2013年重慶高考數(shù)學(xué)真題理科及答案

2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(重慶卷)數(shù)學(xué)試題卷(理工農(nóng)醫(yī)類)特別提醒：(14)、(15)、(16)三題為選做題，請從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分.一,選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個備選項中，只有一個選項是符合題目要求的.(1)已知集合U={1,2,3,4}，集合A={1,2}，B={2,3}，貝ijU(A^B)=(A){1,3,4} (B){3,4} (C){3} (D){4}(2)命題“對任意xeR，都有x2>0”的否定為(A)對任意xeR，使得x2<0 (B)不存在xeR，使得x2<0(C)存在x0eR，都有x;>0 (D)存在x0eR，都有x;<0J(3—a)(a+6)(-6<a<3)的最大值為(A)9 (B)9 (C)3 (D)3^22 2(4)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分).(A)2、5 (B)5、5(C)5,8 (D)8,8(5)某幾何體的三視圖如題(A)2、5 (B)5、5(C)5,8 (D)8,8(5)某幾何體的三視圖如題(5)圖所示，560T-口― 4 則該幾何體的體積為］「北)羯閣 /?心」應(yīng)網(wǎng)已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15,乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8,則x、y的值分別為(B)580(C)200(D)240甲組909乙組x 215y87 424(6)若a<b<c，則函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)兩個零點(diǎn)分別位于區(qū)間(A)(a,b)和(b,c)內(nèi)(B)(—8,a)和(a,b)內(nèi)(b,(b,c)和(c,+8)內(nèi)(—8,a)和(c,+8)內(nèi)(7)已知圓C:(x—2)2+(y—3)2=1,圓C:(x—3)2+(y—4)2=9,M、N1 2分別是圓q、C2上的動點(diǎn)，P為x軸上的動點(diǎn)，則PM+PN的最小值為(A)5\2—4 (B)<17—1 (C)6-2%2 (d)<17(8)執(zhí)行如題(8)圖所示的程序框圖，如果輸出s=3，那么判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是(A)k<6 (B)k<7 (C)k<8 (D)k<9(9)4cos500-tan400=(A)V2 (B)五+忑 (C)<3 (D)2<2—12若若Op|<1，則^OA乙(10)在平面上,A。1AB2，OB】=OB2=1，AP=AB]+AB?的取值范圍是(A)(0,(D)(?,%2](A)(0,(D)(?,%2]二.填空題：本大題共6小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分,把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.『，… 5i 口………?(11)已知復(fù)數(shù)Z=-■——(i是虛數(shù)單位)，則z= .1+2i(12)已知｛a〃｝是等差數(shù)列，a1=1，公差d中0,S，為其前n項和，若q、a2、4稱等比數(shù)列，則S8=.(13)從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是 (用數(shù)字作答).考生注意：(14)、(15)、(16)三題為選做題，請從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分.(14)如題(14)圖，在△ABC中，ZC=900,ZA=600,AB=20，過C作^ABC的外接圓的切線CD,BD±CD,BD與外接圓交于點(diǎn)E，則DE的長為.#8(14)圖(15)在直角坐標(biāo)系x^y中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐

#8(14)圖標(biāo)系.若極坐標(biāo)方程為P標(biāo)系.若極坐標(biāo)方程為Pcos6=4的直線與曲線(t為參數(shù))相交于A、B兩點(diǎn),y=t3貝°AB=.(16)若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式X—5|+X+3|<a無解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .三.解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(17)(本小題滿分13分，(I)小問6分，(II)小問7分)設(shè)f(x)=a(x—5)2+6lnx，其中agR，曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與y軸相較于點(diǎn)(0,6).(I)確定a的值；(II)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.(18)(本小題滿分13分，(I)小問5分，(I)小問8分)某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規(guī)定：在一次摸獎中，摸獎?wù)呦葟难b有3個紅球與4個白球的袋中任意摸出3個球，再從裝有1個籃球與2個白球的袋中任意摸出1個球，根據(jù)摸出4個球中紅球與籃球的個數(shù)，設(shè)一、二、三等獎如下：獎級摸出紅、藍(lán)球個數(shù)獲獎金額一等獎3紅1藍(lán)200元二等獎3紅0藍(lán)50元三等獎2紅1藍(lán)10元其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級.(I)求一次摸球恰好摸到1個紅球的概率；(I)求摸獎?wù)咴谝淮蚊勚蝎@獎金額X的分布列與期望E(X).(19)(本小題滿分13分，(I)小問5分，(I)小問8分)如題(19)圖，四棱錐P—ABCD中，pa，底面ABCD, 4 .一. 兀 BC=CD=2,AC=4,/ACB=/ACD=§,F為PC的中點(diǎn)，AF±PB.(I)求PA的長；(I)求二面角B—AF—D的余弦值.

（20）（本小題滿分12分，（I）小問4分，（II）小問8分）在^ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c,且a2+b2+、立ab=c2.(1)求C；3<2(I)設(shè)cosAcosB3<2(I)設(shè)cosAcosB=—5—,cos(a+A)cos(a+B) <2cos2a，求tana的值.,過左焦點(diǎn)F作,過左焦點(diǎn)F作（21）（本小題滿分12分，（I）小問4分，（II）小問8分）如題（21）圖，橢圓的中心為原點(diǎn)。，長軸在x軸上，離心率e=4x軸的垂線交橢圓于A、4兩點(diǎn)，|AA'|=4.（I）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（I）取垂直于X軸的直線與橢圓相較于不同的兩點(diǎn)P、P',過P、P'作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外.若PQ±PQ,求圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程.（22）（本小題滿分12分，（I）小問4分，（I）小問8分）對正整數(shù)n，記I={1,2,3,…，n],P=（I）求集合P中元素的個數(shù);（I）若P的子集A中任意兩個元素之和不是整數(shù)的平方，則稱A為“稀疏集”.求n的最大值，使P能分成兩個不相交的稀疏集的并.絕密★啟用前2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng).考試(用.慶卷)選擇題:本題考查基本知識和基本運(yùn)第每小題'分，滿分％)分，⑴D (2)D (3)B (4)C (5)C(6)A (7)A (8)B (9)C (,0)0二.填空題:本題考查基本知識和基本運(yùn)豫?每小題5分，滿分25分.(11)6 (12)64 (13)590(14)5 (15)16 (16)(-8,8]三,解答題:滿分75分?(⑺(本題13分)解：(1)因/(*)=a(x-5)2+61nx,故廣(x)=2a(x-5)+9.?>1令x=1,得/(I)= =6-8*所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,〃1))處的切線方程為7-16。=(6-8")(彳-I),由點(diǎn)(0,6)在切線上可得6-16a=8a-6?故a=J.(H)由(I)知，A*)=y(?-5y+61nx(x>0),f，t\ 06(x-2)(x―3)f(x)x-5+—= : -令『'(4)=0.解得與=2,盯=3.當(dāng)0<%<2或N>3時,/'(X)>0,故，*)在(0,2),(3,+oo)上為增函數(shù)；當(dāng)2<*<3時，f'G)< 在(2,3)上為減函數(shù).由此可知/(%)在*=2處取得極大值/(2)=~+6ln2,在x=3處取得極小位/(3)=2+6ln3.(18)(本題13分)解:設(shè)人表示摸到i個紅球，身表示摸到j(luò)個藍(lán)球，則=o,i,2,3)與B(J=0,1)(I)恰好換到【個紅球的概率為P0)工警n1mm他為山。,5。,2帆”/*(V.200）一儲小）〃（4）/“從）uC]1LC；3'I0.V/*(\■〃(4)〃(〃,,)：C；.2_2C；31051P(X：1°）=〃（44）-〃(4?)，(4)―」12 4s"""—=**?■**?C；310535'P(X0)=I_J_4 610510535~7,保上如x的分布列為X01050200P6427 35105105； 從而彳jE[X}=0x；+10X：+5。X卷+200x點(diǎn)=4（元）.；?。ū绢}”分）解：（1）如答（19）圖，連接“〃交.化「億因為BC=C0,即4BCD為等震三角形，又4c平分，/"，〃，故AC±BD,以〃力坐標(biāo)原點(diǎn),萬兒方，尸的方向分別為%甑y軸,*軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系0-則0C=CDcm1=1,而AC=4,餌4〃=AC-0（：=3,又僅＞mCP?n號-。，故水。,-3。）必/3,0,。）,??c（o,i,o）,d=（-75.0,0）.VIPAJL底面而皿可設(shè)尸（0，-3，z），由人為“邊,■育“2互），而=（03 故中點(diǎn)/（（）.-I,^）-又“=（°，2,2-FF0nA"（"=2同自去-2力），所川司=2/3：Af?pf!?0,即6-了=T/啟40）禰=（4,3,0）."=（0.2設(shè)十'而以〃的法向（H）由“L?（““二.二,一力）■力〃Ge 〃的辦旗為‘由…而?。⑼/?°，得-63--63-心大渝教育入「?％”），閃此可取〃，（3,小，2）.12yl+J“二0,|||入「?％”），閃此可取〃，（3,小，2）.12yl+J“二0,|||n,AllO.rtj?" 0彳J［儂+3力=。.故叩僅”（3,-32）,12為+l3z>=0,從而法向fit/?,.%的夾角的余弦價為co8/*i，叫〉=IJ?1?

iHir/I,I*故：Mfi-AF-〃的正弦價為3,Q(20)(本題12分)解：3）因為『+必+.々必:J,的余弦定理"cxC J2ab-llab h2〃/, 2,(fl)由題就得｛，①?*>nj_7J2*?*?cos/2(s???<,???>Heo?,〃”>?〃)虎， 一*?-'- n*?-cora 5?因此(lanaM?A-cot,4)(lanaain%cosH) 0tan2aBs4sinBtana(sinAd+co?4?in〃)+,“,兒小〃Mn&in/bin?-tanO6.n(4+〃)."通小心〃仔Q5因為c=3/,4.〃_3所以xi”(A4If).g,因為皿"+B) 56Ae^fi出〃,即y—4m解為bin公in":劣笈_&_冗5 2loth①彳尊tanJa5tan??4 ()解得bina=I或慚f,4-64-CQ.QQ.COm/EDU答（21）圖即（孫—J答（21）圖即（孫—J?0.由橢圓方程及修卜1）（木的屋分）從而J+從而J+*.=].由c=在ni 42'一 從而旌占一,故該橢例的標(biāo)準(zhǔn)方程為4￡16851-⑺也橢圓的對稱性―血又設(shè)”是橢―3"（…?！?5（*-2與）2-￡+8Gw［-4,4］）.設(shè)"町，力），由題意/是橢圓上到Q的距離最小的點(diǎn)，因此，上式當(dāng)。=與時取鍛小值，又因?qū)O￡（_4,4）,所以二我當(dāng)x=5時取最小值，從而衍=2出,且|QP『=&-4因為PQ1PQ,且?。ê?，-力），所以0*。?=（%-%,%）?- -為）=0,解得。=±4；',福=-=±2事從而|QP『=8-W=y.故這樣的圓方.兩個，其標(biāo)準(zhǔn)方程分別為上孚了少「提卜?學(xué)門/甘?偽）（本題及分）解：（］）當(dāng)*=4時，墻卜一J中有3個數(shù)與。中的3個數(shù)乖乩因此匕中元素的個數(shù)為7x7.3=46.（D）先證.當(dāng)〃,15時,匕不能分成兩個不相交的稀跋嫗的此若不然，沒，1,〃為不相攵的帶疏集.“L?不妨設(shè)修,則因3=”，故3x即共及同理6￡4.收凡又椎前“兒但25,也這與力為稀疏集矛卅…,符合要求⑷=?時棧人小%—f收4■11,2,4,6,9,11，】31，84U名■/“，門,5,7,8,10,12/4｝，則4