并且證明構(gòu)建拉格朗日函數(shù)，利用包絡(luò)定理。

第四十二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一第四十三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一四、希克斯的需求概念任何人都希望在保持生活水平不變的條件下最小化自己的支出而非最大，這也是經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個先驗命題。支出最小化反映的是這樣一種經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象：當(dāng)消費者面臨一種消費方案時，常常會作出這樣的考慮：只要效用水平不降低，支出越少就越好。這就是說，消費者首先確定一個效用水平，然后在不低于這個效用水平的前提下使消費支出達(dá)到最小。這種做法的道理在于貨幣也是一種具有效用的商品，支付貨幣相當(dāng)于支付效用。以貨幣換商品，相當(dāng)于以效用換效用。正常人都會有想占便宜的正常心理，誰不想以較少的效用換得較多的效用呢？因此，支出最小化當(dāng)然也要算作經(jīng)濟(jì)人理性的構(gòu)成部分。準(zhǔn)確地講，支出最小化是指消費者在保證不降低生活水平的前提下