九年級數(shù)學(xué)第7章《銳角三角函數(shù)》解答題（含解析）

第7章《銳角三角函數(shù)》解答題專練

1.（2019?盤錦）如圖，池塘邊一棵垂直于水面的筆直大樹AB在點(diǎn)C處折斷，AC部分

倒下，點(diǎn)A與水面上的點(diǎn)E重合，部分沉入水中后，點(diǎn)A與水中的點(diǎn)F重合，CF交水

面于點(diǎn)D,DF=2m,NCEB=30：ZCDB=45°,求CB部分的高度.（精確到0.1m.參

考數(shù)據(jù)：&F.41,A/3^1.73）

2.（2019?營口）如圖，A,B兩市相距150h〃，國家級風(fēng)景區(qū)中心C位于A市北偏東60°

方向上，位于B市北偏西45°方向上.已知風(fēng)景區(qū)是以點(diǎn)C為圓心、50km為半徑的圓

形區(qū)域.為了促進(jìn)旅游經(jīng)濟(jì)發(fā)展，有關(guān)部門計劃修建連接A,B兩市的高速公路，高速公

路AB是否穿過風(fēng)景區(qū)？通過計算加以說明.（參考數(shù)據(jù)：73^1.73）

3.（2019?鞍山）如圖為某海域示意圖，其中燈塔。的正東方向有一島嶼C一艘快艇以每

小時20nmile的速度向正東方向航行，到達(dá)A處時得燈塔D在東北方向上，繼續(xù)航行0.3",

到達(dá)B處時測得燈塔D在北偏東30°方向上，同時測得島嶼C恰好在B處的東北方向

上，此時快艇與島嶼C的距離是多少？（結(jié)果精確到1〃加/e.參考數(shù)據(jù)：&弋1.41,V3

比1.73,76^2.45）

4.（2019?恩施州）如圖，某地有甲、乙兩棟建筑物，小明于乙樓樓頂A點(diǎn)處看甲樓樓底力

點(diǎn)處的俯角為45°,走到乙樓8點(diǎn)處看中樓樓頂E點(diǎn)處的俯角為30°,已知AB=6而，

DE=Wm.求乙樓的高度AC的長.（參考數(shù)據(jù)：血心1.41,正心1.73,精確到0.1九）

5.（2019?朝陽）小明同學(xué)在綜合實(shí)踐活動中對本地的一座古塔進(jìn)行了測量.如圖，他在山

坡坡腳P處測得古塔頂端M的仰角為60。，沿山坡向上走25根到達(dá)。處，測得古塔頂

端M的仰角為30°.已知山坡坡度i=3：4,即tan0=3,請你幫助小明計算古塔的高

_4

度ME.（結(jié)果精確到0.1m參考數(shù)據(jù)：73^1.732）

6.（2019?撫順）如圖，學(xué)校教學(xué)樓上懸掛一塊長為3a的標(biāo)語牌，即CD=3,〃.數(shù)學(xué)活動

課上，小明和小紅要測量標(biāo)語牌的底部點(diǎn)。到地面的距離.測角儀支架高AE=8尸=1.2%,

小明在E處測得標(biāo)語牌底部點(diǎn)D的仰角為31°,小紅在F處測得標(biāo)語牌頂部點(diǎn)C的仰

角為45°,AB=5m,依據(jù)他們測量的數(shù)據(jù)能否求出標(biāo)語牌底部點(diǎn)D到地面的距離DH

的長？若能，請計算；若不能，請說明理由（圖中點(diǎn)A,B,C,D,E,F,"在同一平

面內(nèi)）

（參考數(shù)據(jù)：tan31°-0.60,sin31°=0.52,cos31°-0.86）

7.（2019?丹東）如圖，在某街道路邊有相距10m、高度相同的兩盞路燈（燈桿垂直地面），

小明為了測量路燈的高度，在地面A處測得路燈的頂端仰角為14°,向前行走25〃?

到達(dá)8處，在地面測得路燈的頂端仰角為24.3°,已知點(diǎn)4,B,Q,N在同一條直

線上，請你利用所學(xué)知識幫助小明求出路燈的高度.（結(jié)果精確到0.1〃葭參考數(shù)據(jù)：sinl4°

七0.24,cosl4°弋0.97,tanl4"弋0.25,sin24.3°弋0.41,cos24.3°七0.91,tan24.3°y

0.45）

M

8.（2019?萊蕪區(qū)）公園內(nèi)一涼亭，涼亭頂部是一圓錐形的頂蓋，立柱垂直于地面，在涼亭

內(nèi)中央位置有一圓形石桌，某數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組，將此涼亭作為研究對象，并繪制截

面示意圖，其中頂蓋母線AB與4C的夾角為124。，涼亭頂蓋邊緣8、C到地面的距離

為2.4米，石桌的高度。E為0.6米，經(jīng)觀測發(fā)現(xiàn)：當(dāng)太陽光線與地面的夾角為42°時，

恰好能夠照到石桌的中央E處（A、E、。三點(diǎn)在一條直線上），請你求出圓錐形頂蓋母

線AB的長度.（結(jié)果精確到0.1/n）（參考數(shù)據(jù)：sin62°20.88,tan42°-0.90）

9.（2019?錦州）如圖，某學(xué)校體育場看臺的頂端C到地面的垂直距離為2m,看臺所在

斜坡CM的坡比i=l：3,在點(diǎn)C處測得旗桿頂點(diǎn)A的仰角為30°,在點(diǎn)M處測得旗桿

頂點(diǎn)4的仰角為60°,且8,M,。三點(diǎn)在同一水平線上，求旗桿AB的高度.（結(jié)果精

確到參考數(shù)據(jù)：加七1.41,73=1.73）

10.（2019?上海）圖1是某小型汽車的側(cè)面示意圖，其中矩形ABCD表示該車的后備箱，

在打開后備箱的過程中，箱蓋ADE可以繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為60°時，

箱蓋AQE落在A。'E'的位置（如圖2所示）.已知AD=90厘米，￡>E=30厘米，EC

=40厘米.

（1）求點(diǎn)到BC的距離；

（2）求￡E'兩點(diǎn)的距離.

11.（2019?遵義）某地為打造宜游環(huán)境，對旅游道路進(jìn)行改造.如圖是風(fēng)景秀美的觀景山，

從山腳8到山腰。沿斜坡已建成步行道，為方便游客登頂觀景，欲從。到A修建電動扶

梯，經(jīng)測量，山高AC=154米，步行道80=168米，NO8C=30°,在。處測得山頂A

的仰角為45°.求電動扶梯。A的長（結(jié)果保留根號）.

12.（2019?鄂爾多斯）某校組織學(xué)生到恩格貝A和康鎮(zhèn)B進(jìn)行研學(xué)活動，澄澄老師在網(wǎng)上

查得，A和B分

別位于學(xué)校。的正北和正東方向，B位于A南偏東37°方向，校車從。出發(fā)，沿正北方

向前往A地，行駛到15千米的E處時，導(dǎo)航顯示，在E處北偏東45。方向有一服務(wù)區(qū)

C,且C位于A,B兩地中點(diǎn)處.

（1）求E,A兩地之間的距離；

（2）校車從A地勻速行駛1小時40分鐘到達(dá)B地，若這段路程限速100千米/時，計算

校車是否超速？

（參考數(shù)據(jù)：sin37"=2,cos37°=A,tan37°=A）

發(fā)射技術(shù)達(dá)到了一個嶄新的高度.如圖，運(yùn)載火箭從海面發(fā)射站點(diǎn)M處垂直海面發(fā)射，

當(dāng)火箭到達(dá)點(diǎn)A處時，海岸邊N處的雷達(dá)站測得點(diǎn)N到點(diǎn)A的距離為8千米，仰角為

30°.火箭繼續(xù)直線上升到達(dá)點(diǎn)B處，此時海岸邊N處的雷達(dá)測得8處的仰角增加15°,

求此時火箭所在點(diǎn)8處與發(fā)射站點(diǎn)M處的距離.（結(jié)果精確到0.1千米）（參考數(shù)據(jù)：V2

比1.41,73^1.73）

14.（2019?婁底）如圖，某建筑物C。高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度

為i=l：1.為了測量山頂A的高度，在建筑物頂端。處測得山頂A和坡底8的俯角分

別為a、p.已知tana=2,tan0=4,求山頂A的高度AE（C、B、E在同一水平面上）.

15.（2019?陜西）小明利用剛學(xué)過的測量知識來測量學(xué)校內(nèi)一棵古樹的高度.一天下午，他

和學(xué)習(xí)小組的同學(xué)帶著測量工具來到這棵古樹前，由于有圍欄保護(hù)，他們無法到達(dá)古樹

的底部8,如圖所示.于是他們先在古樹周圍的空地上選擇一點(diǎn)力，并在點(diǎn)。處安裝了

測量器。C,測得古樹的頂端A的仰角為45°；再在8。的延長線上確定一點(diǎn)G,使QG

=5米，并在G處的地面上水平放置了一個小平面鏡，小明沿著BG方向移動，當(dāng)移動

帶點(diǎn)F時，他剛好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹的頂端A的像，此時，測得FG=2米，小

明眼睛與地面的距離1.6米，測傾器的高度CO=0.5米.已知點(diǎn)F、G、D、B在同

一水平直線上，且EF、CD、A8均垂直于FB,求這棵古樹的高度A8.（小平面鏡的大

小忽略不計）

16.（2019?本溪）小李要外出參加“建國70周年”慶祝活動，需網(wǎng)購一個拉桿箱，圖①，

②分別是她上網(wǎng)時看到的某種型號拉桿箱的實(shí)物圖與示意圖，并獲得了如下信息：滑桿

DE,箱長8C,拉桿AB的長度都相等，B,尸在AC上，C在。E上，支桿。尸=30cm,

CE：CD=1：3,NDCF=45°,ZCDF=30°,請根據(jù)以上信息，解決下列問題.

（1）求AC的長度（結(jié)果保留根號）；

（2）求拉桿端點(diǎn)A到水平滑桿EC的距離（結(jié)果保留根號）.

圖1圖2

17.（2019?銅仁市）如圖，A、8兩個小島相距10km,一架直升飛機(jī)由B島飛往A島，其

飛行高度一直保持在海平面以上的秘m,當(dāng)直升機(jī)飛到P處時，由P處測得8島和4島

的俯角分別是45°和60°,已知A、B、尸和海平面上一點(diǎn)M都在同一個平面上，且M

位于P的正下方，求〃（結(jié)果取整數(shù)，向心1.732）

18.（2019?貴陽）如圖所示是我國古代城市用以滯洪或分洪系統(tǒng)的局部截面原理圖，圖中

OP為下水管道口直徑，OB為可繞轉(zhuǎn)軸。自由轉(zhuǎn)動的閥門.平時閥門被管道中排出的水

沖開，可排出城市污水；當(dāng)河水上漲時，閥門會因河水壓迫而關(guān)閉，以防河水倒灌入城

中.若閥門的直徑O8=OP=100c〃?，OA為檢修時閥門開啟的位置，且04=08.

（1）直接寫出閥門被下水道的水沖開與被河水關(guān)閉過程中/尸08的取值范圍；

（2）為了觀測水位，當(dāng)下水道的水沖開閥門到達(dá)08位置時，在點(diǎn)A處測得俯角NCAB

=67.5°,若此時點(diǎn)B恰好與下水道的水平面齊平，求此時下水道內(nèi)水的深度.（結(jié)果保

留小數(shù)點(diǎn)后一位）

（V2=l.41.sin67.5°=0.92,cos67.5°=0.38,tan67.5°=2.41,sin22.5°=0.38,

cos22.5°=0.92,tan22.5°=0.41）

19.（2019?邵陽）某品牌太陽能熱水器的實(shí)物圖和橫斷面示意圖如圖所示.已知真空集熱管

DE與支架CB所在直線相交于點(diǎn)。，且OB=OE；支架BC與水平線AD垂直.AC=40cm,

NA￡>E=30°,OE=190C7“，另一支架AB與水平線夾角/區(qū)4。=65°,求08的長度（結(jié)

果精確到Ic/w；溫馨提示：sin65°^0.91,cos65°心0.42,tan65°^2.14)

要繞行丙地.己知丙地位于甲地北偏西30°方向，距離甲地460h〃，丙地位于乙地北偏

東66°方向，現(xiàn)要打通穿山隧道，建成甲乙兩地直達(dá)高速公路，如果將甲、乙、丙三地

當(dāng)作三個點(diǎn)A、B、C,可抽象成圖（2）所示的三角形，求甲乙兩地之間直達(dá)高速線路的

長AB（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)和根式表示即可）.

圖（2）

21.（2019?深圳）如圖所示，某施工隊要測量隧道長度BC,A0=600米，ADA.BC,施工

隊站在點(diǎn)。處看向測得仰角為45°,再由。走到E處測量，DE//AC,EQ=500米,

測得仰角為53°,求隧道8c長.（sin53°弋支cos53°弋巨，tan53°七里）.

553

日對豎立的索塔在橋面以上的部分（上塔柱BC和塔冠BE）進(jìn)行了測量.如圖所示，最

外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距離為121%,拉索A8與橋面AC的夾角為37°,

從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向前進(jìn)235",在。處測得塔冠頂端E的仰角為45°.請你求出塔

冠BE的高度（結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù)si度7°^0.60,cos37°*=0.80,tan370弋0.75,

72^1.41）.

23.（2019?張家界）天門山索道是世界最長的高山客運(yùn)索道，位于張家界天門山景區(qū).在一

次檢修維護(hù)中，檢修人員從索道A處開始，沿A-B-C路線對索道進(jìn)行檢修維護(hù).如圖：

已知AB=500米，BC=800米，48與水平線A4的夾角是30°,BC與水平線BBi的夾

角是60°.求：本次檢修中，檢修人員上升的垂直高度C4是多少米？（結(jié)果精確到1

米，參考數(shù)據(jù)：'巨七1.732）

24.（2019?常德）圖1是一種淋浴噴頭，圖2是圖1的示意圖，若用支架把噴頭固定在點(diǎn)A

處，手柄長AB=25c/n,AB與墻壁。O'的夾角/O'AB=37°,噴出的水流BC與A8

形成的夾角/ABC=72°,現(xiàn)在住戶要求：當(dāng)人站在E處淋浴時，水流正好噴灑在人體

的C處，且使QE=50a〃，CE=130c/n.問：安裝師傅應(yīng)將支架固定在離地面多高的位

置？

（參考數(shù)據(jù)：sin37°-0.60,cos37°g0.80,tan37°-0.75,sin72°g0.95,cos72°?

0.31,tan720弋3.08,sin350弋0.57,cos35°七0.82,tan35°

25.（2019?隨州）在一次海上救援中，兩艘專業(yè)救助船A,8同時收到某事故漁船的求救訊

息，已知此時救助船B在A的正北方向，事故漁船P在救助船A的北偏西30°方向上，

在救助船B的西南方向上，且事故漁船尸與救助船A相距120海里.

（1）求收到求救訊息時事故漁船P與救助船B之間的距離；

（2）若救助船A,B分別以40海里/小時、30海里/小時的速度同時出發(fā)，勻速直線前往

事故漁船P處搜救，試通過計算判斷哪艘船先到達(dá).

26.（2019?河南）數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如

圖所示，炎帝塑像OE在高55〃7的小山EC上，在A處測得塑像底部E的仰角為34°,

再沿AC方向前進(jìn)21機(jī)到達(dá)B處，測得塑像頂部。的仰角為60°,求炎帝塑像。E的高

度._

（精確到1m.參考數(shù)據(jù)：sin34°-0.56,cos34°=0.83,tan34°弋0.67,小，73）

27.（2019?蘭州）某數(shù)學(xué)課題研究小組針對蘭州市住房窗戶“如何設(shè)計遮陽蓬”這一課題進(jìn)

行了探究，過程如下：

問題提出：

如圖1是某住戶窗戶上方安裝的遮陽蓬，要求設(shè)計的遮陽蓬能最大限度地遮住夏天炎熱

的陽光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內(nèi).

圖1圖2

方案設(shè)計：

如圖2,該數(shù)學(xué)課題研究小組通過調(diào)查研究設(shè)計了垂直于墻面AC的遮陽蓬CD.

數(shù)據(jù)收集：

通過查閱相關(guān)資料和實(shí)際測量：蘭州市一年中，夏至日這一天的正午時刻太陽光線DA

與遮陽蓬CQ的夾角NAQC最大（NA￡）C=77.44°）；冬至日這一天的正午時刻，太陽

光線0B與遮陽蓬C￡＞的夾角/BOC最?。∟BOC=30.56°）.窗戶的高度AB=2%.

問題解決：

根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，求遮陽蓬的長.

（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù):sin30.56°-0.51,cos30.56°七0.86,tan30.56°-0.59,

sin77.44°=*0.98,cos77.44°??0.22,tan77.44°弋4.49）

28.（2019?天水）某地的一座人行天橋如圖所示，天橋高為6米，坡面BC的坡度為1：1,

文化墻在天橋底部正前方8米處（PB的長），為了方便行人推車過天橋，有關(guān)部門

決定降低坡度，使新坡面的坡度為1：0（參考數(shù)據(jù)：&七1.414,遙右1.732）

（1）若新坡面坡角為a,求坡角a度數(shù)；

（2）有關(guān)部門規(guī)定，文化墻距天橋底部小于3米時應(yīng)拆除，天橋改造后，該文化墻

是否需要拆除？請說明理由.

PAB

29.（2019?江西）圖1是一臺實(shí)物投影儀，圖2是它的示意圖，折線A-0表示固定支

架，AO垂直水平桌面OE于點(diǎn)。，點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，BC可轉(zhuǎn)動，當(dāng)BC繞點(diǎn)B順時針旋

轉(zhuǎn)時，投影探頭CD始終垂直于水平桌面OE,經(jīng)測量：4O=6.8CTW,CD=Scm,A8=30c〃?，

BC=35cm.（結(jié)果精確到0.1）.

（1）如圖2,ZABC=70°,BC//OE.

①填空：ZBAO=°.

②求投影探頭的端點(diǎn)D到桌面OE的距離.

（2）如圖3,將（1）中的BC向下旋轉(zhuǎn)，當(dāng)投影探頭的端點(diǎn)。到桌面OE的距離為

時，求/ABC的大小.

（參考數(shù)據(jù)：sin70°^0.94,cos20°80.94,sin36.8°g0.60,cos53.2°g0.60）

30.（2019?舟山）某挖掘機(jī)的底座高AB=0.8米，動臂BC=1.2米，CO=1.5米，BC與CD

的固定夾角/B8=140°.初始位置如圖1,斗桿頂點(diǎn)。與鏟斗頂點(diǎn)E所在直線OE垂

直地面4M于點(diǎn)E,測得NC￡>E=70°（示意圖2）.工作時如圖3,動臂BC會繞點(diǎn)B

轉(zhuǎn)動，當(dāng)點(diǎn)A,B,C在同一直線時，斗桿頂點(diǎn)。升至最高點(diǎn)（示意圖4）.

（1）求挖掘機(jī)在初始位置時動臂BC與AB的夾角ZABC的度數(shù).

（2）問斗桿頂點(diǎn)。的最高點(diǎn)比初始位置高了多少米？（精確到0.1米）

（參考數(shù)據(jù)：sin50°30.77,cos50°g0.64,sin70°g0.94,cos70°g0.34,詹七1.73）

31.（2019?宿遷）宿遷市政府為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù).圖①是某品

牌共享單車放在水平地面上的實(shí)物圖，圖②是其示意圖，其中A3、8都與地面/平行,

車輪半徑為32a”，NBCO=64°,BC=60cm,坐墊E與點(diǎn)B的距離為15cm.

（1）求坐墊E到地面的距離；

（2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)坐墊E到CQ的距離調(diào)整為人體腿長的0.8時，坐騎比較舒適.小明

的腿長約為80CT?,現(xiàn)將坐墊E調(diào)整至坐騎舒適高度位置E,求EE'的長.

（結(jié)果精確至I」0.1cm,參考數(shù)據(jù)：sin64°g0.90,cos64°?=0.44,tan64°心2.05）

圖①

32.（2019?泰州）某體育看臺側(cè)面的示意圖如圖所示，觀眾區(qū)AC的坡度，.為1：2,頂端C

離水平地面AB的高度為10切，從頂棚的。處看E處的仰角a=18°30',豎直的立桿

上C、。兩點(diǎn)間的距離為4瓶，E處到觀眾區(qū)底端A處的水平距離AF為3,〃.求：

（1）觀眾區(qū)的水平寬度48；

（2）頂棚的E處離地面的高度EF.（sinl8°

到0.1m）

33.（2019?白銀）圖①是放置在水平面上的臺燈，圖②是其側(cè)面示意圖（臺燈底座高度忽

略不計），其中燈臂AC=40CTO,燈罩CQ=30a",燈臂與底座構(gòu)成的NCAB=60°.CD

可以繞點(diǎn)C上下調(diào)節(jié)一定的角度.使用發(fā)現(xiàn)：當(dāng)與水平線所成的角為30°時，臺燈

光線最佳.現(xiàn)測得點(diǎn)。到桌面的距離為49.6c%請通過計算說明此時臺燈光線是否為最

佳？（參考數(shù)據(jù)：?取1.73）.

D

圖①

34.（2019?株洲）小強(qiáng)的爸爸準(zhǔn)備駕車外出.啟動汽車時，車載報警系統(tǒng)顯示正前方有障礙

物，此時在眼睛點(diǎn)4處測得汽車前端尸的俯角為a,且tana=L,若直線4F與地面/i

3

相交于點(diǎn)B,點(diǎn)A到地面/i的垂線段AC的長度為1.6米，假設(shè)眼睛A處的水平線/2與

地面Z1平行.

（1）求8c的長度；

（2）假如障礙物上的點(diǎn)M正好位于線段BC的中點(diǎn)位置（障礙物的橫截面為長方形，且

線段MN為此長方形前端的邊），MNLi,若小強(qiáng)的爸爸將汽車沿直線/1后退0.6米，通

過汽車的前端為點(diǎn)恰好看見障礙物的頂部N點(diǎn)（點(diǎn)。為點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)F1為點(diǎn)尸的

對應(yīng)點(diǎn)），求障礙物的高度.

35.（2019?紹興）如圖1為放置在水平桌面/上的臺燈,，底座的高AB為5c/w,長度均為20c〃?

的連桿8C,C。與AB始終在同一平面上.

（1）轉(zhuǎn)動連桿BC,CQ,使/BCD成平角，ZABC=150°,如圖2,求連桿端點(diǎn)。離

桌面/的高度DE.

（2）將（1）中的連桿CQ再繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)，使NBCC=165°,如圖3,問此時連

桿端點(diǎn)力離桌面/的高度是增加還是減少？增加或減少了多少？（精確到0.1cm,參考數(shù)

據(jù)：&-1.41,遙右1.73）

36.（2019?威海）如圖是把一個裝有貨物的長方體形狀的木箱沿著坡面裝進(jìn)汽車貨廂的示意

圖.已知汽車貨廂高度BG=2米，貨廂底面距地面的高度8〃=0.6米，坡面與地面的夾

角木箱的長（FC）為2米，高（EF）和寬都是1.6米.通過計算判斷：當(dāng)

sina=3,木箱底部頂點(diǎn)C與坡面底部點(diǎn)A重合時，木箱上部頂點(diǎn)E會不會觸碰到汽車

5

37.（2019?安徽）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具.如圖1,明朝科學(xué)家徐光啟在

《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理.如圖2,筒車盛水桶的運(yùn)行軌跡是以軸心

0為圓心的圓.已知圓心在水面上方，且圓被水面截得的弦AB長為6米，Z0AB=4l.r,

若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最高點(diǎn)（C,。的連線垂直于AB）,求點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離.

（參考數(shù)據(jù)：sin參.3°-0.66,cos41.3°七0.75,tan41.3°-0.88）

C

圖1圖2

38.（2019?連云港）如圖，海上觀察哨所8位于觀察哨所4正北方向，距離為25海里.在

某時刻，哨所A與哨所B同時發(fā)現(xiàn)一走私船,其位置C位于哨所A北偏東53°的方向上,

位于哨所B南偏東37°的方向上.

（1）求觀察哨所A與走私船所在的位置C的距離；

（2）若觀察哨所A發(fā)現(xiàn)走私船從C處以16海里/小時的速度向正東方向逃竄，并立即派

緝私艇沿北偏東76°的方向前去攔截，求緝私艇的速度為多少時，恰好在D處成功攔

截.（結(jié)果保留根號）

（參考數(shù)據(jù)：sin370=cos53°弋W,cos37°=sin53°七里，tan37°tan76°七4）

39.（2019?成都）2019年，成都馬拉松成為世界馬拉松大滿貫聯(lián)盟的候選賽事，這大幅提

升了成都市的國際影響力，如圖，在一場馬拉松比賽中，某人在大樓A處，測得起點(diǎn)拱

門CQ的頂部C的俯角為35°,底部。的俯角為45°,如果A處離地面的高度AB=20

米,求起點(diǎn)拱門CD的高度.（結(jié)果精確到1米;參考數(shù)據(jù):sin35°-0.57,cos35°-0.82,

tan35°=0.70）

40.（2019?青島）如圖，某旅游景區(qū)為方便游客，修建了一條東西走向的木棧道A8,棧道

AB與景區(qū)道路CD平行.在C處測得棧道一端A位于北偏西42°方向，在D處測得棧

道另一端B位于北偏西32°方向.已知C￡>=120〃?，BD=80/n,求木棧道48的長度（結(jié)

果保留整數(shù)）.

（參考數(shù)據(jù)：sin32°2TL,cos32°七工2_,tan32°,sin42°22L，cos42°^―,

32208404

tan42°^―）

10

北

4東

答案與解析

1.（2019?盤錦）如圖，池塘邊一棵垂直于水面BM的筆直大樹AB在點(diǎn)C處折斷，AC部分

倒下，點(diǎn)4與水面上的點(diǎn)E重合，部分沉入水中后，點(diǎn)A與水中的點(diǎn)尸重合，CF交水

面于點(diǎn)￡>,DF=2m,NCEB=30°,NCDB=45°,求CB部分的高度.（精確到0.1〃?.參

考數(shù)據(jù)：、歷七1.41,73^1-73）

5n------"

、

F_

【分析】設(shè)CB部分的高度為xm,則BC=xm,CD=Qm,CE=2xm,結(jié)合CE=CF

=CC+OF即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)CB部分的高度為

'：ZBDC=ZBCD=45Q,

***BC=BD=xm.

在RtZ\BC￡>中，C￡>=_.BC.L=T—=揚(yáng)（機(jī)）.

sin45sin45

在RtZiBCE中，VZBEC=30°,

：.CE=2BC=2x(M.

'：CE=CF=CD+DF,

：?2x=y[^+2,

解得：x=2+&.

，BC=2+&七3.4(w).

答：C8部分的高度約為3.4〃?.

Bn------"

、

F

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用以及解一元一次方程，通過解直角三角形及CE

=CF=CD+DF,找出關(guān)于x的一元一次方程是解題的關(guān)鍵.

2.（2019?營口）如圖，A,B兩市相距150h",國家級風(fēng)景區(qū)中心C位于A市北偏東60°

方向上，位于B市北偏西45°方向上.已知風(fēng)景區(qū)是以點(diǎn)C為圓心、50hw為半徑的圓

形區(qū)域.為了促進(jìn)旅游經(jīng)濟(jì)發(fā)展，有關(guān)部門計劃修建連接A,B兩市的高速公路，高速公

路AB是否穿過風(fēng)景區(qū)？通過計算加以說明.（參考數(shù)據(jù)：我心1.73）

【分析】過點(diǎn)C作CHLAB于點(diǎn)，，設(shè)%則而〃，AH=yf3tkm,結(jié)合AB

=150km,可得出關(guān)于r的一元一次方程，解之即可得出f的值，將其與50進(jìn)行比較即可

得出結(jié)論.

【解答】解：高速公路AB不穿過風(fēng)景區(qū).

過點(diǎn)C作CH_L4B于點(diǎn)”，如圖所示.

根據(jù)題意，得：NCAB=30°,NCBA=45°,

在RtACHB中，VtanZC8H=里=1,

HB

：.CH=BH.

設(shè)BH=tkm,則C4=rb〃，

在RtaCA”中，：tan/CA//=^=返，

_AH3

"：AB=150km,

，心+/=150,

?1=75^-75^75X1.73-75=54.75.

V54.75>50,

...高速公路A8不穿過風(fēng)景區(qū).

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，通過解宜角三角形用C”的長

表示出AH,的長是解題的關(guān)鍵.

3.（2019?鞍山）如圖為某海域示意圖，其中燈塔。的正東方向有一島嶼C.一艘快艇以每

小時20nmiIe的速度向正東方向航行，到達(dá)A處時得燈塔D在東北方向上，繼續(xù)航行0.3/?,

到達(dá)8處時測得燈塔。在北偏東30°方向上，同時測得島嶼C恰好在8處的東北方向

上，此時快艇與島嶼C的距離是多少？（結(jié)果精確到1"加鼠參考數(shù)據(jù)：&七1.41,如

於1.73,找弋2.45）

【分析】過點(diǎn)D作DE1AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CFYAB于點(diǎn)F,由DE//CF,DC//EF,

ZCFE=90°可得出四邊形CDEF為矩形，設(shè)￡>E=xmm7e,則AE=x（〃加/e）,BE=&c

3

（nmile'）,由AB=6nmile,可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再在

RtZ\C8尸中，通過解直角三角形可求出BC的長.

【解答】解：過點(diǎn)。作QELAB于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CFLAB于點(diǎn)F,如圖所示.

則。E〃C尸，ZDEA=ZCM=90°.

'：DC//EF,

四邊形CQE尸為平行四邊形.

又；NC尸E=90°,

"8跖為矩形，

：.CF=DE.

根據(jù)題意，得：ZDAB-45°,NDBE=60°,NCB尸=45°.

設(shè)DE=x（nmile）,

在中，?.,tan/ZMB=邁,

AE

.".AE=---------=xknmile').

tan45°

在RtADEB中，：tan/O8E=BL

_BE

:.BE=————=1r(nmile).

tan6003

VAB=20X0.3=6(nmile),AE-BE=AB,

.*近=6,解得：x=9+3向，

3_

；.CF=DE=(9+3?)nmile.

在RtZ\C8F中，sin/C8F=空,

BC

9+373

2^^一運(yùn)=920(nmile).

2

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，通過解直角三角形求出BC的

長是解題的關(guān)鍵.

4.（2019?恩施州）如圖，某地有甲、乙兩棟建筑物，小明于乙樓樓頂A點(diǎn)處看甲樓樓底。

點(diǎn)處的俯角為45°,走到乙樓B點(diǎn)處看甲樓樓頂E點(diǎn)處的俯角為30°,已知A8=6%

DE=10m.求乙樓的高度AC的長.（參考數(shù)據(jù)：V2=1.41,J^1.73,精確到0.1，〃.）

【分析】過點(diǎn)E作EFLAC于F,得出EF=C￡),CF=DE=\0,設(shè)AC=xm,得出CO

=EF=xm,BF=(x-16)m,在RtABEF中，根據(jù)tan/E8F=2E,代值計算即可求

BF

出x的值.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)E作EFLAC于凡則四邊形COEF為矩形,

：.EF=CD,CF=￡>E=10,

設(shè)AC=JOTJ,I)'IJCD=EF=xm,BF=Cx-16)m,

在RtaBEF中，NEBF=6Q°,tan/EBF=更，

BF

?,?—三:如，

x-lb

，x=24+8我心37.8〃？

答：乙樓的高度AC的長約為378”.

【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)

造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵

5.（2019?朝陽）小明同學(xué)在綜合實(shí)踐活動中對本地的一座古塔進(jìn)行了測量.如圖，他在山

坡坡腳P處測得古塔頂端M的仰角為60°,沿山坡向上走25〃?到達(dá)。處，測得古塔頂

端M的仰角為30°.已知山坡坡度i=3：4,即tan9=3,請你幫助小明計算古塔的高

4

度ME.（結(jié)果精確到0」抗，參考數(shù)據(jù)：A//1.732）

PE

【分析】作OC_LEP交EP的延長線于C,作于尸，作PH_LO尸于〃，根據(jù)坡

度的定義分別求出。C、CP,設(shè)根據(jù)正切的定義用y分別表示出。F、PE,根

據(jù)題意列方程，解方程得到答案.

【解答】解：作DCLEP交EP的延長線于C,作DFYME于F,作PHYDF于H,

則DC=PH=FE,DH=CP,HF=PE,

設(shè)。C=3x,

Vtan0=—,

4

CP=4x,

由勾股定理得，PD2=DC2+CP2,即252=（3x）2+（4x）2

解得，x—5,

則。C=3x=15,CP=4x=20,

：.DH=CP=20,PH=FE=DC=15,

設(shè)MF=ym,

則ME=（y+15）m,

在尸中,tanNMOF=迎,

DF

則2碧=心，

在RtAMPE中，tan/MPE=遐，

_PE

則PE=——型——=返（y+15）,

tanZMPE3'

'：DH=DF-HF,

.?.乃-返（y+15）=20,

3

解得，y=7.5+10百，_

ME=MF+FE=75+10b+15比39.8,

答：古塔的高度ME約為398”.

CE

【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角、坡度坡角問題，掌握仰角俯角、

坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

6.(2019?撫順)如圖，學(xué)校教學(xué)樓上懸掛一塊長為3m的標(biāo)語牌，即CD=3m.數(shù)學(xué)活動

課上，小明和小紅要測量標(biāo)語牌的底部點(diǎn)力到地面的距離.測角儀支架高AE=B尸=1.2”，

小明在E處測得標(biāo)語牌底部點(diǎn)D的仰角為31°,小紅在F處測得標(biāo)語牌頂部點(diǎn)C的仰

角為45°,AB=5m,依據(jù)他們測量的數(shù)據(jù)能否求出標(biāo)語牌底部點(diǎn)D到地面的距離DH

的長？若能，請計算；若不能，請說明理由(圖中點(diǎn)A,B,C,D,E,F,H在同一平

面內(nèi))

(參考數(shù)據(jù):tan31°-0.60,sin31°M).52,cos31°-0.86)

【分析】延長所交CH于N,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CN=NF,根據(jù)正切的定

義求出DN,結(jié)合圖形計算即可.

【解答】解:能，

理由如下：延長EF交CH于N,

則NCNF=90°,

,：ZCFN=45°,

：.CN=NF,

設(shè)DN=xtn,則NF=CN=(x+3)m,

：.EN=5+(x+3)=x+8,

在RtZ\QEN中，tanZDEN=DN

麗’

則DN=ENWDEN,

.,.x^OE(x+8),

解得，x=12,

則。H=￡)N+NH=12+1.2=13.2(〃i),

答：點(diǎn)。到地面的距離DH的長約為13.2%

【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟

記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

7.(2019?丹東)如圖，在某街道路邊有相距10〃?、高度相同的兩盞路燈(燈桿垂直地面),

小明為了測量路燈的高度，在地面A處測得路燈PQ的頂端仰角為14°,向前行走25〃?

到達(dá)B處，在地面測得路燈的頂端仰角為24.3°,已知點(diǎn)A,B,Q,N在同一條直

線上，請你利用所學(xué)知識幫助小明求出路燈的高度.（結(jié)果精確到0.1〃?.參考數(shù)據(jù)：sinl4°

弋0.24,cosl4°?=0.97,tanl4°40.25,sin24.3°?=0.4Lcos24.3°^0.91,tan24.3°?

0.45）

【分析】設(shè)PQ=MN=xm,根據(jù)正切的定義分別用x表示出AQ、BN,根據(jù)題意列式計

算即可.

【解答】解：設(shè)PQ=MN=xm,

在RtZ\AP。中，tanA=四，

AQ

則一。=x""=4x,

tanA0.25

在中，tan/MBN=J^,

BN

則BN=....----%—--=地反

tanZMBN0.459

TAQ+QN=AB+BN,

.?.4x+10=25+^r,

9

解得，xg8.4,

答：路燈的高度約為8.4〃?.

【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟

記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

8.（2019?萊蕪區(qū)）公園內(nèi)一涼亭，涼亭頂部是一圓錐形的頂蓋，立柱垂直于地面，在涼亭

內(nèi)中央位置有一圓形石桌，某數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組，將此涼亭作為研究對象，并繪制截

面示意圖，其中頂蓋母線AB與AC的夾角為124°,涼亭頂蓋邊緣8、C到地面的距離

為2.4米，石桌的高度。E為0.6米，經(jīng)觀測發(fā)現(xiàn)：當(dāng)太陽光線與地面的夾角為42°時，

恰好能夠照到石桌的中央E處（A、E、。三點(diǎn)在一條直線上），請你求出圓錐形頂蓋母

線AB的長度.（結(jié)果精確到0.1切）（參考數(shù)據(jù)：sin62°^0.88,tan42°-0.90）

【分析】連接BC、AE,交于點(diǎn)O,則AE1BC.解Rt/\OBD,求出OB=——曳——

tanZOBE0.90

=2.解RtZiOAB中，即可求出AB=——------

sin/OAB

【解答】解：如圖，連接BC、AE,交于點(diǎn)0,則AE_LBC.

由題意，可知OE=2.4-0.6=1.8,NOBE=42°,ZBAO=i.ZBAC=62°.

2

在RtZ\0B￡)中，VtanZ0BE=i!5.,

OB

0B=------______7L*=2.

tan/OBE0.90

在RtZXOAB中，VsinZO/AB=?-,

AB

：.AB=——皿——二-'242.3(w).

sin/OAB0.88

答：圓錐形頂蓋母線AB的長度約為2.3米.

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，銳角三角函數(shù)定義，作出輔

助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

9.（2019?錦州）如圖，某學(xué)校體育場看臺的頂端C到地面的垂直距離CQ為2相，看臺所在

斜坡CM的坡比i=l：3,在點(diǎn)C處測得旗桿頂點(diǎn)A的仰角為30°,在點(diǎn)M處測得旗桿

頂點(diǎn)A的仰角為60。，且8,M,。三點(diǎn)在同一水平線上，求旗桿AB的高度.（結(jié)果精

確到0.1加，參考數(shù)據(jù)：&七1.41,73=1.73）

【分析】過點(diǎn)C作CE_LA8于點(diǎn)E,設(shè)8M=x,根據(jù)矩形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定

義即可求出答案.

【解答】解：過點(diǎn)C作CE_LAB于點(diǎn)E,

'：CD=2,tanZCMD=X

3

：.MD=6,

設(shè)BM=x,

***BD=x+6,

VZAMB=60°,

：.ZBAM=30°,

，AB=標(biāo)，

己知四邊形CC8E是矩形，

：.BE=CD=2,CE=BD=x+6,

.'.AE=\[s>c-2,

在RtZVICE中，

Vtan30°=雪

_CE

-1_V3x-2

"73F-，

解得：X=3+M，

AB=5y^r=3+3^"^^8.2”？

【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義以及矩形

的性質(zhì)，本題屬于中等題型.

10.(2019?上海)圖1是某小型汽車的側(cè)面示意圖，其中矩形A8C。表示該車的后備箱，

在打開后備箱的過程中，箱蓋AQE可以繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為60°時，

箱蓋4OE落在A。'E'的