自動控制原理第3章

章控制系統(tǒng)的時域分析方法

節(jié)典型輸入信號和時域性能指標節(jié)一階性能分析節(jié)二階性能分析節(jié)高階性能分析節(jié)穩(wěn)定性分析及代數(shù)判據(jù)節(jié)穩(wěn)態(tài)誤差分析及計算2021/5/91第一節(jié)典型輸入信號和時域分析法

時域分析法，是根據(jù)描述系統(tǒng)的微分方程或傳遞函數(shù)，直接求解出在某種典型輸入作用下系統(tǒng)輸出隨時間t變化的表達式或其它相應的描述曲線來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性。

本方法是分析系統(tǒng)的最早、也是最基本的分析方法，時域分析法直覌、物理概念清晰。2021/5/92拉氏變換式一、典型的輸入信號2.斜坡信號

數(shù)學表達式1、階躍信號

數(shù)學表達式當A=1時，稱為單位階躍信號！2021/5/93典型的輸入信號拉氏變換式3、拋物線信號

數(shù)學表達式當A=1時，稱為單位拋物線信號當A=1時，稱為單位斜坡信號拉氏變換式2021/5/94單位拋物線信號拉氏變換式4、脈沖信號

數(shù)學表達式典型的輸入信號拉氏變換式2021/5/955、正弦信號

數(shù)學表達式拉氏變換式典型的輸入信號當A=1時，稱為單位理想脈沖信號2021/5/96二、時域性能指標以單位階躍信號輸入時，系統(tǒng)輸出的一些特征值來表示。2021/5/97（1）動態(tài)性能指標

上升時間tr：響應曲線從零到第一次達到穩(wěn)態(tài)值所需要的時間。

峰值時間tp：響應曲線從零到第一個峰值所需要的時間。

調節(jié)時間ts：響應曲線從零到達并停留在穩(wěn)態(tài)值的或誤差范圍所需要的最小時間。

超調量：系統(tǒng)在響應過程中，輸出量的最大值超過穩(wěn)態(tài)值的百分數(shù)。時域性能指標2021/5/982）穩(wěn)態(tài)性能指標穩(wěn)態(tài)性能指標用穩(wěn)態(tài)誤差ess來描述，是系統(tǒng)控制精度或抗干擾能力的一種量度。有關內容，本章第六節(jié)討論！時域性能指標2021/5/99一、一階系統(tǒng)用一階微分方程描述的系統(tǒng)。二、一階系統(tǒng)典型的數(shù)學模型微分方程傳遞函數(shù)典型結構第二節(jié)一階系統(tǒng)分析2021/5/910一階系統(tǒng)分析三、典型輸入響應

1、單位階躍響應y(t)的特點：（1）由動態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量兩部分組成。（2）單調上升的指數(shù)曲線；（3）當t=T時，y=0.632；（4）曲線的初始斜率為1/T。性能：（1）超調量不存在(0)。（2）ts=3T或4T。2021/5/9112、單位斜坡響應一階系統(tǒng)分析y(t)的特點：（1）由動態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量兩部分組成。（2）輸入與輸出之間存在跟蹤誤差，且誤差值等于系統(tǒng)時間常數(shù)“T”。2021/5/912一階系統(tǒng)分析3、單位拋物線響應y(t)的特點：輸入與輸出之間存在誤差為無窮大，這意味著一階系統(tǒng)是不能跟蹤單位拋物線輸入信號的。4、單位脈沖響應當時，2021/5/913一階系統(tǒng)分析對一階系統(tǒng)典型輸入響應的兩點說明：1、輸入信號為單位拋物線信號時，輸出無法跟蹤輸入2、三種響應之間的關系：系統(tǒng)對輸入信號微分（積分）的響應，就等于該輸入信號響應的微分（積分）。例3-1(解釋)2021/5/914第三節(jié)二階系統(tǒng)分析一、二階系統(tǒng)

用二階微分方程描述的系統(tǒng)。二、二階系統(tǒng)典型的數(shù)學模型先看例：位置跟蹤系統(tǒng)2021/5/915二階系統(tǒng)分析系統(tǒng)結構圖：微分方程：閉環(huán)傳遞函數(shù)：二階系統(tǒng)！2021/5/916二階系統(tǒng)分析

為了使二階系統(tǒng)的分析結果具有普遍及指導意義，提出下面的數(shù)學模型，作為二階系統(tǒng)的典型的數(shù)學模型：開環(huán)傳遞函數(shù)典型系統(tǒng)結構閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程：特征方程的根：注：式中--阻尼系數(shù)(比)--無阻尼自振蕩頻率2021/5/917二階系統(tǒng)分析三、典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應

在初始條件為0下，輸入單位階躍信號時，系統(tǒng)輸出的拉氏變換式為

階躍響應為二階系統(tǒng)響應特性取決于阻尼系數(shù)和無阻尼振蕩頻率兩個參數(shù)！2021/5/9181、無阻尼

（=0）的情況

特征根及分布情況：

階躍響應：

響應曲線：0ty(t)1二階系統(tǒng)分析2021/5/9192、欠阻尼（0<<1）的情況

特征根及分布情況：tξ=0.3ξ=0.50y(t)1

階躍響應：二階系統(tǒng)分析2021/5/9203、臨界阻尼(=1)特征根0ty(t)1階躍響應：響應曲線二階系統(tǒng)分析2021/5/9214、過阻尼（>1）的情況

特征根及分布情況：t0y1階躍響應：響應曲線二階系統(tǒng)分析2021/5/922結論：1、不同阻尼比有不同的響應、有不同的動態(tài)性能。2、實際工程系統(tǒng)中，欠阻尼情況最具有實際意義，在系統(tǒng)設計時，往往也按欠阻尼情況選擇控制器相關參

典型二階系統(tǒng)的阻尼系數(shù)與單位階躍響應，見表3-2；圖3-11。二階系統(tǒng)分析2021/5/923四、二階系統(tǒng)動態(tài)特性指標由前面知，欠阻尼時系統(tǒng)的輸出：

（0<<1）t0y(t)trtmts響應曲線：二階系統(tǒng)分析2021/5/9241、上升時間：

在暫態(tài)過程中第一次達到穩(wěn)態(tài)值的時間，由

令時，則

經(jīng)整理得二階系統(tǒng)分析2021/5/925二階系統(tǒng)分析2、超調量：暫態(tài)過程中被控量的最大值超過穩(wěn)態(tài)值的百分數(shù)。即峰值時間在時刻對求導，令其等于零，經(jīng)整理得

將其代入超調量公式得2021/5/9263、調節(jié)時間：輸出量與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差達到允許范圍，并維持在允許范圍內所需要的時間。二階系統(tǒng)分析2021/5/927例有一位置隨動系統(tǒng)，結構圖如下圖所示，其中K=4。（1）求該系統(tǒng)的自然振蕩角頻率和阻尼比；（2）求該系統(tǒng)的超調量和調節(jié)時間；（3）若要阻尼比等于0.707，應怎樣改變放大倍數(shù)K？二階系統(tǒng)分析2021/5/928例題解（1）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為寫成標準形式對比，可知2021/5/929例題（2）超調量和調節(jié)時間將阻尼系數(shù)和無阻尼振蕩頻率代入性能公式（3）要求，即要求超調量為4%時注：超調量變小了，系統(tǒng)的動態(tài)性能變好了，但由于放大系數(shù)小了，由第六節(jié)可知，造成精度變差了。2021/5/930五、提高二階系統(tǒng)動態(tài)性能的方法

1.比例-微分（PD）串聯(lián)校正

未加校正網(wǎng)絡前閉環(huán)傳遞函數(shù)：加校正網(wǎng)絡后閉環(huán)傳遞函數(shù)：二階系統(tǒng)分析2021/5/931校正后的等效阻尼系數(shù)

阻尼系數(shù)比校正前要大。由超調量的計算公式知，阻尼系數(shù)上升，超調量下降，從而提高了系統(tǒng)的動態(tài)性能。二階系統(tǒng)分析2021/5/932未加校正網(wǎng)絡前閉環(huán)傳遞函數(shù)：校正后的閉環(huán)傳遞函數(shù)：二階系統(tǒng)分析2.并聯(lián)微分校正2021/5/933

阻尼系數(shù)比校正前要大。由超調量的計算公式知，阻尼系數(shù)上升，超調量下降，從而提高了系統(tǒng)的動態(tài)性能。二階系統(tǒng)分析校正后的等效阻尼系數(shù)2021/5/934一、高階系統(tǒng)

二、高階系統(tǒng)的數(shù)學模型(傳遞函數(shù))第四節(jié)高階系統(tǒng)分析其中，分母

n=(q+2r)>=3。數(shù)學模型為三階或三階以上的系統(tǒng)。2021/5/935三、單位階躍響應反變換高階系統(tǒng)分析y(t)分析：參閱教材2021/5/936四、高階系統(tǒng)的分析方法

(1)、降階(看成2階、1階)*閉環(huán)主導極點的概念：距離虛軸最近，又遠離零點的閉環(huán)極點，在系統(tǒng)過渡過程中起主導作用，這個極點稱為主導極點。

主導極點若以共軛形式出現(xiàn)，該系統(tǒng)可近似看成二階系統(tǒng)；若以實數(shù)形式出現(xiàn)，該系統(tǒng)可近似看成一階系統(tǒng)。(2)、計算機仿真實驗高階系統(tǒng)分析2021/5/937第五節(jié)穩(wěn)定性分析及代數(shù)判據(jù)一、穩(wěn)定的概念及條件

⒈穩(wěn)定概念：如果系統(tǒng)受擾動后，偏離了原來的工作狀態(tài)，而當擾動取消后，系統(tǒng)又能逐漸恢復到原來的工作狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

⒉穩(wěn)定條件：系統(tǒng)特征方程式所有的根都位于ｓ平面的左半平面。二、判定系統(tǒng)穩(wěn)定的方法：代數(shù)判據(jù)

應用勞斯判據(jù)等其它代數(shù)判據(jù)。2021/5/938勞斯判據(jù)：1、先求出系統(tǒng)的特征方程0注意：

(1)s要降階排列(2)所有系數(shù)必須大于0系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：特征方程所有系數(shù)均為正。系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件：特征方程所有系數(shù)組成勞斯表，其第一列元素必須為正。具體步驟：穩(wěn)定性分析及代數(shù)判據(jù)2021/5/9392、列勞斯表：注意：1、共n+1行

2、第1,2行由分程系數(shù)組成，其余行按公式計算。公式：穩(wěn)定性分析及代數(shù)判據(jù)2021/5/940例：三階系統(tǒng)特征方程式如下，求系統(tǒng)穩(wěn)定條件解：列勞斯表：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：穩(wěn)定性分析及代數(shù)判據(jù)2021/5/941四、勞斯判據(jù)的其它應用

1.分析系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響例系統(tǒng)如圖所示，求使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值的范圍。

穩(wěn)定性分析及代數(shù)判據(jù)2021/5/942解：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

列勞斯表穩(wěn)定必須滿足所以穩(wěn)定性分析及代數(shù)判據(jù)2021/5/9432、確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性

穩(wěn)定裕量：系統(tǒng)離穩(wěn)定的邊界有多少余量。也就是實部最大的特征根與虛軸的距離。**求系統(tǒng)有多大的穩(wěn)定裕量，方法為（1）用代入特征方程

（2）將z看作新變量，用勞斯判據(jù)再次判穩(wěn)，若穩(wěn)定，則具有該穩(wěn)定裕量。穩(wěn)定性分析及代數(shù)判據(jù)例題(見課本)2021/5/944第六節(jié)穩(wěn)態(tài)誤差分析及計算一、誤差及穩(wěn)態(tài)誤差概念及定義1．誤差：（2種定義）（1）輸入端定義（2）輸出端定義（3）兩者之間的關系理想輸出實際輸出2021/5/945

**兩者關系證明：穩(wěn)態(tài)誤差分析及計算2021/5/9462、穩(wěn)態(tài)誤差：系統(tǒng)穩(wěn)定時，誤差信號的終值。用式表示為1．輸入信號作用下，穩(wěn)態(tài)誤差的計算：

方法一、拉氏變換的終值定理例題==穩(wěn)態(tài)誤差分析及計算二、穩(wěn)態(tài)誤差計算2021/5/947方法二、穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)法分析：令考慮R(s)不同時，與的關系。穩(wěn)態(tài)誤差分析及計算2021/5/948設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其中：K——開環(huán)放大倍數(shù)；V——無差度階數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差分析及計算2021/5/949(1)單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差其中稱為位置誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差：穩(wěn)態(tài)誤差分析及計算2021/5/950穩(wěn)態(tài)誤差分析及計算位置誤差系數(shù)2021/5/951(2).單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差分析及計算稱為速度誤差系數(shù)2021/5/952穩(wěn)態(tài)誤差分析及計算速度誤差系數(shù)2021/5/953(3)單位拋物線輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差分析及計算穩(wěn)態(tài)誤差稱為加速度誤差系數(shù)2021/5/954穩(wěn)態(tài)誤差分析及計算加速度誤差系數(shù)2021/5/955νr(t)=1(t)r(t)=tr(t)=1/2t201/(1+K)∞∞101/K∞2001/K結論：要消除或減小穩(wěn)態(tài)誤差，必須針對不同的輸入量來選擇不同的系統(tǒng)，并且選擇較大的K值；或增加積分環(huán)節(jié)。但均必須滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性的要求。上面計算歸納如下表：穩(wěn)態(tài)誤差分析及計算2021/5/956(4)典型信號合成輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差

穩(wěn)態(tài)誤差可用疊加原理求出，即分別求出系統(tǒng)對階躍、斜坡和拋物線輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差，然后將其結果疊加。穩(wěn)態(tài)誤差分析及計算2021/5/9572.擾動輸入信號作用下，穩(wěn)態(tài)誤差計算分析：令穩(wěn)態(tài)誤差分析及計算穩(wěn)態(tài)誤差2021/5/9583.給定輸入、擾動輸入同時作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計算穩(wěn)態(tài)誤差分析及計算2021/5/959例已知系統(tǒng)結構圖如下，當r(t)=n(t)=1時，求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差分析及計算Ryn2021/5/960解：1.判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性特征方程

應用勞斯判據(jù)

因為系統(tǒng)第一列元素全為零，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。穩(wěn)態(tài)誤差分析及計算2021/5/9612.求給定輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差方法一：用終值定理穩(wěn)態(tài)誤差分析及計算2021/5/962方法二：用靜態(tài)誤差系數(shù)法

由于沒有積分環(huán)節(jié)，所以ν=0，系統(tǒng)為0型系統(tǒng)。兩種計算方法，答案相同！穩(wěn)態(tài)誤差分析及計算2021/5/9633.求擾動輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差分析及計算2021/5/9644.給定輸入、擾動輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差分析及計算2021/5/965三、減少誤差的方法

1.增加開環(huán)放大倍數(shù)K2.增加積分環(huán)節(jié)的個數(shù)

3.復合控制（1）按輸入信號補償?shù)膹秃峡刂品€(wěn)態(tài)誤差分析及計算2021/5/966分析：令若取則有穩(wěn)態(tài)誤差分析及計算2021/5/967（2）按