第七節(jié)二階線性微分方程解的結構

第七節(jié)二階線性微分方程解的結構第一頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一二階線性微分方程的概念二階線性微分方程的一般形式是其中丶及是自變量的已知函數(shù),函數(shù)稱為方程(1)的自由項.當時,方程(1)成為這個方程稱為二階齊次線性微分方程,相應地,方程(1)稱為二階非齊次線性微分方程.第二頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一二階線性微分方程的概念方程(1)稱為二階非齊次線性微分方程.本節(jié)所討論的二階線性微分方程的解的一些性質,還可以推廣到階線性微分方程第三頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一二階線性微分方程解的定理定理1如果函數(shù)與是方程(1)的兩個解,則也是方程(1)的解,其中是任意常數(shù).第四頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一函數(shù)的線性相關與線性無關定義1設是定義在區(qū)間內數(shù).如果存在兩個不全為零的常數(shù)使得在區(qū)間內恒有則稱這兩個函數(shù)在區(qū)間內線性相關.否則稱線性無關.的兩個函第五頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一二階線性微分方程解的定理定理2若與是方程(1)的兩個線性無關的特解,則就是方程(1)的通解,其中是任意常數(shù).第六頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一二階線性微分方程解的定理定理3設是方程(1)的一個特解,而是其對應的齊次方程(2)的通解,則就是二階非齊次線性微分方程(1)的通解.第七頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一二階線性微分方程解的定理定理4設與分別是方程與的特解,則是方程的特解.第八頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一二階線性微分方程解的定理定理5設是方程的解,其中為實值函數(shù),為純虛數(shù).則與分別是方程與的解.第九頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一例1已知是某二階非齊次線性微分方程的三個特解：求此方程的通解;寫出此微分方程;求此微分方程滿足的特解.第十頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一齊次線性微分方程的解法設是方程(1)的一個已知非零特解,作變量替換第十一頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一解線性微分方程的降階法把它們代入(1)式,得再作變量替換得第十二頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一解線性微分方程的降階法分離變量得兩邊積分得為任意常數(shù)).對積分,得為任意常數(shù)).代回原變量,就得到方程(1)的通解第十三頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一解線性微分方程的降階法為任意常數(shù)).代回原變量,就得到方程(1)的通解這個公式稱為二階線性微分方程的劉維爾公式.第十四頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一例2已知是方程個解,試求方程的通解.的一第十五頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一常數(shù)變易法設有二階非齊次線性方程如果其對應的齊次方程的通解為設非齊次方程(1)的特解為其中是兩個特定函數(shù),對求導數(shù),得第十六頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一常數(shù)變易法我們補充如下條件:得方程組第十七頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一常數(shù)變易法得方程組上述方程組有唯一解.解得第十八頁，共二十頁，編輯于2023年，星期一常數(shù)變易法積分并取其一個原函數(shù),得于是,