概率和概率分布

概率和概率分布第一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六第五章概率和概率分布§1概率的問題§2離散變量的概率分布

§3連續(xù)變量的概率分布

§4抽樣分布第二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 了解隨機(jī)事件的概念、事件的關(guān)系和運(yùn)算2. 理解概率的定義，掌握概率的性質(zhì)和運(yùn)算法則理解隨機(jī)變量及其分布，計算各種分布的概率第三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§1概率的問題§1.1事件

§1.2概率§1.3概率分布

第四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六隨機(jī)事件的幾個基本概念隨機(jī)事件的幾個基本概念第五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六試驗在相同條件下，對事物或現(xiàn)象所進(jìn)行的觀察例如：擲一枚骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)試驗具有以下特點(diǎn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行每次試驗的可能結(jié)果可能不止一個，但試驗的所有可能結(jié)果在試驗之前是確切知道的在試驗結(jié)束之前，不能確定該次試驗的確切結(jié)果第六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六事件的概念事件：隨機(jī)試驗的每一個可能結(jié)果(任何樣本點(diǎn)集合)例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為3隨機(jī)事件：每次試驗可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件例如：擲一枚骰子可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)必然事件：每次試驗一定出現(xiàn)的事件，用表示例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7不可能事件：每次試驗一定不出現(xiàn)的事件，用表示例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6第七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六事件與樣本空間基本事件一個不可能再分的隨機(jī)事件例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)樣本空間一個試驗中所有基本事件的集合，用表示例如：在擲枚骰子的試驗中，{1,2,3,4,5,6}在投擲硬幣的試驗中，{正面，反面}第八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§1.1事件§1.1.2事件的關(guān)系事件的包含；事件的互斥；事件的并（或和）；事件的交（或積）；事件的差；事件的逆。

第九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§1.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算

（事件的包含）ABB

A

若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A，或事件A包含于事件B，記作或AB或B

A第十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§1.1.2

事件的關(guān)系和運(yùn)算

（事件的并或和）

事件A和事件B中至少有一個發(fā)生的事件稱為事件A與事件B

的并。它是由屬于事件A或事件B的所有的樣本點(diǎn)組成的集合，記為A∪B或A+BBAA∪B第十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§1.1.2

事件的關(guān)系和運(yùn)算

（事件的交或積）ABA∩B

事件A與事件B同時發(fā)生的事件稱為事件A與事件B的交，它是由屬于事件A也屬于事件B的所有公共樣本點(diǎn)所組成的集合，記為B∩A

或AB第十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§1.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算

（互斥事件）ABA

與B互不相容

事件A與事件B中，若有一個發(fā)生，另一個必定不發(fā)生，則稱事件A與事件B是互斥的，否則稱兩個事件是相容的。顯然，事件A與事件B互斥的充分必要條件是事件A與事件B沒有公共的樣本點(diǎn)第十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§1.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算

（事件的逆）A

A一個事件B與事件A互斥，且它與事件A的并是整個樣本空間，則稱事件B是事件A的逆事件。它是由樣本空間中所有不屬于事件A的樣本點(diǎn)所組成的集合，記為A第十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§1.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算

（事件的差）A-BAB事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生的事件稱為事件A與事件B的差，它是由屬于事件A而不屬于事件B的那些樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合，記為A-B

第十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§1.1.3事件的性質(zhì)事件的性質(zhì)設(shè)A、B、C為三個事件，則有交換律：A∪B=B∪A

A∩B=B∩A結(jié)合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA(BC)

=(AB)C分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)第十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§1.2概率§1.2.1事件的概率

事件A的概率是對事件A出現(xiàn)的可能性大小的一種度量，數(shù)學(xué)表示為，概率的數(shù)學(xué)性質(zhì)有：非負(fù)性對任意事件A，有0P1規(guī)范性必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0。即P()=1；P()=0可加性若A與B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)推廣到多個兩兩互斥事件A1，A2，…，An，有

P(A1∪A2

∪…∪An)=P(A1

)+P(A2

)+…+P(An

)第十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六事件的概率事件A的概率是對事件A在試驗中出現(xiàn)的可能性大小的一種度量表示事件A出現(xiàn)可能性大小的數(shù)值事件A的概率表示為P(A)概率的定義有：古典定義、統(tǒng)計定義和主觀概率定義第十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六事件的概率例如，投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的頻率，隨著投擲次數(shù)n的增大，出現(xiàn)正面和反面的頻率穩(wěn)定在1/2左右試驗的次數(shù)正面/試驗次數(shù)1.000.000.250.500.750255075100125第十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§1.2.2概率的古典定義

如果某一隨機(jī)試驗的結(jié)果有限，而且各個結(jié)果在每次試驗中出現(xiàn)的可能性相同，則事件A發(fā)生的概率為該事件所包含的基本事件個數(shù)m與樣本空間中所包含的基本事件個數(shù)n的比值，記為第二十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§1.2.2概率的古典定義

（實例）【例】某鋼鐵公司所屬三個工廠的職工人數(shù)如下表。從該公司中隨機(jī)抽取1人，問：（1）該職工為男性的概率（2）該職工為煉鋼廠職工的概率某鋼鐵公司所屬企業(yè)職工人數(shù)工廠男職工女職工合計煉鋼廠煉鐵廠軋鋼廠4000320090018001600600620048001500合計8500400012500第二十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§1.2.2概率的古典定義

（計算結(jié)果）解：(1)用A表示“抽中的職工為男性”這一事件；A為全公司男職工的集合；基本空間為全公司職工的集合。則

(2)用B表示“抽中的職工為煉鋼廠職工”；B為煉鋼廠全體職工的集合；基本空間為全體職工的集合。則第二十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§1.2.2概率的統(tǒng)計定義在相同條件下進(jìn)行n次隨機(jī)試驗，事件A出現(xiàn)m次，則比值m/n稱為事件A發(fā)生的頻率。隨著n的增大，該頻率圍繞某一常數(shù)P上下擺動，且波動的幅度逐漸減小，取向于穩(wěn)定，這個頻率的穩(wěn)定值即為事件A的概率，記為第二十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§1.2.2概率的統(tǒng)計定義

（實例）【例】：某工廠為節(jié)約用電，規(guī)定每天的用電量指標(biāo)為1000度。按照上個月的用電記錄，30天中有12天的用電量超過規(guī)定指標(biāo)，若第二個月仍沒有具體的節(jié)電措施，試問該廠第一天用電量超過指標(biāo)的概率。

解：上個月30天的記錄可以看作是重復(fù)進(jìn)行了30次試驗，試驗A表示用電超過指標(biāo)出現(xiàn)了12次。根據(jù)概率的統(tǒng)計定義有第二十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§1.2.2概率的主觀定義對一些無法重復(fù)的試驗，確定其結(jié)果的概率只能根據(jù)以往的經(jīng)驗人為確定概率是一個決策者對某事件是否發(fā)生，根據(jù)個人掌握的信息對該事件發(fā)生可能性的判斷例如，我認(rèn)為2012年的中國股市是一個盤整年概率的主觀定義叫主觀概率，也叫個人概率。第二十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六

法則一：加法的特殊定理兩個互斥事件之和的概率，等于兩個事件概率之和。設(shè)A和B為兩個互斥事件，則

P(A∪B)=P(A)+P(B)事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則有P(A1∪A2

∪…∪An)=P(A1

)+P(A2

)+…+P(An

)特別的，若事件A與B互斥，并且事件A與B的和組成了整個樣本空間，此時，事件A與B互為逆事件。有，個式子還可以寫成或?qū)懽鳎?。上式也叫概率的補(bǔ)償定理。

§1.2.3概率的加法第二十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§1.2.3概率的加法

（實例）【例】根據(jù)鋼鐵公司職工的例子，隨機(jī)抽取一名職工，計算該職工為煉鋼廠或軋鋼廠職工的概率解：用A表示“抽中的為煉鋼廠職工”這一事件；B表示“抽中的為軋鋼廠職工”這一事件。隨機(jī)抽取一人為煉鋼廠或軋鋼廠職工的事件為互斥事件A與B的和，其發(fā)生的概率為第二十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§1.2.3概率的加法法則二：加法的一般定理有的事件并不是互斥的，有可能同時發(fā)生，存在交集。要計算兩個事件之和的概率，要減去一次交集的概率，否則這部分就包括了兩次，重復(fù)多算了一次。對任意兩個隨機(jī)事件A和B，它們和的概率為兩個事件分別概率的和減去兩個事件交的概率，即

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)對于兩個互斥事件而言，有P(A∩B)=P(Φ)=0加法的特殊定理是一般定理的一個特例。第二十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§1.2.3概率的加法

（實例）【例】設(shè)某地有甲、乙兩種報紙，該地成年人中有20%讀甲報紙，16%讀乙報紙，8%兩種報紙都讀。問成年人中有百分之幾至少讀一種報紙。解：設(shè)A＝{讀甲報紙}，B＝{讀乙報紙}，C＝{至少讀一種報紙}。則

P(C

)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

=0.2

+

0.16

-

0.08

=

0.28第二十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§1.2.4概率的乘法--條件概率1.條件概率在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，求事件A發(fā)生的概率，稱這種概率為事件A的條件概率，記為若，事件A的條件概率（事件B發(fā)生的條件下），與事件A本身的概率相等，意味著事件B的信息對于事件A沒有影響，說明這兩個事件是獨(dú)立的。第三十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六條件概率的圖示事件AB及其概率P(AB)事件B及其概率P(B)事件A

事件B一旦事件B發(fā)生第三十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§1.2.4概率的乘法2.乘法的特殊定理兩個獨(dú)立事件之積（同時發(fā)生）的概率，等于兩個事件的概率之積。即若事件A與B獨(dú)立，有P(AB)=P(A)·P(B)推廣到n個獨(dú)立事件，有

P(A1A2

…An)=P(A1)P(A2)…P(An)第三十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§1.2.4概率的乘法

（乘法的特殊定理實例）【例】某工人同時看管三臺機(jī)床，每單位時間(如30分鐘)內(nèi)機(jī)床不需要看管的概率：甲機(jī)床為0.9，乙機(jī)床為0.8，丙機(jī)床為0.85。若機(jī)床是自動且獨(dú)立地工作，求（1）在30分鐘內(nèi)三臺機(jī)床都不需要看管的概率（2）在30分鐘內(nèi)甲、乙機(jī)床不需要看管，且丙機(jī)床需要看管的概率解：設(shè)A1，A2，A3為甲、乙、丙三臺機(jī)床不需要看管的事件，A3

為丙機(jī)床需要看管的事件，依題意有

(1)P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)

P(A3)=0.90.80.85=0.612

(2)

P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)

P(A3)=0.90.8(1-0.85)=0.108第三十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§1.2.4概率的乘法3.乘法的一般定理更多的時候，事件并不是獨(dú)立的，概率的計算是有條件的。一般意義上，兩個事件之積（同時發(fā)生）的概率，為：上式也可以寫作求兩個以上事件之積（同時發(fā)生）的概率與之相似。以三個事件A、B、C為例。事件A、B、C同時發(fā)生的概率為：第三十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§1.2.4概率的乘法

（實例）【例】設(shè)有1000中產(chǎn)品，其中850件是正品，150件是次品，從中依次抽取2件，兩件都是次品的概率是多少？解：設(shè)Ai表示“第i次抽到的是次品”(i=1,2)，所求概率為P(A1A2)

第三十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§1.2.5全概公式和貝葉斯公式1.全概公式設(shè)n個事件兩兩互斥，并有，說明n個事件兩兩互斥沒有交集，并且組成了整個樣本空間，滿足這兩個條件的事件組稱為一個完備事件組。若，則對任意事件B，有：我們把事件看作是引起事件B發(fā)生的所有可能原因，事件B能且只能在原有之一發(fā)生的條件下發(fā)生，求事件B

的概率就是上面的全概公式

第三十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六全概公式

（實例）【例】某車間用甲、乙、丙三臺機(jī)床進(jìn)行生產(chǎn)，各種機(jī)床的次品率分別為5%、4%、2%，它們各自的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的25%、35%、40%，將它們的產(chǎn)品組合在一起，求任取一個是次品的概率。解：設(shè)A1表示“產(chǎn)品來自甲臺機(jī)床”，A2表示“產(chǎn)品來自乙臺機(jī)床”，A3表示“產(chǎn)品來自丙臺機(jī)床”，B表示“取到次品”。根據(jù)全概公式有第三十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§1.2.5全概公式和貝葉斯公式2.貝葉斯公式貝葉斯公式與全概率公式要解決的問題正好相反。它是在條件概率的基礎(chǔ)上尋找事件發(fā)生的原因（或事件是在什么條件下發(fā)生的）。貝葉斯公式也稱作逆概公式。設(shè)n個事件兩兩互斥，并有

就是貝葉斯公式（逆概公式），它是基于事件B已發(fā)生的結(jié)果，推導(dǎo)事件B是在情況下發(fā)生的概率。第三十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§1.2.5全概公式和貝葉斯公式進(jìn)一步有：

已知事件B發(fā)生了，未知（想去知道）的是事件B是在什么情況下發(fā)生，這可以通過計算逆概率來做出判斷。

第三十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六貝葉斯公式

（實例）【例】某車間用甲、乙、丙三臺機(jī)床進(jìn)行生產(chǎn)，各種機(jī)床的次品率分別為5%、4%、2%，它們各自的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的25%、35%、40%，將它們的產(chǎn)品組合在一起，如果取到的一件產(chǎn)品是次品，分別求這一產(chǎn)品是甲、乙、丙生產(chǎn)的概率解：設(shè)A1表示“產(chǎn)品來自甲臺機(jī)床”，A2表示“產(chǎn)品來自乙臺機(jī)床”，A3表示“產(chǎn)品來自丙臺機(jī)床”，B表示“取到次品”。根據(jù)貝葉斯公式有：第四十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§1.3概率分布概率分布指的是隨機(jī)變量的概率分布。對離散變量，列出其所有可能的取值以及隨機(jī)變量取這些值的概率，便構(gòu)成了離散變量的概率分布。對連續(xù)變量，可計算某段（區(qū)間）取值的概率（或概率密度），相應(yīng)地便構(gòu)成了連續(xù)變量的概率分布。第四十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六隨機(jī)變量的概念一次試驗的結(jié)果的數(shù)值性描述一般用X、Y、Z來表示例如:投擲兩枚硬幣出現(xiàn)正面的數(shù)量根據(jù)取值情況的不同分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量第四十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X取有限個值或所有取值都可以逐個列舉出來X1,X2，…以確定的概率取這些不同的值離散型隨機(jī)變量的一些例子試驗隨機(jī)變量可能的取值抽查100個產(chǎn)品一家餐館營業(yè)一天電腦公司一個月的銷售銷售一輛汽車取到次品的個數(shù)顧客數(shù)銷售量顧客性別0,1,2,…,1000,1,2,…0,1,2,…男性為0,女性為1第四十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X取無限個值所有可能取值不可以逐個列舉出來，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)連續(xù)型隨機(jī)變量的一些例子試驗隨機(jī)變量可能的取值抽查一批電子元件新建一座住宅樓測量一個產(chǎn)品的長度使用壽命(小時)半年后工程完成的百分比測量誤差(cm)X00

X100X0第四十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§2離散變量的概率分布首先看離散型隨機(jī)變量的概率分布。為得到離散型隨機(jī)變量X的概率分布，通常需要列出X的所有可能取值，以及X取這些值的概率。用下面的表格來表示：

第四十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§2離散變量的概率分布列出離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值列出隨機(jī)變量取這些值的概率通常用下面的表格來表示X=xix1，x2

，…

，xnP(X=xi)=pip1，p2

，…

，pn

P(X=xi)=pi稱為離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)pi00第四十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六離散型隨機(jī)變量的概率分布

（實例）【例】如規(guī)定打靶中域Ⅰ得3分，中域Ⅱ得2分，中域Ⅲ得1分，中域外得0分。今某射手每100次射擊，平均有30次中域Ⅰ，55次中域Ⅱ，10次中Ⅲ，5次中域外。則考察每次射擊得分為0,1,2,3這一離散型隨機(jī)變量，其概率分布為X=xi0123P(X=xi)pi0.050.100.550.30第四十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望在離散型隨機(jī)變量X的一切可能取值的完備組中，各可能取值xi與其取相對應(yīng)的概率pi乘積之和描述離散型隨機(jī)變量取值的集中程度計算公式為第四十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六離散型隨機(jī)變量的方差隨機(jī)變量X的每一個取值與期望值的離差平方和的數(shù)學(xué)期望，記為V(X)描述離散型隨機(jī)變量取值的分散程度計算公式為第四十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六離散型隨機(jī)變量的方差

（實例）【例】投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是個離散型隨機(jī)變量，其概率分布為如下。計算數(shù)學(xué)期望和方差X=xi123456P(X=xi)=pi1/61/61/61/61/61/6解：數(shù)學(xué)期望為：方差為：第五十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§2離散變量的概率分布幾種主要的離散變量概率分布§2.1均勻分布§2.20-1分布

§2.3二項分布§2.4泊松分布

第五十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§2.1均勻分布當(dāng)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值的概率相同，即都相同，則X服從均勻分布。設(shè)所有可能的取值個數(shù)為n，則對于服從均勻分布的離散型隨機(jī)變量X，有：第五十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六均勻分布實例【例】投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是個離散型隨機(jī)變量，其概率分布為X=xi123456P(X=xi)=pi1/61/61/61/61/61/601/6P(x)1x23456第五十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六伯努利試驗

（0-1分布、二項分布）0-1分布、二項分布與伯努利試驗有關(guān)伯努利試驗具有如下屬性試驗包含了n

個相同的試驗每次試驗只有兩個可能的結(jié)果，即“成功”和“失敗”出現(xiàn)“成功”的概率p對每次試驗結(jié)果是相同的；“失敗”的概率q也相同，且p+q=1試驗是相互獨(dú)立的試驗“成功”或“失敗”可以計數(shù)第五十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§2.20-1分布

當(dāng)離散型隨機(jī)變量X的只有兩個可能的取值，并且其中一個賦值為1，另一個賦值為0，則X服從0-1分布。例如，男性用1表示，女性用0表示；合格品用1表示，不合格品用0表示設(shè)取1的概率為，則取0的概率對于服從0-1分布的離散型隨機(jī)變量X，有： 第五十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§2.20—1分布

(實例)【例】已知一批產(chǎn)品的次品率為p＝0.05，合格率為q=1-p=1-0.5=0.95。并指定廢品用1表示，合格品用0表示。則任取一件為廢品或合格品這一離散型隨機(jī)變量，其概率分布為X=xi01P(X=xi)=pi0.050.950.5011xP(x)第五十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§2.3二項分布

二項分布研究的是類型變量，并且類型只能夠表現(xiàn)為兩種形式，這與0-1分布一致。二項分布其實是多個0-1分布的結(jié)合。0-1分布是一次實驗，二項分布則是多次試驗。二項分布的多次試驗中，每次試驗都是獨(dú)立于其他試驗的，試驗之間也不會互相影響。第五十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§2.3二項分布

設(shè)成功的概率為p，則失敗的概率為q=1-p。試驗的總次數(shù)為n，則n次試驗中成功的次數(shù)X服從二項分布。記作：設(shè)X為n次重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，X取x

的概率為第五十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§2.3二項分布顯然，對于P{X=x}0，x=1,2,…,n，有同樣有當(dāng)n=1時，二項分布化簡為第五十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§2.3二項分布二項分布隨機(jī)變量的期望和方差為：

第六十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§2.3

二項分布

（實例）【例】已知100件產(chǎn)品中有5件次品，現(xiàn)從中任取一件，有放回地抽取3次。求在所抽取的3件產(chǎn)品中恰好有2件次品的概率解：設(shè)X為所抽取的3件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X~B(3,0.05)，根據(jù)二項分布公式有第六十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§2.4泊松分布

n很大而p很小時二項分布的極限形式叫做泊松分布。設(shè)參數(shù)，代表某結(jié)果出現(xiàn)次數(shù)的期望，若試驗總次數(shù)為n，某結(jié)果每次出現(xiàn)的概率為p，當(dāng)n很大而p很小時，。某結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)X在服從泊松分布的情況下，X的取值為

,有—給定的時間間隔、長度、面積、體積內(nèi)“成功”的平均數(shù)e=2.71828x—給定的時間間隔、長度、面積、體積內(nèi)“成功”的次數(shù)第六十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§2.4泊松分布泊松分布隨機(jī)變量的期望和方差為：第六十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§2.4

泊松分布

（實例）【例】假定某企業(yè)的職工中在周一請假的人數(shù)X服從泊松分布，且設(shè)周一請事假的平均人數(shù)為2.5人。求（1）X

的均值及標(biāo)準(zhǔn)差（2）在給定的某周一正好請事假是5人的概率解：(1)E(X)==2.5；D(X)=＝2.5=1.581(2)第六十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§2.4泊松分布

（作為二項分布的近似）當(dāng)試驗的次數(shù)n

很大，成功的概率p

很小時，可用泊松分布來近似地計算二項分布的概率，即實際應(yīng)用中，當(dāng)P0.25，n>20，np5時，近似效果良好第六十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§3連續(xù)變量的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間或整個實數(shù)軸上的任意一個值它取任何一個特定的值的概率都等于0不能列出每一個值及其相應(yīng)的概率通常研究它取某一區(qū)間值的概率用數(shù)學(xué)函數(shù)的形式和分布函數(shù)的形式來描述第六十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六概率密度函數(shù)設(shè)X為一連續(xù)型隨機(jī)變量，x

為任意實數(shù)，X的概率密度函數(shù)記為f(x)，它滿足條件

f(x)不是概率第六十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六概率密度函數(shù)密度函數(shù)f(x)表示X的所有取值x

及其頻數(shù)f(x)值(值,頻數(shù))頻數(shù)f(x)abx第六十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六概率密度函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中畫出f(x)的圖形，則對于任何實數(shù)a<b，P(a<Xb)是該曲線下從a

到b的面積f(x)xab概率是曲線下的面積第六十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六分布函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率也可以用分布函數(shù)F(x)來表示分布函數(shù)定義為根據(jù)分布函數(shù)，P(a<X<b)可以寫為第七十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系密度函數(shù)曲線下的面積等于1分布函數(shù)是曲線下小于x0

的面積f(x)xx0F(x0

)第七十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六連續(xù)型隨機(jī)變量的期望和方差連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為方差為第七十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§3連續(xù)變量的概率分布幾種主要的連續(xù)變量的概率分布§3.1均勻分布§3.2正態(tài)分布

§3.3正態(tài)分布衍生的幾個重要分布第七十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§3.1均勻分布當(dāng)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度值為常數(shù)，即都相同，則X服從均勻分布。設(shè)所有可能的取值從a到b，由，得X的概率密度函數(shù)為：稱X服從在區(qū)間的均勻分布。xf(x)ba第七十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§3.1均勻分布分布函數(shù)為：數(shù)學(xué)期望和方差為：第七十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§3.2正態(tài)分布正態(tài)（normal）分布是描述連續(xù)型隨機(jī)變量最重要的分布。服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量X，其概率密度函數(shù)為：分布函數(shù)為：其中，為均值，為標(biāo)準(zhǔn)差，，。

第七十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六正態(tài)分布的重要性1. 正態(tài)（normal）分布:描述連續(xù)型隨機(jī)變量的最重要的分布2. 可用于近似離散型隨機(jī)變量的分布例如:二項分布3. 經(jīng)典統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ)xf(x)第七十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六概率密度函數(shù)f(x)=隨機(jī)變量X的頻數(shù)

=總體方差

=3.14159;e=2.71828x=隨機(jī)變量的取值(-<x<)

=總體均值第七十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§3.2正態(tài)分布若隨機(jī)變量X服從期望為方差為的正態(tài)分布，記作：只要有均值與標(biāo)準(zhǔn)差，就可以構(gòu)成一個正態(tài)分布。因此，每一對均值和標(biāo)準(zhǔn)差就有一個正態(tài)分布。并有：第七十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§3.2正態(tài)分布特征（1）每一對μ與σ都可以形成一條曲線，這意味著正態(tài)曲線可以看成是一族曲線，在編制曲線時需要并且只需要μ與σ2。（2）曲線為鐘形，而且對稱。期望μ為變量取值的中間點(diǎn)和對稱點(diǎn)。方差σ2反映了變量的離散程度，σ2越小曲線越尖，σ2越大曲線越扁平。（3）在正態(tài)分布中，變量的均值、中位數(shù)Me和眾數(shù)Mo都是相等的。（4）概率密度值在對稱點(diǎn)μ取到最大值，越往兩邊值越小，直至無限趨近于0，在理論上永不相交。（5）正態(tài)分布的隨機(jī)變量，大部分取值在中間點(diǎn)μ附近，極大極小值的個數(shù)都較少。實際上幾乎所有的數(shù)值位于均值加減三個標(biāo)準(zhǔn)差之間，也就是說全距離為6σ。（6）曲線下總面積為1。曲線從對稱點(diǎn)往右或往左的面積都是0.5。第八十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六和對正態(tài)曲線的影響xf(x)CAB第八十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六正態(tài)分布的概率概率是曲線下的面積!abxf(x)第八十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性一般的正態(tài)分布取決于均值和標(biāo)準(zhǔn)差計算概率時，每一個正態(tài)分布都需要有自己的正態(tài)概率分布表，這種表格是無窮多的若能將一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，計算概率時只需要查一張表第八十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§3.2正態(tài)分布為了得到更加一般意義和標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布，我們可以采取標(biāo)準(zhǔn)化處理，把所有均值為方差為的正態(tài)分布，都轉(zhuǎn)化為均值為0方差為1的正態(tài)分布，即通過線性變換的標(biāo)準(zhǔn)化處理，把正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。設(shè)，標(biāo)準(zhǔn)化處理為：并有：第八十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布xms一般正態(tài)分布

=1Z標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布第八十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§3.2正態(tài)分布便得到了服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的Z變量，有：Z變量的概率密度函數(shù)為：Z變量的分布函數(shù)為：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)是唯一的。概率密度函數(shù)一般用表示，分布函數(shù)一般用表示。第八十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§3.2正態(tài)分布對于一般的正態(tài)分布，有：

第八十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§3.2正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的注意事項有：（1）標(biāo)準(zhǔn)化處理為（2）查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表即得概率。其中，

（3）對于負(fù)的z，可由得到。（4）（5）第八十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六標(biāo)準(zhǔn)化的例子P(5X6.2)

x=5=10一般正態(tài)分布6.2

=1Z標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布00.12.0478第八十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六標(biāo)準(zhǔn)化的例子P(2.9X7.1)

一般正態(tài)分布.1664.0832.0832標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布第九十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六正態(tài)分布

（實例）【例】設(shè)X~N(0，1)，求以下概率：

(1)P(X<1.5)；(2)P(X>2)；(3)P(-1<X

3)；(4)P(|X|2)

解：(1)P(X<1.5)=(1.5)=0.9332(2)P(X>2)=1-P(2

X)=1-0.9973=0.0227(3)P(-1<X

3)=P(X

3)-P(X<-1)=(3)-(-1)=(3)–[1-(1)]=0.9987-(1-0.8413)=0.8354(4)P(|X|2)=P(-2

X|2)=(2)-(-2)=(2)-[1-(2)]=2(2)-1=0.9545第九十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六正態(tài)分布

（實例）【例】設(shè)X~N(5，32)，求以下概率

(1)P(X

10)；(2)P(2<X

<10)

解：(1)(2)第九十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六二項分布的正態(tài)近似***當(dāng)n很大時，二項隨機(jī)變量X近似服從正態(tài)分布N{np,np(1-p)}對于一個二項隨機(jī)變量X，當(dāng)n很大時，求P(x1Xx2)時可用正態(tài)分布近似為第九十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六為什么概率是近似的***.0.1.2.30246810xP(x)正態(tài)曲線增加的概率正態(tài)曲線減少的概率二項概率：矩形的面積正態(tài)概率：曲線下從3.5到4.5的面積增加的部分與減少的部分不一定相等第九十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期六§3.3正態(tài)分布衍生的幾個重要分布

***§3.3.1卡方分布

常應(yīng)用于擬合優(yōu)度檢驗中。設(shè)個隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則它們的平方和服從自由度為的卡方分布。記作：

卡方分布的期望為：卡方分布的方差為：卡方分布具有可加性即若，，且與獨(dú)立，則：第九十五頁，共一百零五頁，編輯于2