2015考研專(zhuān)碩管綜基礎(chǔ)

管綜初數(shù)

基礎(chǔ)班

主講老師：劉京環(huán)3條件充分性判斷選項(xiàng)：A:(1)充分,(2)不充分B:(1)不充分,(2)充分C:(1)不充分,(2)不充分,聯(lián)合起來(lái)充分D:(1)充分,(2)充分E:(1)不充分,(2)不充分,聯(lián)合起來(lái)也不充分充分性：例直線(xiàn)經(jīng)過(guò)第二象限例直線(xiàn)經(jīng)過(guò)第二象限第一章實(shí)數(shù)1.數(shù)2.絕對(duì)值3.比和比例4.均值1.1數(shù)的分類(lèi)1.2數(shù)的概念及性質(zhì)自然數(shù)：整數(shù)：百分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)：完全平方數(shù)：1.2數(shù)的概念及性質(zhì)數(shù)的整除：當(dāng)整數(shù)除以非零整數(shù)，商正好是整數(shù)而無(wú)余數(shù)時(shí)，則稱(chēng)能被整除或能整除.整除判別法：能被2整除的數(shù)：個(gè)位是0、2、4、6、8能被3/9整除的數(shù)：各位數(shù)字之和能被3/9整除能被4/8整除的數(shù)：末兩位（三位）能被4（8）整除能被5整除的數(shù)：個(gè)位是0、5例：某四位數(shù)，它的前兩位數(shù)碼和后兩位數(shù)碼完全相同，則此四位數(shù)必有約數(shù)（）例：一個(gè)大于10的自然數(shù)，劃去它的個(gè)位數(shù)字之后得到一個(gè)新的數(shù)，若原數(shù)除以新數(shù)商為13，則這樣的原數(shù)共有（）個(gè)約數(shù)和倍數(shù)：公約數(shù)和公倍數(shù)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的求法——短除法例：兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)是6，最小公倍數(shù)是90，滿(mǎn)足條件的兩個(gè)正整數(shù)組成的數(shù)對(duì)（大數(shù)在前）共有（）質(zhì)數(shù)：如果一個(gè)大于1的正整數(shù)，只能被1和它本身整除，那么這個(gè)正整數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）合數(shù)：一個(gè)正整數(shù)除了能被1和本身整除外，還能被其他的正整數(shù)整除，這樣的正整數(shù)叫做合數(shù)。20以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)：互質(zhì)數(shù)：公約數(shù)只有1的兩個(gè)整數(shù)成為互質(zhì)數(shù)質(zhì)數(shù)和合數(shù)的性質(zhì)：1、正整數(shù)范圍內(nèi)，無(wú)數(shù)多個(gè)；2、2是唯一的偶質(zhì)數(shù)；3、若正整數(shù)的積是質(zhì)數(shù)，則必有例：如果（為正整數(shù)）是一個(gè)自然數(shù)的平方，則為（）奇數(shù)和偶數(shù)——用2分類(lèi)用3分類(lèi)：連續(xù)（相鄰）兩個(gè)整數(shù)，必有一個(gè)數(shù)為偶數(shù)；連續(xù)（相鄰）三個(gè)整數(shù)，必有一個(gè)數(shù)為3的倍數(shù)；連續(xù)（相鄰）n個(gè)整數(shù)，必有一個(gè)數(shù)為n的倍數(shù).例：若，則必有約數(shù)（）例：若和是整數(shù)，則能被3整除（1）當(dāng)被3除時(shí)，其余數(shù)為1（2）當(dāng)被9除時(shí)，其余數(shù)為8問(wèn)題：循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)例有一個(gè)非零自然數(shù)，當(dāng)乘以時(shí)，由于誤乘2.126，使答案差1.4，則此自然數(shù)等于（）1.2實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算有理數(shù)之間的運(yùn)算：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)之間的運(yùn)算：無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)的運(yùn)算：例若是有理數(shù)，且滿(mǎn)足，則的值分別為（）

以上結(jié)論均不對(duì)例已知為無(wú)理數(shù)，為有理數(shù)，判斷以下代數(shù)式為有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)？1.3整數(shù)的奇偶分析

+/-

=偶數(shù)

+/-

=奇數(shù)

×

=偶數(shù)

×

=奇數(shù)例為正整數(shù)，為偶數(shù)（1）為偶數(shù)（2）為偶數(shù)例為偶數(shù)（1）設(shè)為整數(shù)，（2）在1,2,3…1990這1990個(gè)自然數(shù)中相鄰的兩個(gè)數(shù)之間任意添加一個(gè)加號(hào)或減號(hào)，設(shè)這樣組成的運(yùn)算式的結(jié)果是2.絕對(duì)值2.1絕對(duì)值的定義2.2絕對(duì)值的自比性討論正負(fù)性：例（1）實(shí)數(shù)

滿(mǎn)足

（2）實(shí)數(shù)

滿(mǎn)足2.3三角不等式例若關(guān)于實(shí)數(shù)的等式成立，則的取值范圍是（）例已知

是實(shí)數(shù)，則

（1）

（2）

3、比和比例3.1定義正比：若，則稱(chēng)與成正比，稱(chēng)為比例系數(shù).反比：若，則稱(chēng)與成反比，稱(chēng)為比例系數(shù)3.2幾個(gè)重要的關(guān)系甲比乙大20%乙比甲小20%二月比一月多盈利20%虧損30%3.3重要的定理合比定理：合分比定理：等比定理：例若

，則

的值等于（

）（A）1（B）1或-2（C）-1或2（D）-2（E）1或23.4比例的求值問(wèn)題若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，且，則4.均值定理4.1定義算術(shù)平均值：設(shè)個(gè)數(shù)，稱(chēng)為這個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值幾何平均值：設(shè)個(gè)正數(shù)，稱(chēng)為這個(gè)數(shù)的幾何平均值例

的幾何平均值是→4.2均值定理：算術(shù)平均值不小于幾何平均值一正二定三相等兩個(gè)數(shù)的均值定理三個(gè)數(shù)的均值定理兩個(gè)數(shù)的均值定理三個(gè)數(shù)的均值定理變換結(jié)構(gòu)（次數(shù)相同）均分次數(shù)低的項(xiàng)第二章代數(shù)式1.整式2.分式3.無(wú)理式1、整式1.1公式1.1公式例：已知是一個(gè)二次三項(xiàng)式的完全平方式，其中，則的值分別是（）例：已知，則1.2因式分解十字相乘：雙十字相乘：雙十字相乘：例：若是的一個(gè)因式，則的值等于（）例：的圖形是兩條直線(xiàn)1.3余式定理數(shù)除以數(shù)→代數(shù)式除以代數(shù)式例：除以多項(xiàng)式的余式為？例：除以多項(xiàng)式的余式為？例：除以多項(xiàng)式的余式為？余式定理：多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的余式為：2012年：若能被整除，則的值為（）拓展：多項(xiàng)式除以的余式為（）1.4多個(gè)因式積的展開(kāi)式：例：展開(kāi)式中前面的系數(shù)為（）例：與的積不含的一次方項(xiàng)和三次方項(xiàng)2.分式2.1分式的定義用

表示兩個(gè)整式，若中有字母，則就叫分式。2.2分式的約分和通分2.3分式的性質(zhì)分式的分子和分母都乘（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變。例：若，則若，則例：若，則例：若，則3.無(wú)理式無(wú)理式的分母有理化：4.非負(fù)代數(shù)式和為零——求值問(wèn)題例：已知，且，則的值為（）例：三角形三邊適合，則此三角形為（）A.銳角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.鈍角三角形E.以上結(jié)論都不正確772023/6/11.1一次函數(shù)：定義：形如的函數(shù)叫做一次函數(shù).圖像：控制傾斜方向，控制圖像與軸交點(diǎn)。2023/6/1811.2二次函數(shù)：定義：形如的函數(shù)叫做二次函數(shù).2023/6/182的圖像開(kāi)口

對(duì)稱(chēng)軸與軸交點(diǎn)與軸交點(diǎn)2023/6/183絕對(duì)值代數(shù)角度幾何描述1.3.1絕對(duì)值函數(shù)：84絕對(duì)值幾何意義：兩點(diǎn)間距離

數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離函數(shù)函數(shù)總結(jié)：形如：函數(shù)函數(shù)總結(jié)：形如：1.4.1指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算指數(shù)的運(yùn)算對(duì)數(shù)的運(yùn)算1.4.2指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義：指數(shù)函數(shù)的圖像：1.4.3對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像：2.1.1一元一次方程根的情況

2.1.2二元一次方程解法：因式分解法：

配方法：

公式法：

韋達(dá)定理：

例：方程的兩根分別為，則下列代數(shù)式的值為：

例：若實(shí)數(shù)，，分別滿(mǎn)足方程，則

例：已知是方程的兩個(gè)根，則的值等于（）

根的討論：根的個(gè)數(shù)問(wèn)題：

，有兩個(gè)不等實(shí)根

，有兩個(gè)相等實(shí)根

，無(wú)實(shí)根

例：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相異的實(shí)根，則的取值范圍是（）

例：關(guān)于的方程有實(shí)根，則的取值范圍是（）

根的討論：根的正負(fù)性：兩個(gè)不等正根：兩個(gè)負(fù)根：根的討論：一正根一負(fù)根：一根為0：

例：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的正根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）

例：關(guān)于的方程有異號(hào)的兩實(shí)根，且正根的絕對(duì)值大

例：關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是另一個(gè)根的2倍

例解分式方程

例若關(guān)于的分式方程無(wú)解，則的值為（）

一元高次不等式：應(yīng)用題比例問(wèn)題1、比例問(wèn)題1.1：百分值“%”—列表賦值1.2：比號(hào)“：”—比的性質(zhì)比例問(wèn)題1.1：百分值“%”—列表賦值甲比乙大30%A比B小10%盈利(虧損)30%增長(zhǎng)（降低）15%比例問(wèn)題例商店某種服裝換季降價(jià)，原來(lái)可以買(mǎi)8件的錢(qián)現(xiàn)在可以買(mǎi)13件，問(wèn)這種服裝的價(jià)格下降的百分比是（）比例問(wèn)題例

某電子產(chǎn)品一月份按原定價(jià)的80%出售，能獲利20%，二月份由于進(jìn)價(jià)降低，按同樣原定價(jià)的75%出售，卻能獲利25%，那么二月份進(jìn)價(jià)是一月份進(jìn)價(jià)的百分之（

）比例問(wèn)題1.2：比號(hào)“：”—比的性質(zhì)比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以非零實(shí)數(shù)，比值不變。比例問(wèn)題例一公司向銀行借款34萬(wàn)元，欲按的比例分配給下屬甲乙丙三車(chē)間進(jìn)行技術(shù)改造，則甲車(chē)間應(yīng)得（）元（A）4萬(wàn)（B）8萬(wàn)（C）12萬(wàn)（D）18萬(wàn)（E）20萬(wàn)比例問(wèn)題例某工廠(chǎng)生產(chǎn)的一批產(chǎn)品經(jīng)產(chǎn)品檢驗(yàn)，優(yōu)等品與二等品的比是5:2，二等品與次等品的比是5:1，則該批產(chǎn)品的合格率（合格品包括優(yōu)等品和二等品）為（）（A）92%（B）92.3%（C）94.6%（D）96%（E）96.3%工程問(wèn)題2、工程問(wèn)題把整個(gè)工程的工作量看做“1”，工作效率=工作量/工作時(shí)間。工程問(wèn)題例空水槽設(shè)有甲、乙、丙三個(gè)水管，甲管5分鐘可注滿(mǎn)水槽，乙管30分鐘可注滿(mǎn)水槽，丙管15分鐘可把滿(mǎn)槽水放完，若三管齊開(kāi)，2分鐘后關(guān)上乙管，問(wèn)水槽放滿(mǎn)甲管共開(kāi)了（）分鐘（A）4（B）5（C）6（D）7（E）8工程問(wèn)題例一項(xiàng)工程由甲、乙兩隊(duì)合作30天可完成。甲隊(duì)單獨(dú)工作24天后，乙隊(duì)加入，兩隊(duì)合作10天后，甲隊(duì)調(diào)走，乙隊(duì)繼續(xù)做了17天才完成，若這項(xiàng)工程由甲隊(duì)單獨(dú)做，則需要（）天（A）60（B）70（C）80（D）90（E）100交叉法3、交叉法：可用于解決兩種整體的混合。例某班在一次測(cè)試中，全班的平均成績(jī)?yōu)?0，其中女生的平均分為83，男生的平均分為75，則該班男女生人數(shù)之比為（）交叉法例公司有員工50人，理論知識(shí)考核平均成績(jī)?yōu)?1分，按成績(jī)將公司員工分為優(yōu)秀與非優(yōu)秀員工兩類(lèi)，優(yōu)秀員工的平均成績(jī)?yōu)?0，非優(yōu)秀員工的平均成績(jī)是75分，則非優(yōu)秀員工的人數(shù)為（）人（A）30（B）25（C）20（D）35（E）40交叉法例濃度為20%的鹽水和濃度為30%的鹽水按照什么質(zhì)量比能夠配出濃度為24%的鹽水？濃度問(wèn)題4、濃度問(wèn)題稀釋問(wèn)題、蒸發(fā)問(wèn)題：濃度比等于溶液質(zhì)量的反比配比問(wèn)題：交叉法濃度問(wèn)題稀釋問(wèn)題、蒸發(fā)問(wèn)題：例要從含鹽12.5%的鹽水40千克中蒸發(fā)掉多少千克的水分后才能制成含鹽20%的鹽水？濃度問(wèn)題例要從含鹽30%的鹽水60千克中加水多少千克后才能制成含鹽20%的鹽水？濃度問(wèn)題例有含鹽8%的鹽水40千克，要配制成含鹽20%的鹽水，需加鹽多少千克？行程問(wèn)題5、行程問(wèn)題5.1一般行程問(wèn)題5.2跑圈問(wèn)題5.3相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題圖解法例甲、乙二人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，如果兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；如果兩人相向二行，6分鐘可以相遇，又已知乙每分鐘行50米，則A、B兩地的距離為（

）米（A）680（B）750（C）780（D）800（E）850行程問(wèn)題5.2跑圈問(wèn)題同向運(yùn)動(dòng)：行程問(wèn)題反向運(yùn)動(dòng)：行程問(wèn)題例甲乙兩人同時(shí)從橢圓形的跑道上同一起點(diǎn)出發(fā)，沿著順時(shí)方向，甲比乙快，可以確定甲的速度是乙的速度的1.5倍（1）當(dāng)甲第一次從背后追上乙時(shí)，乙跑了兩圈（2）當(dāng)甲第一次從背后追上乙時(shí)，甲立即轉(zhuǎn)身沿逆時(shí)針跑去，當(dāng)兩人再次相遇時(shí)，乙又跑了0.4圈容斥原理問(wèn)題8、容斥原理問(wèn)題用韋恩圖來(lái)解決容斥原理問(wèn)題例30個(gè)人申請(qǐng)一項(xiàng)工作，其中14個(gè)有4年的工作經(jīng)驗(yàn)，18個(gè)人擁有學(xué)位，3個(gè)人的工作經(jīng)驗(yàn)不到4年且沒(méi)有學(xué)位，則申請(qǐng)者至少有4年的工作經(jīng)驗(yàn)且擁有學(xué)位的有（

）

（A）14（B）13（C）9（D）7（E）5最值問(wèn)題9、最值問(wèn)題9.1二次函數(shù)在一定區(qū)間的最值問(wèn)題9.2均值定理最值問(wèn)題例甲商店售出某種商品，該商品的進(jìn)價(jià)為每件90元，若每件定價(jià)為100元，則一天內(nèi)能售出500件，在此基礎(chǔ)上，定價(jià)每增加1元，一天便能少售出10件，甲商店欲獲得最大利潤(rùn)，則該商品的定價(jià)應(yīng)為（

）元最值問(wèn)題例建造一間占地面積為12平方米的背面靠墻的豬圈，底面為長(zhǎng)方形，豬圈正面的造價(jià)為每平方米120元

，側(cè)面的造價(jià)每平方米80元，屋頂造價(jià)為

每平方米1120元.如果墻高3米

，且不計(jì)豬圈背面的費(fèi)用，問(wèn)：如何設(shè)計(jì)能使豬圈的總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？數(shù)列一般數(shù)列1、數(shù)列中的相關(guān)定義通項(xiàng)公式：一個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)與項(xiàng)之間的函數(shù)關(guān)系，可表達(dá)為：前

項(xiàng)和：一般數(shù)列2、一般數(shù)列通項(xiàng)公式的求解2.1已知，求2.2已知遞推公式，求2.3已知通項(xiàng)公式，求數(shù)列的前項(xiàng)和一般數(shù)列2.1已知，求一般數(shù)列例已知，求一般數(shù)列2.2已知遞推公式，求疊加法；疊乘法；利用等比數(shù)列求解；一般數(shù)列疊加法——等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解一般數(shù)列例在數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。一般數(shù)列疊乘法——等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求解一般數(shù)列例在數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。一般數(shù)列利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解一般數(shù)列利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解一般數(shù)列例已知數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。一般數(shù)列2.3已知通項(xiàng)公式，求數(shù)列的前項(xiàng)和等差數(shù)列的求和：打包運(yùn)算等比數(shù)列的求和：錯(cuò)位相減法一般數(shù)列等差數(shù)列求和公式：一般數(shù)列等比數(shù)列求和公式：錯(cuò)位相減法一般數(shù)列錯(cuò)位相減法：通項(xiàng)公式為等差數(shù)列x等比數(shù)列一般數(shù)列等差數(shù)列1、相關(guān)定義等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.等差中項(xiàng)：在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外），都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng).

等差數(shù)列2、公式通項(xiàng)公式：求和公式：

等差數(shù)列例已知數(shù)列是等差數(shù)列，則的值等于（）

等差數(shù)列例若為等差數(shù)列，，那么

等差數(shù)列3、等差數(shù)列的性質(zhì)3.13.2【拓展】左右兩邊項(xiàng)的個(gè)數(shù)必須相同

等差數(shù)列例為等差數(shù)列，則其公差或

等差數(shù)列例設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則等于（）等差數(shù)列性質(zhì)與結(jié)合考查等差數(shù)列例兩個(gè)等差數(shù)列和，滿(mǎn)足，則等比數(shù)列3.1等比數(shù)列中的相關(guān)定義等比數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.等比中項(xiàng)：如果在中間插入一個(gè)數(shù)，使成等比數(shù)列，那么叫做的等比中項(xiàng).

等比數(shù)列的定義例實(shí)數(shù)成等比數(shù)列（1）關(guān)于的一元二次方程有兩相等實(shí)根（2）成等差數(shù)列等比數(shù)列中的公式3.2等比數(shù)列中的相關(guān)公式一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則此數(shù)列為非零常數(shù)列。等比數(shù)列中的公式例可以確定等比數(shù)列中的等比數(shù)列中的公式例在等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值等于（）等比數(shù)列的性質(zhì)3.3等比數(shù)列的性質(zhì)（1）等比數(shù)列的類(lèi)型：等比數(shù)列的性質(zhì)例如果成等比數(shù)列，那么（）等比數(shù)列的性質(zhì)（2）等比數(shù)列的性質(zhì)例在等比數(shù)列中，已知?jiǎng)t等比數(shù)列的性質(zhì)（3）由一個(gè)等比數(shù)列變換成一個(gè)新的等比數(shù)列同等變換：等比數(shù)列的性質(zhì)同等變換：等比數(shù)列的性質(zhì)例：若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，（1）則數(shù)列的前15項(xiàng)和為：（2）則數(shù)列的公比為：等比數(shù)列的性質(zhì)例：若數(shù)列的，則數(shù)據(jù)分析1、排列組合2、概率3、數(shù)據(jù)描述排列組合1、兩個(gè)基本原理2、排列組合3、具體問(wèn)題類(lèi)型及解題思路加法原理（分類(lèi)）：做一件事情，完成它可以有

類(lèi)辦法，在第一類(lèi)辦法中有種不同的方法，在第二類(lèi)辦法中有種不同的辦法，……在第類(lèi)辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。排列組合排列組合乘法原理（分步）：做一件事情，完成它可以有

個(gè)步驟，在第一步有種不同的方法，在第二步有種不同的辦法，……在第步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。排列組合例某班級(jí)有男學(xué)生5人，女學(xué)生4人。（1）從中任選一人去領(lǐng)獎(jiǎng)，有多少種不同的選法？（2）從中任選男、女學(xué)生各一人去參加座談會(huì)，有多少種不同的選法？排列組合例書(shū)架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，下層放有5本不同的語(yǔ)文書(shū)。（1）從中任取一本，有多少種不同的取法？（2）從中任取數(shù)學(xué)書(shū)與語(yǔ)文書(shū)各一本，有多少種不同的取法？排列組合排列與排列數(shù)：從

個(gè)不同的元素中，任取

個(gè)不同的元素，按照一定順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有排列個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，用表示，排列組合排列組合組合與組合數(shù)：從

個(gè)不同的元素中，任取

個(gè)不同的元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合，即從個(gè)不同元素中不計(jì)順序地取出個(gè)構(gòu)成原集合的一個(gè)子集。從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)，用表示。

排列組合排列組合組合數(shù)的基本性質(zhì)：

排列組合解決排列組合問(wèn)題遵循的原則：1、按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)；2、按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步；

排列組合解決排列組合問(wèn)題的具體途徑：1、以元素為主體，即先考慮特殊元素的要求，再考慮其他元素；2、以位置為主體，即先滿(mǎn)足特殊位置的要求，再考慮其他位置；3、先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不合要求的排列組合數(shù)（正難則反）.

排列組合例7個(gè)人排成一行，總共有多少種排法？

排列組合例7個(gè)人排成一行，其中甲不站在排頭，總共有多少種排法？

排列組合例7個(gè)人排成一行，其中甲不站在排頭，并且乙不站在排尾，總共有多少種排法？

排列組合例某市汽車(chē)號(hào)碼由兩位英文字母后面接四個(gè)數(shù)字組成，其中四個(gè)數(shù)字互不相同的牌照號(hào)碼共有（）

排列組合例某數(shù)字0,1,2,3,4,5可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字，且奇偶數(shù)字相間的六位數(shù)的個(gè)數(shù)有（）

排列組合1、

分房問(wèn)題例4封信放入三個(gè)郵箱，不同的放信方法有多少種？

排列組合例公交車(chē)上有10名乘客，沿途5個(gè)車(chē)站，乘客下車(chē)的不同方式有多少種？

排列組合例有5名同學(xué)爭(zhēng)奪3項(xiàng)比賽的冠軍，若每項(xiàng)只設(shè)1名冠軍，則獲得冠軍的可能情況有（

）種

排列組合2、捆綁法——解決相鄰問(wèn)題例7名同學(xué)排成一排，其中甲、乙、丙三人必須排在一起，且按甲、乙、丙順序站好，則不同的排法有（

）種

排列組合例7名同學(xué)排成一排，其中甲、乙必須排在一起，則不同的排法有（

）種

排列組合捆綁法：捆——排——松

排列組合小集團(tuán)問(wèn)題：例有5名男同學(xué)和3名女同學(xué)參加文藝匯演，演出出場(chǎng)順序要求3名女同學(xué)之間恰有一名男同學(xué)，則其出場(chǎng)方案共有多少種？排列組合小集團(tuán)問(wèn)題：確定成員——捆——排——松排列組合例有8本不同的書(shū)，其中數(shù)學(xué)書(shū)3本，外語(yǔ)書(shū)2本，其它學(xué)科書(shū)3本。若將這些書(shū)排成一列放在書(shū)架上，讓數(shù)學(xué)書(shū)排在一起，外語(yǔ)書(shū)也恰好排在一起的排法共有多少種？排列組合3、插空法——解決不相鄰問(wèn)題例7名同學(xué)排成一排，其中甲、乙2人必須不相鄰的不同排法有（

）種排列組合例某排共有9個(gè)座位，若3人做在座位上，每人左右都有空位，那么共有不同的排法（

）種排列組合插空法：拿掉不相鄰元素——考慮剩余元素是否排列——插空排列組合例5人站成一排，其中A不在左端也不和B相鄰的排法種數(shù)為（

）排列組合例不同的五種商品在貨架上排成一排，其中甲、乙兩種必須排在一起，丙、丁兩種不能排在一起，則不同的排法種數(shù)共有（

）排列組合4、隔板法滿(mǎn)足條件：1、所要分的物品規(guī)格必須完全相同2、所分物品全部分完3、參與分物品的每個(gè)成員至少分到1個(gè)排列組合例有2個(gè)完全相同的乒乓球，分給甲、乙兩人，每人一個(gè)乒乓球，則共有多少種分法？例有3個(gè)完全相同的乒乓球，分給甲、乙兩人，其中甲分得2個(gè)，乙分得1個(gè)的分法共有多少種？排列組合隔板法——數(shù)量不同例有5個(gè)完全相同的乒乓球，分給甲、乙兩人，每人至少有1個(gè)乒乓球的分法共有多少種？排列組合例有20個(gè)完全相同的乒乓球，分給甲、乙兩人，每人至少有1個(gè)乒乓球的分法共有多少種？排列組合例現(xiàn)有10個(gè)完全相同的球全部分給7個(gè)班級(jí)，每班至少1個(gè)球，問(wèn)共有多少種不同的分法？排列組合例有10名三好學(xué)生名額，分配到高三年級(jí)6個(gè)班，每班至少1個(gè)名額，共有多少種不同的分配方案？排列組合例將10個(gè)完全相同的小球分到4個(gè)有編號(hào)的盒子，恰有一個(gè)盒子空的分法有多少種？排列組合5、分組分配問(wèn)題分組問(wèn)題：例將3個(gè)人分成兩組，每組人數(shù)為1、2，則有多少種分法？排列組合例將4個(gè)人均分成兩組，共有多少種分法？排列組合例將6個(gè)人均分成三組，共有多少種分法？排列組合分組問(wèn)題——均分消序排列組合分組問(wèn)題——均分消序排列組合例10人分成三組，各組人數(shù)分別為2、3、5，總共有多少種分法？排列組合例10人分成三組，各組人數(shù)分別為2、4、4，總共有多少種分法？排列組合分配問(wèn)題——先分組再分配組內(nèi)無(wú)順序，組之間存在順序例有6本不同的書(shū)，均分給3個(gè)人，共有多少種分法？排列組合例有5本不同的書(shū)，分給4個(gè)人，每個(gè)人至少有1本，共有多少種分法？排列組合例現(xiàn)有張、王、李三位老師分別到6個(gè)班任課，其中一人4個(gè)班，另兩人每人1個(gè)班，則不同的分班法有多少種？排列組合例4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)盒中，則恰有1個(gè)空盒子的放法共有多少種？排列組合6、調(diào)序法——局部有序問(wèn)題排列組合例有6個(gè)男生，3個(gè)女生，高矮互不相等，現(xiàn)將他們排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，問(wèn)有多少種排法？排列組合7、正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化遇到至多、至少問(wèn)題，可以從其反面求解。分類(lèi)原則：不重不漏排列組合例某通訊公司推出一組手機(jī)卡號(hào)碼，卡號(hào)的前七位數(shù)字固定，“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000個(gè)號(hào)碼。公司規(guī)定：凡卡號(hào)的后四位帶有數(shù)字“4”或“7”的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號(hào)碼中“優(yōu)惠卡”的個(gè)數(shù)為（

）排列組合例100件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從中任意抽出5件檢驗(yàn)，其中至少有2件次品的抽法有（

）種排列組合8、對(duì)號(hào)入座問(wèn)題遇到對(duì)號(hào)入座的問(wèn)題，采取窮舉法解決問(wèn)題排列組合8、對(duì)號(hào)入座問(wèn)題遇到對(duì)號(hào)入座的問(wèn)題，采取窮舉法解決問(wèn)題2個(gè)錯(cuò)排；3個(gè)錯(cuò)排；4個(gè)錯(cuò)排；排列組合2個(gè)錯(cuò)排：編號(hào)為1、2的兩個(gè)人去坐編號(hào)為1、2的兩個(gè)座位，均不對(duì)號(hào)有幾種坐法？排列組合3個(gè)錯(cuò)排：編號(hào)為1、2、3的三個(gè)人去坐編號(hào)為1、2、3的三個(gè)座位，均不對(duì)號(hào)有幾種坐法？排列組合4個(gè)錯(cuò)排：編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)人去坐編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)座位，均不對(duì)號(hào)有幾種坐法？排列組合例編號(hào)為1,2,3,4,5的5人入座編號(hào)為1,2,3,4,5的5個(gè)座位，只有2人對(duì)號(hào)入座的坐法？排列組合①特殊元素優(yōu)先安排策略；②合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步策略；③排列、組合混合問(wèn)題先選后排的策略（處理排列組合綜合性問(wèn)題一般是先選元素，后排列）；④正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化策略；⑤相鄰問(wèn)題捆綁處理策略，“小集團(tuán)”排列問(wèn)題中先整體后局部的策略；排列組合⑥不相鄰問(wèn)題插空處理策略；⑦定序問(wèn)題除法處理策略；⑧分排問(wèn)題直排處理的策略；⑨構(gòu)造模型的策略.概率1、古典概型2、獨(dú)立事件及互斥事件的概率概率1、概率：做一個(gè)試驗(yàn)，事件A出現(xiàn)的可能性的大小，即稱(chēng)為事件A的概率，記為古典概型：做一個(gè)試驗(yàn)，若具有以下兩個(gè)特征：1）樣本空間Ω是由有限個(gè)基本事件構(gòu)成的2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的。概率1.1古典概率：在古典概型的情況下，事件

的概率定義為概率例

先后拋擲兩枚均勻的硬幣，計(jì)算：（1）兩枚都出現(xiàn)正面的概率；（2）一枚出現(xiàn)正面，一枚出現(xiàn)反面的概率。概率例

在100件次品中，有95件合格品，5件次品，從中任取兩件，計(jì)算：（1）兩件都是合格品的概率；（2）兩件都是次品的概率；（3）1件是合格品，1件是次品的概概率1.2互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率（至多、至少問(wèn)題）：如果事件A和B互斥，即它們不可能同時(shí)發(fā)生，由，有概率例辦公室有40支筆，其中有30支是黑筆，10支是紅筆，從中任取4支，其中至少有1支為紅筆的概率是（）概率例袋中有5個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中任取2個(gè)球，求（1）取得的兩球同色的概率（2）取得的兩球至少有一個(gè)是白球的概率概率例7個(gè)人排成一行，甲不站在排頭，則乙恰不在排尾的的概率為（）概率例4張卡片上分別寫(xiě)有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為（

）概率例將4個(gè)人分到3個(gè)不同的房間，則每個(gè)房間至少有一個(gè)人的概率為（）概率2.1獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：如果事件A（或B）是否發(fā)生對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒(méi)有影響，稱(chēng)A與B是相獨(dú)立的事件，這時(shí)有：即兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積。概率例甲、乙兩人各投籃一次，如果兩人投中的概率分別是0.6和0.5，計(jì)算：（1）兩人都投中的概率；（2）恰有一人投中的概率；（3）至少有一人投中的概率。概率例甲乙丙三人各自去破譯一個(gè)密碼，它們能譯出的概率分別為

試求（1）恰好有一人譯出的概率（2）密碼能被破譯的概率概率2.2獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：在相同條件下，將某試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n次，且每次試驗(yàn)中任何一事件的概率不受其他次試驗(yàn)結(jié)果的影響，此種試驗(yàn)稱(chēng)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。概率伯努利概型：如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事恰好發(fā)生k次的概率：

概率伯努利概型特征：1、試驗(yàn)次數(shù)不止一次，而是多次，次數(shù)

2、每次試驗(yàn)的條件是一樣的，是重復(fù)性的試驗(yàn)序列3、每次試驗(yàn)的結(jié)果只有

與

，（即事件要么發(fā)生要么不發(fā)生），每次試驗(yàn)相互獨(dú)立，試驗(yàn)結(jié)果互不影響，即各次試驗(yàn)中發(fā)生的概率保持不變。概率例甲投籃1次投中的概率是0.6，求：（1）甲投籃5次投中4次的概率（2）甲投籃5次至少投中4次的概率。概率例甲、乙兩個(gè)選手打乒乓球比賽，甲贏(yíng)一局的概率為0.6，若賽制為五局三勝制，則甲以3:1贏(yíng)得比賽勝利的概率為（）概率例甲、乙兩個(gè)選手打乒乓球比賽，甲贏(yíng)一局的概率為0.6，若賽制為三局兩勝制，則甲贏(yíng)得比賽勝利的概率為（）數(shù)據(jù)描述3.1相關(guān)定義（1）平均數(shù)：算術(shù)平均值（2）方差：各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)即為方差.（3）標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算術(shù)平方根即為標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)據(jù)描述3.2相關(guān)公式（1）平均數(shù)：（2）方差：（3）標(biāo)準(zhǔn)差：意義：方差、標(biāo)準(zhǔn)差描述一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性（波動(dòng)性），方差越大，數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性越?。ú▌?dòng)性大）。數(shù)據(jù)描述例求下面這組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差甲：12131415101613111511數(shù)據(jù)描述例比較下面兩組數(shù)據(jù)的方差的大小甲：12131415101613111511乙：111617141319681016數(shù)據(jù)描述3.3方差和標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)（1）數(shù)據(jù)描述3.3方差和標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)數(shù)據(jù)描述例一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是5和4，則數(shù)據(jù)

的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別是（）數(shù)據(jù)描述3.3方差和標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)（2）方差的簡(jiǎn)化公式：數(shù)據(jù)描述例已知一個(gè)樣本1,3,2，k，5的標(biāo)準(zhǔn)差為，則這個(gè)樣本的平均數(shù)是（）數(shù)據(jù)描述3.3方差和標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)（3），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立幾何1、平面幾何2、空間幾何體3、解析幾何

平面幾何1、三角形2、四邊形3、圓4、相似三角形

平面幾何1、一般三角形的性質(zhì)（1）任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊（2）三個(gè)內(nèi)角和為180°（3）三角形的面積公式：（4）三角形中大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角平面幾何1.1直角三角形勾股定理：面積的求法：斜邊中線(xiàn)：

平面幾何1.2等腰三角形面積的求法：

平面幾何1.3等邊三角形面積的求法：

平面幾何1.4全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角相等，其對(duì)應(yīng)的三角形內(nèi)線(xiàn)段也均相等。平面幾何1.5相似三角形的性質(zhì)相似三角形各對(duì)應(yīng)邊的對(duì)角均對(duì)應(yīng)相等相似三角形各線(xiàn)段對(duì)應(yīng)之比均等于相似比相似三角形的面積之比等于相似比的平方平面幾何2.1平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的每組對(duì)邊平行且相等，每組對(duì)角相等，兩條對(duì)角線(xiàn)互相平分，相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和為180°

平面幾何2.2矩形的性質(zhì)四個(gè)內(nèi)角均為90°的平行四邊形稱(chēng)為矩形，矩形的兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)相等

平面幾何2.3菱形的性質(zhì)四條邊均相等的四邊形稱(chēng)為菱形。菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分，且為各內(nèi)角的角平分線(xiàn)。

平面幾何2.4正方形的性質(zhì)四條邊長(zhǎng)均相等的矩形稱(chēng)為正方形或四個(gè)內(nèi)角均為90°的菱形稱(chēng)為正方形。正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。

平面幾何2.5梯形的性質(zhì)梯形的概念，一組對(duì)邊平行，而另一組對(duì)邊不平行的四邊形稱(chēng)為梯形。平行的對(duì)邊稱(chēng)為梯形的底，不平行的對(duì)邊稱(chēng)為梯形的腰，兩底間距離稱(chēng)為梯形的高。梯形的兩腰中點(diǎn)的連線(xiàn)稱(chēng)為梯形的中位線(xiàn)，中位線(xiàn)和底平行，其長(zhǎng)為兩底和的一半。

平面幾何例如圖，在梯形ABCD中，已知，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，設(shè)三角形DEA的面積為，梯形ABCD的面積為，則與的關(guān)系是（）

平面幾何例如圖，長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)是10厘米，寬是6厘米，三角形ADF的面積比三角形BEF的面積大10平方厘米，則BE的長(zhǎng)為（）

平面幾何3.1圓中的相關(guān)定義圓、弦、弧、圓心角、圓周角、角的弧度、切線(xiàn)、弦切角

平面幾何3.1圓相關(guān)的公式圓的周長(zhǎng)：圓的面積：扇形的周長(zhǎng)：扇形的面積：

平面幾何3.3圓中相關(guān)的定理（1）垂徑定理

平面幾何3.3圓中相關(guān)的定理（2）切線(xiàn)定理

平面幾何3.3圓中相關(guān)的定理（3）圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦心距相等。

平面幾何例圓的半徑為4，求陰影部分的面積

平面幾何例如圖，AB=10厘米是半圓的直徑，C是AB弧的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC于D，ABD是以AB為半徑的扇形，則圖中陰影部分的面積是（）平方厘米

平面幾何例如圖正方形的邊長(zhǎng)為1厘米，半圓均為以正方形的邊為直徑，求圖中陰影部分的面積（）

空間幾何體1、長(zhǎng)方體2、圓柱體3、球

空間幾何體1、長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)為面積：體積：體對(duì)角線(xiàn)：

空間幾何體2、圓柱體底面半徑：高：面積：體積：

空間幾何體3、球半徑：面積：體積：

空間幾何體4、空間幾何體的外接球和內(nèi)切球長(zhǎng)方體：外接球半徑：

內(nèi)切球：圓柱體：外接球半徑：

空間幾何體例長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)之比為3:2:1，表面積是88平方厘米，任意連接長(zhǎng)方體8個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)頂點(diǎn)的線(xiàn)段中，最長(zhǎng)的一條長(zhǎng)（）厘米

空間幾何體例一個(gè)帶蓋圓柱體容器的底面半徑為2，高為3，現(xiàn)欲將一細(xì)長(zhǎng)的木料放入該容器，如果蓋子仍能蓋上，那么該細(xì)木料最大長(zhǎng)度為（）

空間幾何體例圓柱體的底面半徑為2，高為3，一只螞蟻欲從A點(diǎn)沿圓柱的側(cè)面爬到B點(diǎn)，那么該螞蟻?zhàn)疃绦枰佬械木嚯x是（）

空間幾何體例設(shè)半球內(nèi)接正方體的體積為8，則球的體積為（）

解析幾何1、平面直角坐標(biāo)系2、直線(xiàn)3、圓

解析幾何1.1直線(xiàn)傾斜角：一條直線(xiàn)L向上的方向與X軸的正方向所成的最小正角，叫做直線(xiàn)的傾斜角，范圍為

斜率：傾斜角的正切值，傾斜角為90°，不存在斜率.兩點(diǎn)確定直線(xiàn)的斜率為：

解析幾何斜率：

解析幾何例如圖所示，設(shè)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，若與線(xiàn)段有交點(diǎn)，則斜率的取值范圍是（）

解析幾何1.2直線(xiàn)的方程斜截式：

點(diǎn)斜式：兩點(diǎn)式：

截距式：一般式：

解析幾何1.3兩直線(xiàn)的位置關(guān)系（1）兩直線(xiàn)平行：或均不存在斜率（2）兩直線(xiàn)相交（垂直）：或