離散型隨機變量的方差與期望值

離散型隨機變量的方差與期望值第一頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日隨機變量的概率分布及其分布函數(shù)—完整地描述了隨機變量的取值規(guī)律。

而在一些實際問題中，只需知道描述隨機變量的某種特征的量—隨機變量的數(shù)字特征。在這些數(shù)字特征中，最重要的是期望值和方差。第二頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日離散型隨機變量的期望值

(expectedvalue)離散型隨機變量X的期望值定義為，在離散型隨機變量X的一切可能值的完備組中，各可能值xi與其對應(yīng)概率pi的乘積之和稱該隨機變量X的期望值（expectedvalue），記做E(X)或μ若X取值：x1,x2，…，xn，其對應(yīng)的概率為：p1，p2

，…

，pn，則期望值為：

E（X）=

x1p1+x2p2

+。。。+xnpn第三頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日若X取無窮個數(shù)值：x1,x2，…，xn...其對應(yīng)的概率為p1，p2

，…

，pn。。。

則期望值為：E（X）期望值E（X）也稱為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望。第四頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日

【例】投擲一顆骰子后出現(xiàn)的點數(shù)是一個離散型隨機變量。寫出擲一枚骰子出現(xiàn)點數(shù)的概率分布

概率分布期望：μ=E(X)=1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6=3.5X=xi123456P(X=xi)pi1/61/61/61/61/61/6第五頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日1.描述離散型隨機變量取值的集中程度

2.離散型隨機變量X的所有可能取值xi與其取相對應(yīng)的概率pi乘積之和

3.記為或E(X)，計算公式為:

=E(X)=

x1p1+x2p2

+。。。+xnpn=

第六頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日由離散型隨機變量X的期望值定義可看到，它與加權(quán)平均數(shù)的寫法有點類似，其實它是加權(quán)平均數(shù)的一種推廣。一般實際數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù)是具體數(shù)據(jù)的平均指標，而這里所談的期望是隨機變量X的期望指標。第七頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日方差與標準差方差—描述隨機變量X與其均值（數(shù)學(xué)期望）的離散程度的。隨機變量的方差定義為每一個隨機變量的取值與期望值的離差平方之期望值。設(shè)隨機變量為X，其方差常用x,D(X)或V(X)表示，本書采用D(X),則D（X）=E[X－E（X）]2

oh,dear！Comeon!

第八頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日由上式可知，方差實際上就是隨機變量X的函數(shù)[X－E（X）]2的數(shù)學(xué)期望。于是，若X是離散型隨機變量，則第九頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日標準差隨機變量方差的算術(shù)平方根就為標準差。

對擲骰子的例子，隨機變量X的方差為：

=2.9167標準差=1.7078，說明每次擲得的點數(shù)與平均點數(shù)3.5平均相距1.7078點。

第十頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日隨機變量的方差與標準差都反映了:隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度。第十一頁，共十二頁