《AR回歸模型研究》4300字

[21]AR模型在隨機(jī)時(shí)間序列分析模型中最簡(jiǎn)單,也是采用最多的一種模型。自回歸模型分析表現(xiàn)得是隨機(jī)序列變量?jī)?nèi)部的關(guān)系。這種關(guān)系是一種遞推式的線性回歸。它建立回歸方程，主要是通過(guò)自身變量之前各期得值與之后幾期的值之間的相關(guān)關(guān)系（自相關(guān)）進(jìn)行建模，再利用模型預(yù)測(cè)或者分析。其定義如下：定義1.設(shè){Xt,t=0,1,2,…}QUOTE{Xt,t=0,1,2,…}為時(shí)間序列。白噪聲序列為{εt,xt=?0+?1xt-1的時(shí)間序列為p階自回歸（Autoregression）序列，其中1，上式為p階自回歸模型，記作AR(p)。特例，AR(1)，即一階自回歸過(guò)程。該過(guò)程是指只有一個(gè)時(shí)間記錄點(diǎn)，表達(dá)式，xt=?自回歸模型滯后算子(lagoperator)，記作L。其主要作用是將t變?yōu)閠-1?？梢缘玫絃xL2LpAR(p)模型中?Lx?(L)=1–如果xt是平穩(wěn)的，有μ=E(xt)=?0/(1–?1–?L?(L)=1–進(jìn)行時(shí)間序列分析時(shí)所用AR模型通常時(shí)平穩(wěn)性的，那么AR(p)模型的平穩(wěn)性條件為AR(p)模型能否生成平穩(wěn)的時(shí)間序列完全由?1,…,?p決定。?(L)=0方程則為關(guān)于模型實(shí)現(xiàn)AR模型建模思想很簡(jiǎn)單。AR模型從數(shù)學(xué)表達(dá)式可以簡(jiǎn)單歸納為時(shí)間序列中過(guò)去值的線性組合加上白噪聲。這樣就可以向前預(yù)測(cè)當(dāng)前的值。為了能夠通過(guò)AR模型對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行分析,該部分闡述了使用R語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)AR模型分析，利用R生成隨機(jī)時(shí)間序列，以此進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，進(jìn)行AR模型分析得出結(jié)論。隨機(jī)數(shù)據(jù)集首先，利用R語(yǔ)言生成隨機(jī)時(shí)間序列。設(shè)定生成隨機(jī)數(shù)的種子,生成符合正態(tài)分布N(0,1)的數(shù)據(jù)，再生成滿足平穩(wěn)性的要求的時(shí)間序列的數(shù)據(jù)集ts圖1數(shù)據(jù)集tsx時(shí)間序列圖模型確立生成了時(shí)間序列后，根據(jù)時(shí)間序列圖進(jìn)行自回歸建模,并且生成數(shù)據(jù)集默認(rèn)使用一階AR模型。運(yùn)行R語(yǔ)言程序后可以得到自相關(guān)系數(shù)為0.9879。由此可以看出模擬的時(shí)間序列自相關(guān)性很強(qiáng)，可以說(shuō)明時(shí)間序列是具有自相關(guān)特性的。利用R語(yǔ)言進(jìn)行自回歸建模時(shí)，它會(huì)提供自相關(guān)系數(shù)的估計(jì)方法，包括yule-walker方法以及常用最小二乘法，極大似然法。此次分析中將采用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，其計(jì)算結(jié)果是，自相關(guān)系數(shù)為0.9911，截距為-0.017。自相關(guān)函數(shù)ACF體現(xiàn)了分析的時(shí)間序列在不同時(shí)點(diǎn)的值的相關(guān)關(guān)系，則利用R語(yǔ)言可以計(jì)算ACF值。其前三個(gè)值為0.9879、0.9760、0.9636。ACF可視化圖形為圖2。圖2自相關(guān)函數(shù)圖從圖2中看出，生成的隨機(jī)時(shí)間序列的ACF是拖尾的，它存在的自相關(guān)性很高。接下來(lái)就利用偏自相關(guān)函數(shù)PACF確定AR模型的階數(shù)。觀察PACF可視圖，偏自相關(guān)系數(shù)PACF近似于0，就表明兩個(gè)值的關(guān)系可以用線性關(guān)系表現(xiàn)。通過(guò)R語(yǔ)言的pacf()函數(shù)來(lái)進(jìn)行偏自相關(guān)函數(shù)計(jì)算。其前三個(gè)值為0.9879、0.0065、-0.0305.其可視化圖形如圖3。圖3偏自相關(guān)函數(shù)圖從圖3可以看出，當(dāng)滯后1階時(shí)，其值遠(yuǎn)超范圍邊界，接近于1，可以表示此時(shí)AR模型顯著。當(dāng)滯后階數(shù)為其他值時(shí)，顯然可以看出PACF的值接近于0。此時(shí)AR模型不顯著。因此對(duì)于模擬分析的時(shí)間序列而言，它能夠利用AR(1)進(jìn)行自回歸模型建模。自回歸建模時(shí)參數(shù)估計(jì)得到的1階自相關(guān)系數(shù)值，因此可以直接得到參數(shù)估計(jì)后的AR(1)模型。模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn)的目的是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠窈侠?。檢驗(yàn)分兩個(gè)部分，其一是模型的有效性檢驗(yàn)。判斷模型有效性的方法就是模型殘差應(yīng)該是白噪聲。而確定殘差是否為白噪聲序列的檢驗(yàn)方法是通過(guò)殘差的自相關(guān)系數(shù)ACF可視圖判斷并進(jìn)行Ljung-Box檢驗(yàn)。利用R語(yǔ)言畫出殘差圖如圖4，畫出殘差樣本自相關(guān)系數(shù)圖如圖5.圖4模型殘差圖圖5殘差樣本自相關(guān)系數(shù)圖根據(jù)圖5，殘差的樣本自相關(guān)系數(shù)圖表示其自相關(guān)系數(shù)近似為0，在0上下小范圍的波動(dòng)。接下來(lái)進(jìn)行Ljung-Box檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果為p值是0.7338>0.05,因此接受原假設(shè)，即殘差序列之間是隨機(jī)獨(dú)立的，沒(méi)有相關(guān)性，通過(guò)了檢驗(yàn)。模型預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)部分即是使用這一種自回歸AR模型的方法來(lái)對(duì)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，并且通過(guò)規(guī)律來(lái)發(fā)現(xiàn)其價(jià)值。在R語(yǔ)言中,我們已經(jīng)可以使用predict()的函數(shù),來(lái)完成對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的計(jì)算。預(yù)測(cè)出的結(jié)果前5個(gè)為9.8340、9.681307、9.5238、9.3703、9.2176.且誤差值為1.0808、1.5193、1.8495、2.1228、2.3592.當(dāng)利用R語(yǔ)言得到的預(yù)測(cè)值是50個(gè)時(shí)，其預(yù)測(cè)值用圖表示如圖6，圖前一部分是原始數(shù)據(jù)，后面紅色表示預(yù)測(cè)值，藍(lán)色表示預(yù)測(cè)值的上下范圍。圖6模型預(yù)測(cè)值圖實(shí)例分析自回歸在經(jīng)濟(jì)學(xué)方面應(yīng)用廣泛。經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域?qū)挿?，有宏觀于微觀之分，其包含的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象、經(jīng)濟(jì)特征數(shù)不勝數(shù)。這一方面的實(shí)例分析采用國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)。在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDP是一個(gè)非常重要的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，它代表的是整個(gè)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)狀況。因此本文選用中國(guó)GDP數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象。此次實(shí)例分析的目的是研究中國(guó)GDP的變化趨勢(shì)并進(jìn)行預(yù)測(cè)。實(shí)例分析中利用1959年到2010年GDP數(shù)據(jù)進(jìn)行自回歸建模，并利用模型進(jìn)行分析并且預(yù)測(cè)10年內(nèi)的GDP發(fā)展趨勢(shì)，并且與10年實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行比較得到模型預(yù)測(cè)效果。數(shù)據(jù)收集與預(yù)處理實(shí)例分析的數(shù)據(jù)是1959-2020年GDP年度數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)來(lái)源于中國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站。其中，利用1959年到2010年GDP進(jìn)行模型建立與預(yù)測(cè)。數(shù)據(jù)導(dǎo)入后利用R語(yǔ)言可以得到時(shí)序圖，如圖7。觀察圖7可以看出1959到2010年，GDP是明顯上升趨勢(shì)，則一定不是平穩(wěn)序列。接下來(lái)為了將序列轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)序列，則進(jìn)行序列一階差分。然后對(duì)一階差分后的序列進(jìn)行ADF檢驗(yàn)。經(jīng)檢驗(yàn)該序列也呈明顯上升趨勢(shì)。因此繼續(xù)進(jìn)行序列二階差分，并進(jìn)行ADF檢驗(yàn)。經(jīng)檢驗(yàn)依然不是平穩(wěn)時(shí)間序列。圖7國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDP時(shí)序圖因此轉(zhuǎn)換方法對(duì)原時(shí)間序列數(shù)據(jù)取其對(duì)數(shù)，畫出時(shí)序圖如圖8。觀察圖8可以看出該時(shí)間序列呈明顯上升趨勢(shì)，判定其不是平穩(wěn)時(shí)間序列，經(jīng)ADF檢驗(yàn)也可說(shuō)明這一點(diǎn)。因此將其進(jìn)行一階差分，并進(jìn)行ADF檢驗(yàn)。經(jīng)R語(yǔ)言的ADF檢驗(yàn)，得到p值大于0.05。因此序列不是平穩(wěn)時(shí)間序列，則對(duì)取序列進(jìn)行二階差分，并進(jìn)行ADF檢驗(yàn)。經(jīng)R語(yǔ)言的ADF檢驗(yàn)，得到p值為0.01小于0.05。故判定該序列平穩(wěn)。畫出LnGDP序列二階階差分的的時(shí)序圖如圖9。圖8對(duì)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDP取對(duì)數(shù)后的時(shí)序圖圖9LnGDP序列二階階差分的的時(shí)序圖數(shù)據(jù)建模與預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)建模第一步是對(duì)2階差分后的LnGDP時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，通過(guò)Ljung-Box檢驗(yàn)所得結(jié)果p值小于0.05。這表示該序列不是白噪聲序列，而且該序列存在自相關(guān)性。接下來(lái)進(jìn)行模型的判定，通過(guò)R語(yǔ)言畫出自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖分別為圖10、圖11。圖10二階差分對(duì)LnGDP序列的自相關(guān)圖圖11二階差分的LnGDP序列的偏自相關(guān)圖通過(guò)圖10與圖11，我們可以大致將AR模型的階數(shù)定為2。接下來(lái)可以直接利用數(shù)據(jù)通過(guò)R語(yǔ)言建立AR模型。在自回歸模型建模時(shí)，模型參數(shù)估計(jì)利用最小二乘法，直接用AIC得到估計(jì)結(jié)果為4階模型。因此接下來(lái)最終其模型為lnV然后對(duì)擬合的模型進(jìn)行檢驗(yàn)，通過(guò)R語(yǔ)言得到模型殘差圖，利用模型殘差進(jìn)行檢驗(yàn)確定其是否有效。通過(guò)模型的殘差自相關(guān)系數(shù)圖如圖12可以看出其自相關(guān)系數(shù)近似為0，在0上下小范圍的波動(dòng)。圖12二階差分的LnGDP的模型殘差的自相關(guān)圖接下來(lái)進(jìn)行Ljung-Box檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果為p值是0.9457>0.05,因此檢驗(yàn)后可接受原假設(shè)。這表示殘差序列沒(méi)有相關(guān)性，檢驗(yàn)通過(guò)。利用R語(yǔ)言模擬得到之后10年的GDP值，預(yù)測(cè)值與實(shí)際值對(duì)比如表1。表1GDP實(shí)際值預(yù)測(cè)值對(duì)比表年份2011201220132014201520162017201820192020預(yù)測(cè)值500034598346.2715392.6840217.4982632.11162295.11380613.31640288.11944558.72297178.7實(shí)際值487940.2538580592963.2643563.1688858.2746395.1832035.9919281.1986515.21015986.2誤差2%11%21%31%43%56%66%78%97%126%探究結(jié)果在數(shù)據(jù)模型的建立與預(yù)測(cè)這部分，對(duì)中國(guó)GDP數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)后的時(shí)間序列二階差分得到的時(shí)間序列是平穩(wěn)序列。該平穩(wěn)序列通過(guò)了白噪聲檢驗(yàn)，通過(guò)ACF圖認(rèn)定該序列可以進(jìn)行AR建模。接下來(lái)利用R語(yǔ)言建立了AR(4)模型。模型建立后進(jìn)行進(jìn)行模型檢驗(yàn)，觀察p值，得到模型檢驗(yàn)通過(guò)的結(jié)論。最后利用建立的AR模型進(jìn)行了模型10年的時(shí)序數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)。而且該時(shí)間序列長(zhǎng)度為52，趨勢(shì)呈明顯上升態(tài)勢(shì)，前面部分的數(shù)據(jù)增長(zhǎng)緩慢，后面呈爆發(fā)性增長(zhǎng)，在序列中前期的值遠(yuǎn)小于后期的值。直接序列差分兩階以后的時(shí)間序列趨勢(shì)依然明顯上升，取對(duì)數(shù)的GDP進(jìn)行差分兩階以后再顯著水平為0.95的情況下表明差分后的LnGDP是平穩(wěn)序列。經(jīng)過(guò)預(yù)測(cè)值與實(shí)際值得比較，可以發(fā)現(xiàn)，誤差最小為2011年的2%，最大為2020年的125%。誤差的均值在53%。整個(gè)誤差在前幾期預(yù)測(cè)誤差較小，后面誤差較大。而且這個(gè)誤差隨時(shí)間越往后誤差越大。因此預(yù)測(cè)前5前5年預(yù)測(cè)效果比較符合實(shí)際，后5年則相差甚遠(yuǎn)。結(jié)論從實(shí)例分析的結(jié)論來(lái)看，自回歸模型AR(P)是直接通過(guò)歷年的數(shù)據(jù)資料對(duì)本身進(jìn)行模型構(gòu)建與預(yù)測(cè)分析，沒(méi)有考慮影響因素對(duì)自回歸變量的影響，因此在應(yīng)用時(shí)預(yù)測(cè)效果有時(shí)會(huì)有所偏差。而且對(duì)于自回歸模型來(lái)說(shuō)，時(shí)間序列數(shù)據(jù)選取也有一定偏向性。首先所需數(shù)據(jù)需有時(shí)序性，自相關(guān)性強(qiáng)。采用AR模型分析則需是時(shí)間序列平穩(wěn)的才能進(jìn)行分析，在數(shù)據(jù)時(shí)要采用差分、取對(duì)數(shù)等方法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理以期達(dá)到平穩(wěn)。最后AR模型建立與預(yù)測(cè)效果基本符合實(shí)際，雖然GDP誤差后5年較大，但其他的預(yù)測(cè)值都比較接近實(shí)際。參考文獻(xiàn)羅芳瓊,吳春梅.時(shí)間序列分析的理論與應(yīng)用綜述[J].柳州師專學(xué)報(bào),2009,24(3):113-117.李秋菊,李茸.時(shí)間序列分析理論與發(fā)展趨勢(shì)[J].管理學(xué)家,2013(8):373-373.Litterma