2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（學(xué)生版）：11-2 用空間向量解決立體幾何問(wèn)題

成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專(zhuān)題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專(zhuān)題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系QQ805889734加入百度網(wǎng)盤(pán)群3500G一線(xiàn)老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動(dòng)更新，一勞永逸聯(lián)系QQ805889734加入百度網(wǎng)盤(pán)群3500G一線(xiàn)老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動(dòng)更新，一勞永逸§11.2用空間向量解決立體幾何問(wèn)題(對(duì)應(yīng)答案分冊(cè)第36~39頁(yè))1.直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量的確定(1)直線(xiàn)的方向向量:l是空間一直線(xiàn),A,B是直線(xiàn)l上任意兩點(diǎn),則稱(chēng)AB為直線(xiàn)l的方向向量,與AB平行的任意非零向量也是直線(xiàn)l的方向向量,顯然一條直線(xiàn)的方向向量可以有無(wú)數(shù)個(gè).(2)平面的法向量①定義:與平面垂直的向量,稱(chēng)為平面的法向量.一個(gè)平面的法向量有無(wú)數(shù)多個(gè),任意兩個(gè)都是共線(xiàn)向量.②確定:設(shè)a,b是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)向量,n為平面α的法向量,則求法向量的方程組為n2.空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線(xiàn)l1,l2的方向向量分別為n1,n2l1∥l2n1∥n2?n1=λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2=0直線(xiàn)l的方向向量為n,平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m=0l⊥αn∥m?n=λm平面α,β的法向量分別為n,mα∥βn∥m?n=λmα⊥βn⊥m?n·m=03.空間向量與空間角的關(guān)系(1)兩條異面直線(xiàn)所成角的求法(a,b分別為l1,l2的方向向量)a與b的夾角βl1與l2所成的角θ范圍(0,π)0求法cosβ=acosθ=|cosβ|=|(2)直線(xiàn)和平面所成角的求法如圖所示,設(shè)直線(xiàn)l的方向向量為e,平面α的法向量為n,直線(xiàn)l與平面α所成的角為φ,兩向量e與n的夾角為θ,則有sinφ=|cosθ|=|e(3)二面角的求法如圖①,AB,CD是二面角α-l-β兩個(gè)半平面內(nèi)與棱l垂直的直線(xiàn),則二面角θ的大小為<AB,CD>.如圖②③,n1,n2分別是二面角α-l-β的兩個(gè)半平面α,β的法向量,則二面角θ的大小滿(mǎn)足cosθ=cos<n1,n2>或-cos<n1,n2>.4.空間距離點(diǎn)A在平面α內(nèi),點(diǎn)B在平面α外,向量n為平面α的法向量,則點(diǎn)B到平面α的距離d=|AB關(guān)注三種角的易錯(cuò)點(diǎn)(1)異面直線(xiàn)所成的角與其方向向量的夾角:當(dāng)異面直線(xiàn)的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí),就是該異面直線(xiàn)的夾角;否則向量夾角的補(bǔ)角是該異面直線(xiàn)所成的角.(2)直線(xiàn)與平面所成的角:在上述求法中要注意的是sinφ=|n·e||n||(3)二面角與法向量的夾角:利用平面的法向量求二面角的大小時(shí),當(dāng)求出兩半平面α,β的法向量n1,n2時(shí),要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀(guān)察法向量的方向,從而確定二面角與向量n1,n2的夾角是相等,還是互補(bǔ).【概念辨析】1.判斷下面結(jié)論是否正確.(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)兩直線(xiàn)的方向向量的夾角就是兩條直線(xiàn)所成的角.()(2)已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),則a∥c,a⊥b.()(3)已知向量m,n分別是直線(xiàn)l的方向向量和平面α的法向量,若cos<m,n>=-12,則直線(xiàn)l與平面α所成的角為120°.()【對(duì)接教材】2.如圖所示,在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),則EF·BD=;EF·DC=.

3.如果PA,PB,PC是從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線(xiàn),每?jī)蓷l射線(xiàn)的夾角均為60°,那么直線(xiàn)PC與平面PAB所成角的余弦值為.

【易錯(cuò)自糾】4.若直線(xiàn)l的方向向量與平面α的法向量夾角的大小為120°,則直線(xiàn)l與平面α所成角的大小為().A.120° B.60°C.30° D.以上均錯(cuò)5.已知AB=(2,2,1),AC=(4,5,3),則平面ABC的單位法向量是.

利用空間向量證明平行、垂直問(wèn)題【考向變換】考向1利用空間向量證明平行問(wèn)題(一題多解)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點(diǎn).求證:MN∥平面A1BD.

點(diǎn)撥利用空間向量證明平行的方法(1)線(xiàn)線(xiàn)平行:證明兩直線(xiàn)的方向向量共線(xiàn).(2)線(xiàn)面平行:①證明該直線(xiàn)的方向向量與平面的某一法向量垂直;②證明直線(xiàn)的方向向量與平面內(nèi)某直線(xiàn)的方向向量平行;③可在平面α內(nèi)取基向量{e1,e2},證明存在實(shí)數(shù)λ1,λ2,使直線(xiàn)l的方向向量a=λ1e1+λ2e2,然后說(shuō)明l不在平面α內(nèi)即可.(3)面面平行:①證明兩平面的法向量為共線(xiàn)向量;②轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面平行、線(xiàn)線(xiàn)平行問(wèn)題.【追蹤訓(xùn)練1】已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=90°,2AB=2AD=CD,側(cè)面PAD是正三角形且垂直于底面ABCD,E是PC的中點(diǎn).試問(wèn)在PB上是否存在一點(diǎn)F,使AF∥平面BDE?

考向2利用空間向量證明垂直問(wèn)題在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,E,F分別為棱AD,PB的中點(diǎn),且PD=AD.求證:平面CEF⊥平面PBC.

點(diǎn)撥利用空間向量證明垂直的方法(1)線(xiàn)線(xiàn)垂直:證明兩直線(xiàn)所在的方向向量互相垂直,即證它們的數(shù)量積為零.(2)線(xiàn)面垂直:證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量共線(xiàn),或?qū)⒕€(xiàn)面垂直的判定定理用向量表示.(3)面面垂直:證明兩個(gè)平面的法向量垂直,或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?【追蹤訓(xùn)練2】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=22AD,設(shè)E,F分別為PC,BD的中點(diǎn)(1)求證:EF∥平面PAD.(2)求證:PA⊥平面PDC.

利用空間向量求空間角【考向變換】考向1求異面直線(xiàn)所成的角如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∠BAC=90°,E是BC的中點(diǎn),AC=AB=AA1=2,求異面直線(xiàn)AE與A1C所成的角的大小.

點(diǎn)撥用向量法求異面直線(xiàn)所成角的一般步驟(1)選擇三條兩兩垂直的直線(xiàn)建立空間直角坐標(biāo)系.(2)確定異面直線(xiàn)上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),從而確定異面直線(xiàn)的方向向量.(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值.(4)兩異面直線(xiàn)所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對(duì)值.注意向量的夾角與異面直線(xiàn)所成的角的區(qū)別:當(dāng)異面直線(xiàn)的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí),就是此異面直線(xiàn)所成的角;當(dāng)異面直線(xiàn)的方向向量的夾角為鈍角時(shí),其補(bǔ)角才是異面直線(xiàn)所成的角.【追蹤訓(xùn)練3】如圖所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,D是棱PB的中點(diǎn),已知PA=BC=2,AB=4,CB⊥AB,則異面直線(xiàn)PC,AD所成角的余弦值為().A.-3010 B.-C.305 D.考向2求直線(xiàn)與平面所成的角如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,∠ABC=60°,側(cè)面PAB⊥底面ABCD,∠BAP=90°,AB=AC=PA=2.(1)求證:平面PBD⊥平面PAC.(2)若M為PD的中點(diǎn),求直線(xiàn)MC與平面PBC所成角的正弦值.

點(diǎn)撥向量法求線(xiàn)面角的兩大途徑(1)分別求出斜線(xiàn)和它所在平面內(nèi)的射影直線(xiàn)的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角).(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求,即求出斜線(xiàn)的方向向量與平面的法向量所夾的銳角,取其余角就是斜線(xiàn)與平面所成的角.【追蹤訓(xùn)練4】如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC,A1在平面ABC的射影為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)D,側(cè)面AA1C1C是菱形,平面B1BD與棱A1C1交于點(diǎn)E.(1)判斷四邊形BB1ED的形狀并證明;(2)求CB1與平面ABB1A1所成角的正弦的最大值.

考向3求平面與平面所成的角如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.(1)證明:O1O⊥底面ABCD.(2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.

點(diǎn)撥向量法求二面角(或其某個(gè)三角函數(shù)值)的四個(gè)步驟(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求出兩個(gè)半平面的法向量n1,n2;(3)設(shè)二面角的平面角為θ,則|cosθ|=|cos<n1,n2>|;(4)根據(jù)圖形判斷θ為鈍角還是銳角,從而求出θ(或其三角函數(shù)值).【追蹤訓(xùn)練5】如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(1)證明:PA⊥BD.(2)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.

利用法向量求點(diǎn)到平面的距離【典例遷移】如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4,動(dòng)點(diǎn)P在棱A1B1上.當(dāng)A1P=34A1B1時(shí),點(diǎn)C到平面D1DP的距離為【變式設(shè)問(wèn)】已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,E,F分別為BB1,CD的中點(diǎn),則點(diǎn)F到平面A1D1E的距離為.

點(diǎn)撥用向量法求點(diǎn)P到平面α的距離的三個(gè)步驟(1)在平面α內(nèi)取一點(diǎn)A,確定向量PA的坐標(biāo)表示;(2)確定平面α的法向量n;(3)代入公式d=|PA·【追蹤訓(xùn)練6】(2022·湖北模擬)在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中,M為AD上的一點(diǎn),且AM=13AD,N為AC的中點(diǎn),則點(diǎn)A到平面BMN的距離為()A.105 B.C.1010 D.利用空間向量探究點(diǎn)的位置(2022·天津聯(lián)考)如圖,在四棱錐E-ABCD中,平面ABCD⊥平面ABE,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2BC=2CD=2,AE=BE=3,M為BE的中點(diǎn).(1)求證:CM∥平面ADE.(2)求二面角E-BD-C的正弦值.(3)在線(xiàn)段AD上是否存在一點(diǎn)N,使直線(xiàn)MD與平面BEN所成角的正弦值為